第六章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra二次型線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第三節(jié)正定二次型第三節(jié)正定二次型在二次型中,有一類二次型具有特殊的規(guī)范形:,它所對(duì)應(yīng)的矩陣的所有特征值均為正值.這類情況在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.本節(jié)我們重點(diǎn)討論這類二次型——正定二次型.

定義6.5設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣,對(duì)應(yīng)的二次型為=.如果對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有

,則稱二次型為正定二次型,二次型的矩陣為正定矩陣.

第三節(jié)正定二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量,都使得=

>0,則=是正定二次型.如果將定義6.5中的條件放寬成

=

,則稱這類二次型為正半定二次型,相應(yīng)的矩陣稱為正半定矩陣.顯然,正半定二次型包含正定二次型.例如,實(shí)二次型為正定二次型;而不是正定二次型,因?yàn)?但它是正半定二次型.

第三節(jié)正定二次型我們重點(diǎn)討論正定二次型的主要性質(zhì).

定理6.3

n

元實(shí)二次型為正定二次型（或A為正定矩陣）的充分必要條件是的特征值全大于零.

證

必要性:

,

兩端左乘,得

,

注意到,由二次型的正定性知,又,因此特征值l是正數(shù),必要性得證.

設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值,即對(duì)應(yīng)的特征向量為,第三節(jié)正定二次型充分性:設(shè)的n個(gè)實(shí)特征值全大于零.由于n階實(shí)對(duì)稱矩陣一定正交相似于對(duì)角矩陣,因此存在正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形

.

給定任意非零向量X,可得非零向量,使得,即>0,正定.

根據(jù)以上定理,當(dāng)?shù)奶卣髦等笥诹?即正定時(shí),經(jīng)可逆線性變換得到的所有標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)均大于零,進(jìn)而得規(guī)范形,因此二次型的正慣性指數(shù)是n.

第三節(jié)正定二次型推論1實(shí)二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)為n.

推論2實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件是合同于單位矩陣,即存在可逆矩陣,使.

推論3與正定矩陣合同的實(shí)對(duì)稱矩陣也是正定矩陣.

推論4正定矩陣的行列式大于零.

證

根據(jù)矩陣行列式等于特征值的乘積,可得結(jié)論.

第三節(jié)正定二次型為了判斷一個(gè)矩陣（或二次型）是否正定,我們常使用順序主子式的概念.

定義6.6

設(shè)是n階矩陣,稱子式

,

為矩陣A的k階順序主子式.

例如,矩陣A=有三個(gè)順序主子式,分別為|1|,,.

第三節(jié)正定二次型定理6.4實(shí)二次型=XTAX正定的充分必要條件是A的各階順序主子式全大于零.（該定理稱為赫爾維茨定理.這里不予證明.）

例11

已知矩陣A=,判斷是否為正定矩陣.

解

計(jì)算A的各階順序主子式得

|5|=5,=26,=80,

故A正定.

第三節(jié)正定二次型例12

t取何值時(shí),二次型

為正定的.

解

二次型的矩陣為

A=.

若A正定,則它的各階順序主子式均大于零:

,

,,所以當(dāng)時(shí),各階順序主子式全大于零,此時(shí)二次型正定.

即,得,第三節(jié)正定二次型例13證明:如果A為正定矩陣,則也為正定矩陣.

證假設(shè)A為正定矩陣,則A可逆,且A的特征值均大于0,因此的特征值也都大于零,故正定.

第三節(jié)正定二次型例14證明:設(shè)A為階實(shí)矩陣,證明:只有零解的充要條件是

為正定矩陣.

證實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是.由于對(duì)任意n維實(shí)向量X,有

,因此,是正定二次型（或?yàn)檎ň仃嚕?/p>

只有時(shí)成立

?只有時(shí)成立

?只有零解.

?e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0