2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例分析試卷集解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容第一題某公司人力資源部想要了解員工的工作滿意度與其年齡、工作年限以及月工資水平之間的關(guān)系，并希望根據(jù)這些因素預(yù)測員工流失的可能性。公司隨機抽取了100名員工，收集了他們的年齡（歲）、工作年限（年）、月工資（元）以及工作滿意度評分（1-10分，分數(shù)越高表示滿意度越高）數(shù)據(jù)，并記錄了員工在一年后的流失情況（是/否）。請根據(jù)此研究背景，設(shè)計一個統(tǒng)計分析方案，以探究上述因素與員工流失可能性的關(guān)聯(lián)。你的方案應(yīng)至少包含以下內(nèi)容：1.你將使用哪些描述性統(tǒng)計量來概括每個變量的分布特征？2.針對分類變量（如流失情況），你會使用哪些方法來展示其基本分布？3.為了分析年齡、工作年限、月工資和工作滿意度與員工流失可能性之間的關(guān)聯(lián)程度，請列出你計劃使用的統(tǒng)計方法，并簡要說明選擇理由。4.在進行相關(guān)分析或回歸分析時，你需要考慮哪些潛在的問題或假設(shè)條件？如何處理這些問題？5.假設(shè)你通過分析發(fā)現(xiàn)月工資水平與員工流失可能性呈負相關(guān)，你會如何解釋這一發(fā)現(xiàn)？并基于此發(fā)現(xiàn)，為公司提出至少兩條具體的、可操作的改進建議。第二題一家連鎖超市想要評估其不同門店的促銷活動效果，并希望了解顧客購買行為與促銷類型、促銷持續(xù)時間等因素的關(guān)系。超市選擇了五種不同的促銷類型（如打折、買贈、滿減、優(yōu)惠券、限時搶購）在七家門店進行了為期一個月的實驗。收集了各門店在促銷期間和非促銷期間的平均客單價（元）、顧客流量（人次/天）以及促銷產(chǎn)品的銷售額占比（%）數(shù)據(jù)。請設(shè)計一個分析框架，用以評估促銷活動的效果并探究相關(guān)因素。1.請說明你會如何使用統(tǒng)計方法來比較不同促銷類型在提升平均客單價和顧客流量方面的效果差異。2.在分析顧客流量與促銷持續(xù)時間的關(guān)系時，你會考慮使用哪些統(tǒng)計工具？請解釋其原理。3.超市管理者關(guān)心促銷活動的投入產(chǎn)出比。請?zhí)岢鲆环N或多種統(tǒng)計方法，用以量化評估不同促銷類型的效果，并解釋如何根據(jù)分析結(jié)果決定未來促銷策略的優(yōu)化方向。4.假設(shè)你的分析結(jié)果顯示，“滿減”促銷在提升客單價方面效果顯著，但在吸引新顧客（通過門店流量變化衡量）方面效果不明顯。請解釋這可能的原因，并思考如何改進“滿減”促銷活動的設(shè)計。5.在進行這些分析時，需要考慮數(shù)據(jù)的哪些假設(shè)條件？如果數(shù)據(jù)不滿足這些條件，可能采取哪些補救措施？第三題某市政府環(huán)境監(jiān)測部門想要評估某條河流不同河段的水質(zhì)污染狀況，并識別主要的污染來源。監(jiān)測部門在河流的上下游及中間選取了五個采樣點，連續(xù)一個月每周對每個采樣點的溶解氧（mg/L）、氨氮（mg/L）、化學(xué)需氧量（COD，mg/L）和懸浮物（mg/L）濃度進行測量。請構(gòu)建一個統(tǒng)計分析方案，以分析該河流的水質(zhì)變化規(guī)律并探討污染來源。1.對于每個水質(zhì)指標（溶解氧、氨氮、COD、懸浮物），你會如何描述其在五個采樣點上的空間分布特征？請說明你將使用的統(tǒng)計量或圖表方法。2.請設(shè)計分析方法，以考察溶解氧、氨氮、COD和懸浮物之間是否存在顯著的相關(guān)關(guān)系。如果存在相關(guān)關(guān)系，你認為這暗示了什么？3.假設(shè)監(jiān)測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)非正態(tài)分布，你會如何分析各水質(zhì)指標在不同采樣點之間的差異？請比較使用參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗的優(yōu)劣，并說明你的選擇。4.環(huán)境部門懷疑上游的某化工廠排放是導(dǎo)致河水污染的主要原因之一。請基于你的統(tǒng)計分析結(jié)果，提出至少兩種統(tǒng)計方法或指標，用以支持或反駁這一懷疑。并說明如何解釋這些方法或指標的結(jié)果。5.在進行時間序列分析（如果考慮每周數(shù)據(jù)）或空間統(tǒng)計分析時，需要注意哪些潛在的問題？例如，數(shù)據(jù)中可能存在的缺失值、異常值或季節(jié)性波動，這些因素如何影響分析結(jié)果？應(yīng)如何處理？試卷答案第一題1.對于連續(xù)變量（年齡、工作年限、月工資、滿意度），使用均值、中位數(shù)、標準差、最小值、最大值、四分位數(shù)等描述集中趨勢、離散程度和分布范圍。對于分類變量（流失情況，是/否），使用頻數(shù)、頻率（百分比）、比例來展示其基本分布。2.可以使用餅圖或條形圖來直觀展示流失（是/否）兩類數(shù)據(jù)的構(gòu)成比例和分布情況。3.計劃使用的統(tǒng)計方法：*關(guān)聯(lián)性分析：使用卡方檢驗分析分類變量（如性別、部門）與流失之間的獨立性；使用Spearman秩相關(guān)系數(shù)分析連續(xù)變量（如年齡、工資）與流失（可視為二元變量或轉(zhuǎn)換為二分變量）之間的關(guān)聯(lián)強度和方向。*預(yù)測性分析：使用Logistic回歸模型預(yù)測員工流失的概率。該方法適用于因變量為二元分類（流失/未流失）的情況，可以量化各自變量對流失概率的影響程度（OR值）。*選擇理由：卡方檢驗用于判斷分類變量間是否存在關(guān)聯(lián)；相關(guān)系數(shù)用于初步探索連續(xù)變量與流失之間的非線性或線性關(guān)系；Logistic回歸能夠建立預(yù)測模型，不僅判斷關(guān)聯(lián)性，還能預(yù)測概率，并提供各因素的影響方向和大小，最適合用于決策分析。4.潛在問題或假設(shè)條件：*多共線性：自變量（年齡、年限、工資、滿意度）之間可能存在高度相關(guān)，影響模型穩(wěn)定性?？赏ㄟ^計算VIF（方差膨脹因子）或繪制散點圖來檢測。處理方法：移除高度相關(guān)的變量，或使用主成分分析（PCA）降維。*線性關(guān)系（Logistic回歸）：Logistic回歸本身不要求自變量與因變量間存在線性關(guān)系，但要求logit(p)與自變量間存在線性關(guān)系。可通過繪制部分依賴圖來檢查。處理方法：若非線性顯著，可考慮加入交互項、平方項或使用其他非線性模型。*樣本獨立性：假設(shè)樣本間相互獨立。如果抽樣有偏差或存在聚類，需考慮使用加權(quán)分析或特定統(tǒng)計方法。*數(shù)據(jù)分布：推斷性統(tǒng)計假設(shè)檢驗通常有分布假設(shè)。處理方法：對于非正態(tài)數(shù)據(jù)，可考慮使用非參數(shù)檢驗方法（如Kruskal-Wallis檢驗、Mann-WhitneyU檢驗）或?qū)?shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換（如對數(shù)轉(zhuǎn)換）。5.解釋與建議：*解釋：月工資水平與員工流失可能性呈負相關(guān)，意味著月工資越高，員工流失的可能性越小。這可能表明更高的工資水平提升了員工的留任意愿，反映了薪酬在員工激勵中的重要作用，或者高工資往往對應(yīng)著更高職位或更復(fù)雜的工作，吸引了更穩(wěn)定或更不易流失的員工群體。*建議：*差異化薪酬：對于關(guān)鍵崗位或高績效員工，考慮提供更具市場競爭力的薪酬包，以增強其留任意愿。*薪酬結(jié)構(gòu)優(yōu)化：除了絕對工資，也可審視薪酬結(jié)構(gòu)，如增加績效獎金、津貼、股權(quán)激勵等多元化激勵元素，使其與員工貢獻更緊密掛鉤，提升綜合滿意度。第二題1.比較促銷類型效果：*平均客單價：使用單因素方差分析（ANOVA）比較不同促銷類型下的平均客單價是否存在顯著差異。如果ANOVA結(jié)果顯著，可進行事后多重比較（如TukeyHSD檢驗）來確定哪些促銷類型之間存在顯著差異。*顧客流量：同樣使用ANOVA比較不同促銷類型下的平均顧客流量是否存在顯著差異。也可結(jié)合箱線圖等可視化方法直觀展示分布差異。*選擇理由：ANOVA適用于比較多組（本例中為不同促銷類型）的均值差異，能夠控制第一類錯誤率。事后檢驗則能明確指出哪些組別間有顯著不同。2.分析顧客流量與促銷持續(xù)時間關(guān)系：可以使用簡單線性回歸或散點圖來分析兩者關(guān)系。自變量為促銷持續(xù)時間（連續(xù)變量），因變量為顧客流量（連續(xù)變量）。通過回歸分析可以考察促銷持續(xù)時間對顧客流量的影響方向（正/負）和強度（斜率系數(shù)）。簡單線性回歸模型為：流量=β?+β?*持續(xù)時間+ε。繪制散點圖有助于直觀觀察是否存在線性趨勢及異常點。3.量化評估促銷效果并優(yōu)化方向：*方法一：投入產(chǎn)出比分析。計算每種促銷類型的銷售額增長/促銷活動成本。成本包括直接支出（如折扣金額、贈品成本）和間接成本（如人力、物料）。選擇投入產(chǎn)出比高的促銷類型。*方法二：提升率分析。計算每種促銷類型在平均客單價、顧客流量或總銷售額上的提升幅度相對于其成本的百分比。例如，(促銷期指標-非促銷期指標)/成本*100%。*優(yōu)化方向：根據(jù)量化結(jié)果，優(yōu)先選擇或加大投入那些投入產(chǎn)出比高、能有效提升核心指標（如客單價、高價值顧客流量）的促銷類型。對于效果不佳的類型，分析原因（成本過高？目標顧客不符？時機不當？）并進行優(yōu)化。4.解釋“滿減”效果：“滿減”促銷在提升客單價方面效果顯著，可能是因為它激勵了顧客增加購買量以達到滿減門檻，從而提高了單次交易的平均金額。但它對吸引新顧客（流量）效果不明顯，可能原因有：*門檻設(shè)置過高：顧客需要消費較高金額才能享受優(yōu)惠，可能勸退了部分潛在的新訪客或預(yù)算較低的顧客。*促銷吸引力不足：相較于其他類型（如直接打折、買贈），滿減的感知優(yōu)惠力度可能不夠大。*目標顧客錯位：滿減可能更吸引已有一定消費能力的熟客，而非被價格敏感的新顧客吸引。*信息傳播或執(zhí)行：促銷信息未能有效觸達目標新顧客群體，或門店執(zhí)行不到位。改進建議：調(diào)整滿減門檻（設(shè)置多個梯度以覆蓋不同消費水平顧客）；結(jié)合其他促銷方式（如滿減+小額贈品）；針對新顧客開展專門的滿減活動；加強促銷信息宣傳和門店執(zhí)行培訓(xùn)。5.數(shù)據(jù)假設(shè)條件及補救措施：*正態(tài)性：許多參數(shù)檢驗（如t檢驗、ANOVA）假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。補救措施：使用非參數(shù)檢驗（如Mann-WhitneyU,Kruskal-Wallis）；對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換（如對數(shù)、平方根轉(zhuǎn)換）；增大樣本量（中心極限定理）；使用穩(wěn)健統(tǒng)計方法。*方差齊性：ANOVA假設(shè)各組數(shù)據(jù)的方差相等。補救措施：使用Welch'sANOVA；進行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換；使用非參數(shù)檢驗。*獨立性：假設(shè)樣本觀測值相互獨立。補救措施：如果存在聚類或重復(fù)測量，使用混合效應(yīng)模型或相關(guān)統(tǒng)計方法。*線性關(guān)系（回歸）：假設(shè)自變量與因變量間存在線性關(guān)系。補救措施：繪制散點圖檢查；加入非線性項（平方項、交互項）；使用非線性回歸模型。第三題1.描述空間分布特征：*統(tǒng)計量：對每個指標，計算每個采樣點的均值/中位數(shù)，比較五個點之間的差異；計算標準差，衡量各點數(shù)據(jù)離散程度；計算最小值、最大值，了解范圍。*圖表方法：繪制五個采樣點在每個水質(zhì)指標上的箱線圖，可以直觀比較各點的分布位置、離散程度和異常值情況。也可以繪制小提琴圖，同時展示分布的形狀和密度。2.分析變量間相關(guān)性：*方法：計算溶解氧、氨氮、COD、懸浮物之間的Pearson相關(guān)系數(shù)（如果數(shù)據(jù)近似正態(tài)）或Spearman秩相關(guān)系數(shù)（如果數(shù)據(jù)非正態(tài)）。構(gòu)建相關(guān)矩陣，清晰展示所有變量間的相關(guān)系數(shù)及其顯著性水平。*解釋：高正相關(guān)性（如氨氮與COD）可能暗示同一污染源或相似的水文條件影響著這兩個指標。高負相關(guān)性（如溶解氧與氨氮）可能表示氨氮濃度高的區(qū)域溶解氧濃度較低，通常與有機物分解消耗氧氣有關(guān)。分析結(jié)果有助于初步判斷污染物的關(guān)聯(lián)性和可能的污染過程。3.分析采樣點差異（數(shù)據(jù)非正態(tài)）：*方法比較：*參數(shù)檢驗（如ANOVA）：假設(shè)數(shù)據(jù)正態(tài)且方差齊性。若不滿足，結(jié)果可能不可靠。*非參數(shù)檢驗（如Kruskal-WallisH檢驗）：不依賴數(shù)據(jù)分布假設(shè)，適用于比較多個獨立樣本的中位數(shù)是否存在差異。這是本場景下的優(yōu)先選擇。如果需要比較兩兩之間，后續(xù)可使用Mann-WhitneyU檢驗（配對或獨立，根據(jù)設(shè)計）。*選擇理由：非參數(shù)檢驗對數(shù)據(jù)分布的要求寬松，更適用于本題目中可能存在的非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。它能提供變量在不同采樣點間是否存在位置差異（中位數(shù)差異）的推斷。4.支持/反駁化工廠排放懷疑的統(tǒng)計方法/指標：*方法一：趨勢分析/空間對比。比較上游采樣點（尤其是最靠近化工廠的點）的水質(zhì)指標（如COD、氨氮）與其他采樣點（中游、下游）是否存在顯著差異。使用Mann-WhitneyU檢驗或Kruskal-Wallis檢驗比較上游點與下游點的差異。如果上游點指標顯著更高，則支持懷疑。*方法二：相關(guān)性分析。計算化工廠到各采樣點的水流距離作為自變量，對應(yīng)采樣點的污染物濃度（如COD）作為因變量，進行簡單線性回歸。如果回歸系數(shù)顯著為正，且R2較高，表明污染物濃度隨距離增加而增加，支持點源排放的假設(shè)。*解釋：通過統(tǒng)計檢驗，如果發(fā)現(xiàn)上游關(guān)鍵污染物濃度顯著高于下游或與其他點位有顯著差異，并且這種差異與距離化工廠的遠近呈正相關(guān)，則提供了有力的數(shù)據(jù)證據(jù)支持化工廠是主要污染來源的懷疑。同時需考慮其他潛在影響因素（如下游是否有其他排放源）。5.時間序列/空間分析注意事項及處理：*潛在問題：*缺失值：某些采樣點或某幾周的數(shù)據(jù)可能缺失。處理：根據(jù)缺失程度，考慮刪除（若不多）、插值（均值、中位數(shù)、回歸插值等）或使用多重插補。*異常值：某次測量可能出現(xiàn)極端值。處理：先識別（箱線圖、Z-score等），再判斷是否為真