2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法解題試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知總體容量為N=1000，采用不重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為n=100的樣本。若樣本中某特征的頻數(shù)為f=60，試計(jì)算該特征的樣本比例p?。二、某城市有20個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)擁有居民戶500戶。為估計(jì)該城市平均每戶月支出，需進(jìn)行抽樣調(diào)查。若采用分層抽樣方法，按居民戶收入水平將20個(gè)社區(qū)分為三層（低收入、中等收入、高收入），各層社區(qū)數(shù)量分別為5個(gè)、10個(gè)、5個(gè)。計(jì)劃樣本總量為200戶，請(qǐng)確定各層應(yīng)抽取的居民戶數(shù)（要求按比例分配）。三、某工廠生產(chǎn)一種零件，批量生產(chǎn)時(shí)采用整群抽樣進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。將生產(chǎn)過程劃分為200個(gè)連續(xù)的1小時(shí)生產(chǎn)班次作為群，每班次生產(chǎn)的零件數(shù)量相同，約為500件。現(xiàn)計(jì)劃抽取10個(gè)班次進(jìn)行檢驗(yàn)。若抽中第3、6、9、12、15、21、28、35、42、50班次，試寫出這10個(gè)班次中所有被抽中零件的編號(hào)范圍（假設(shè)第1班次的第一個(gè)零件編號(hào)為1）。四、比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和整群抽樣在估計(jì)總體均值時(shí)的抽樣平均誤差。請(qǐng)分別說明在什么條件下，哪種抽樣方法的抽樣平均誤差可能更?。繛槭裁?？五、為了估計(jì)某地區(qū)居民對(duì)一項(xiàng)新政策的支持率，希望以95%的置信水平使抽樣誤差不超過±3%。根據(jù)歷史資料，該地區(qū)居民支持類似政策的比例約為50%。若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，至少需要抽取多少居民進(jìn)行調(diào)查？六、某研究欲采用分層抽樣方法調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的平均月生活費(fèi)。已知該校學(xué)生分為本科生和研究生兩類，本科生人數(shù)為8000人，研究生人數(shù)為2000人。若希望總體中位數(shù)能以99%的置信水平被估計(jì)，允許的絕對(duì)誤差為50元。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，本科生月生活費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差為300元，研究生月生活費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差為400元。為達(dá)到上述要求，樣本總量至少應(yīng)為多少？（提示：估計(jì)中位數(shù)所需樣本量通常大于估計(jì)均值，可參考均值估計(jì)所需樣本量公式，并考慮比例加權(quán)，或直接說明需要更大的樣本量）七、某市場(chǎng)調(diào)查公司欲調(diào)查某城市18-35歲青年人對(duì)某新產(chǎn)品的購買意愿。城市共有青年人15萬人，分為18-25歲和26-35歲兩年齡段，人數(shù)分別為8萬人和7萬人。計(jì)劃采用多階段抽樣方法：第一階段：按地理位置將城市劃分為30個(gè)區(qū)域，隨機(jī)抽取10個(gè)區(qū)域。第二階段：在每個(gè)抽中的區(qū)域內(nèi)，按商店登記冊(cè)列表，按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取200名青年人。第三階段：在抽中的青年人中，測(cè)量其購買意愿。假設(shè)最終抽中了一個(gè)樣本量為800人的樣本。請(qǐng)簡(jiǎn)述該多階段抽樣方法的基本過程，并指出在第三階段測(cè)量購買意愿時(shí)，樣本單位是什么？八、設(shè)總體容量為N，采用不重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本量為n。試推導(dǎo)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽樣平均誤差（μx?）和抽樣成數(shù)誤差（μp）的計(jì)算公式。假設(shè)總體方差為σ2，總體成數(shù)方差為P(1-P)。試卷答案一、p?=f/n=60/100=0.60解析思路：直接根據(jù)樣本比例的定義計(jì)算。樣本比例p?等于樣本中具有特定特征的頻數(shù)f除以樣本總量n。將題目給出的f=60和n=100代入公式即可得到結(jié)果。二、總樣本量N=200，社區(qū)總數(shù)K=20，分層情況及社區(qū)數(shù)量：低收入層k1=5，中等收入層k2=10，高收入層k3=5。各層居民戶總數(shù)：N1=5*500=2500，N2=10*500=5000，N3=5*500=2500。按比例分配樣本量：總比例=N/(N1+N2+N3)=200/(2500+5000+2500)=200/10000=0.02低收入層應(yīng)抽樣本量n1=N1*總比例=2500*0.02=50中等收入層應(yīng)抽樣本量n2=N2*總比例=5000*0.02=100高收入層應(yīng)抽樣本量n3=N3*總比例=2500*0.02=50樣本總量檢查：n1+n2+n3=50+100+50=200。解析思路：分層抽樣按比例分配時(shí)，首先計(jì)算總體總戶數(shù)N（N=N1+N2+N3）。然后確定總樣本量n與總戶數(shù)的比例（總比例=n/N）。各層應(yīng)抽取的樣本量等于該層戶數(shù)乘以總比例（ni=Ni*總比例）。分別計(jì)算各層應(yīng)抽樣本量n1,n2,n3，并檢驗(yàn)總量是否滿足要求。三、抽中班次編號(hào)：3,6,9,12,15,21,28,35,42,50。每個(gè)班次生產(chǎn)零件數(shù)約為500件。被抽中零件的編號(hào)范圍：第3班次：3*500+1到3*500+500，即1501到2000。第6班次：6*500+1到6*500+500，即3001到3500。第9班次：9*500+1到9*500+500，即4501到5000。第12班次：12*500+1到12*500+500，即6001到6500。第15班次：15*500+1到15*500+500，即7501到8000。第21班次：21*500+1到21*500+500，即10501到11000。第28班次：28*500+1到28*500+500，即14001到14500。第35班次：35*500+1到35*500+500，即17501到18000。第42班次：42*500+1到42*500+500，即21001到21500。第50班次：50*500+1到50*500+500，即25001到25500。解析思路：整群抽樣中，先確定群內(nèi)元素?cái)?shù)量（題目給約為500件）。然后將抽中的群編號(hào)（班次號(hào)），計(jì)算每個(gè)被抽中群內(nèi)第一個(gè)元素的編號(hào)（群號(hào)*每群元素?cái)?shù)+1），最后一個(gè)元素的編號(hào)（第一個(gè)元素編號(hào)+每群元素?cái)?shù)-1）。按此方法列出所有抽中班次的編號(hào)范圍。四、1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(SRS)：抽樣平均誤差μx?=σ/√n或μp=√[P(1-P)/n]。適用于總體單位分布均勻的情況，能獲得最低的抽樣平均誤差（在其他條件相同時(shí)）。2.分層抽樣：抽樣平均誤差μx?≤√[Σ(s?2/n?)/n]或μp≤√[Σ(p?(1-p?)/n?)/n]。當(dāng)層內(nèi)方差小、層間方差大時(shí)，分層抽樣效果更好。通過劃分同質(zhì)性好、異質(zhì)性差的層，能有效降低抽樣誤差。3.整群抽樣：抽樣平均誤差μx?=√[(ρ-1)σ?2/n]或μp=√[(ρ-1)P(1-P?)/n]。其中ρ是群內(nèi)相關(guān)系數(shù)或群間相關(guān)系數(shù)。當(dāng)群內(nèi)單位同質(zhì)性高（ρ接近0）時(shí)，整群抽樣誤差可能更小，且實(shí)施方便。但通常誤差會(huì)大于SRS和分層抽樣。解析思路：比較三種抽樣方法的抽樣平均誤差公式。分析影響誤差大小的因素：總體方差、樣本量、層內(nèi)/層間方差、群內(nèi)/群間同質(zhì)性。根據(jù)這些因素說明在何種條件下，哪種方法的誤差可能更小，并解釋原因（基于公式和抽樣原理）。五、置信水平1-α=95%，則α=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得zα/2=1.96。允許絕對(duì)誤差Δ=3%，即Δ=0.03。支持率估計(jì)比例p未知，用p=0.5使p(1-p)最大，為0.5*0.5=0.25。樣本量公式：n=(zα/2)2*[p(1-p)/Δ2]=(1.96)2*[0.25/(0.03)2]=3.8416*(0.25/0.0009)=3.8416*277.77...≈1071.7。由于樣本量必須為整數(shù)，且需向上取整以保證精度要求，n≥1072。解析思路：使用估計(jì)總體比例所需的樣本量公式n=(zα/2)2*[p(1-p)/Δ2]。根據(jù)給定的置信水平和允許誤差，確定zα/2和Δ的值。由于p未知，為保證所需樣本量最大，取p(1-p)=0.25。代入公式計(jì)算n。由于計(jì)算結(jié)果為小數(shù)，且要求滿足或超過估計(jì)精度，需向上取整到整數(shù)。六、本科生人數(shù)N1=8000，研究生人數(shù)N2=2000，總?cè)藬?shù)N=N1+N2=10000。本科生標(biāo)準(zhǔn)差σ1=300，研究生標(biāo)準(zhǔn)差σ2=400。本科生比例N1/N=8000/10000=0.8，研究生比例N2/N=2000/10000=0.2。本科生方差s?2=σ?2=3002=90000。研究生方差s?2=σ?2=4002=160000。加權(quán)平均方差（用于均值估計(jì)中位數(shù)所需樣本量）：S2=(N1/N)*s?2+(N2/N)*s?2=0.8*90000+0.2*160000=72000+32000=104000。所需樣本量（基于均值估計(jì)公式，并考慮比例加權(quán)）：n=S2/(Δ2)=104000/(502)=104000/2500=41.6。由于樣本量必須為整數(shù)，且需向上取整，n≥42。注：更嚴(yán)格的估計(jì)中位數(shù)所需樣本量計(jì)算可能需要使用分位數(shù)相關(guān)的公式或經(jīng)驗(yàn)法則，通常會(huì)比均值估計(jì)需要更大的樣本量。此處按均值估計(jì)公式計(jì)算結(jié)果為41.6，取整為42。若需更精確區(qū)分，可說明應(yīng)大于42。解析思路：首先計(jì)算總體中本科生和研究生的人數(shù)比例。然后計(jì)算各層的方差（等于標(biāo)準(zhǔn)差的平方）。接著計(jì)算加權(quán)平均方差S2。最后使用估計(jì)總體均值所需的樣本量公式n=S2/(Δ2)，其中Δ是允許的絕對(duì)誤差。將計(jì)算出的S2和Δ代入公式求解n，并向上取整。七、基本過程：1.第一階段抽樣：將城市按地理位置劃分為M=30個(gè)區(qū)域（抽樣單位是區(qū)域）。隨機(jī)抽取m=10個(gè)區(qū)域進(jìn)入下一階段。2.第二階段抽樣：在每個(gè)抽中的m=10個(gè)區(qū)域內(nèi)，獲得該區(qū)域的商店登記冊(cè)列表（抽樣單位是青年人）。對(duì)每個(gè)區(qū)域列表中的青年人，按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取n?=200名青年人進(jìn)入下一階段。總樣本量初步確定為m*n?=10*200=2000名青年人（題目最終樣本量為800，可能是在此基礎(chǔ)上再抽樣或列表有誤，但過程按描述）。3.第三階段測(cè)量：在第二階段抽中的2000名青年人中，測(cè)量其購買意愿（抽樣單位是青年人）。樣本單位：在第三階段測(cè)量購買意愿時(shí)，樣本單位是第二階段抽中的那2000名青年人。解析思路：根據(jù)多階段抽樣的定義，描述每一階段的抽樣單元、抽樣方法和樣本量（或抽樣比）。明確最終進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查的單位（第三階段的樣本單位）。注意題目中給出的最終樣本量為800，與第二階段基于2000人的抽樣計(jì)劃似乎有出入，解析時(shí)指出這一潛在矛盾，但按要求描述基本過程和第三階段樣本單位。八、1.抽樣平均誤差(μx?)推導(dǎo)：不重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，第i個(gè)樣本單位被抽中的概率為p?=(N-i+1)/Nn。樣本均值X?=(X?+X?+...+Xn)/n。抽樣平均誤差μx?的定義是樣本均值X?的方差Var(X?)的平方根。Var(X?)=E[(X?-μ)2]=E[X?2]-μ2。對(duì)于不重復(fù)SRS，E[X?]=μ。Var(X?)=E[(ΣX?/n)2]-μ2=(1/n2)*E[(ΣX?)2]-μ2。E[(ΣX?)2]=E[ΣX?2+2Σ?≠?X?X?]=ΣE[X?2]+2Σ?≠?E[X?]E[X?]=nE[X?2]+n(n-1)E[X?X?]=n(σ2+μ2)。Var(X?)=(1/n2)*[n(σ2+μ2)]-μ2=(σ2+μ2)/n-μ2=σ2/n。因?yàn)镋[μ2]=μ2，所以Var(X?)=σ2/n。不重復(fù)SRS的抽樣平均誤差：μx?=√[Var(X?)]=√[σ2/n]=σ/√n。簡(jiǎn)化推導(dǎo)（使用方差公式）：Var(X?)=(N-n)/(N-1)*(σ2/n)。當(dāng)N遠(yuǎn)大于n時(shí)，(N-n)/(N-1)≈1-n/N。Var(X?)≈(1-n/N)*(σ2/n)=σ2/n-(σ2n)/(Nn)=σ2/n-σ2/n2=σ2/n(1-n/N)。μx?=√[Var(X?)]≈√[σ2/n(1-n/N)]≈√[σ2/n]=σ/√n。（當(dāng)n/N很小時(shí)，此近似成立）2.抽樣成數(shù)誤差(μp)推導(dǎo)：設(shè)總體成數(shù)為P，樣本成數(shù)為p?=ΣX?/n，其中X?=1（若單位具有某特征），X?=0（若不具有）。E[p?]=E[ΣX?/n]=(1/n)*E[ΣX?]=(1/n)*[n*P]=P。Var(p?)=Var[ΣX?/n]=(1/n2)*Var(ΣX?)。對(duì)于不重復(fù)SRS，Var(ΣX?)=ΣVar(X?)=n*Var(X?)=n*P(1-P)。Var(p?)=(1/n2)*[n*P(1-P)]=P(1-P)/n。不重復(fù)SRS的抽樣成數(shù)誤差：μp=√[Var(p?)]=√[P(1-P)/n]。解析思路：1.推導(dǎo)μx?：從樣本均值X?的