2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：分析與決策制定案例分析題庫考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某連鎖超市希望了解其顧客的購買行為，以優(yōu)化商品布局和營銷策略。他們對上個月隨機(jī)抽取的1000名顧客的月均消費(fèi)額（單位：元）進(jìn)行了記錄。數(shù)據(jù)初步顯示，月均消費(fèi)額大致呈正態(tài)分布，樣本均值約為1500元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差約為300元。要求：1.描述該超市顧客月均消費(fèi)額的基本分布特征（至少包括集中趨勢和離散程度）。2.若想估計(jì)該超市所有顧客月均消費(fèi)額的置信水平為95%的置信區(qū)間，區(qū)間范圍約為多少？請說明計(jì)算過程中用到的關(guān)鍵參數(shù)。3.假設(shè)該超市經(jīng)理認(rèn)為顧客月均消費(fèi)額超過2000元的是“高價值顧客”。基于樣本數(shù)據(jù)，能否有統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持這一觀點(diǎn)（在α=0.05的水平下）？請說明你的檢驗(yàn)思路和主要步驟。試題二一家汽車制造商想要比較其新推出的兩款車型（A型和B型）的燃油效率。他們隨機(jī)選擇了20輛A型車和20輛B型車，在相同的測試條件下進(jìn)行了燃油效率測試（單位：公里/升）。測試結(jié)果（樣本數(shù)據(jù)）顯示，A型車的樣本均值為12公里/升，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.5公里/升；B型車的樣本均值為11公里/升，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.8公里/升。假設(shè)兩車型燃油效率的總體均值的方差相等，但未知。要求：1.建立一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷A型車的燃油效率是否顯著高于B型車（α=0.05）。2.計(jì)算該檢驗(yàn)的p值，并解釋其含義。3.基于你的檢驗(yàn)結(jié)果，能否為該汽車制造商提供關(guān)于兩款車型燃油效率差異的結(jié)論？請說明理由，并考慮實(shí)際應(yīng)用中的意義。試題三一家在線教育平臺想要評估兩種不同的廣告策略（策略X和策略Y）對用戶注冊率的影響。他們分別向兩組用戶展示了不同的廣告，其中策略X觸達(dá)了5000名用戶，有450名用戶注冊；策略Y觸達(dá)了6000名用戶，有540名用戶注冊。要求：1.計(jì)算兩種廣告策略的用戶注冊率，并進(jìn)行比較。2.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷這兩種廣告策略的用戶注冊率是否存在顯著差異（α=0.01）。請寫出完整的檢驗(yàn)步驟，包括零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、p值判斷或臨界值比較。3.解釋該檢驗(yàn)結(jié)果對該在線教育平臺制定廣告策略的潛在啟示。試題四某公司人力資源部想了解員工的工作滿意度與其工作年限之間是否存在關(guān)系。他們調(diào)查了公司中隨機(jī)抽取的50名員工，記錄了每位員工的工作年限（年）和工作滿意度評分（1到10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高）。通過初步探索性分析，發(fā)現(xiàn)工作滿意度評分與工作年限之間存在一定的線性趨勢。要求：1.建立一個簡單線性回歸模型，以工作年限為自變量，工作滿意度評分為因變量，解釋模型中各系數(shù)（截距和斜率）的實(shí)際意義。2.對建立的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)），判斷工作年限是否對工作滿意度有顯著的線性影響（α=0.05）。3.如果一名工作年限為5年的員工被選中，預(yù)測其工作滿意度的評分范圍（例如，計(jì)算95%的預(yù)測區(qū)間），并解釋預(yù)測區(qū)間的含義與置信區(qū)間的區(qū)別。試題五為了評估一項(xiàng)新培訓(xùn)項(xiàng)目對員工技能提升的效果，某公司對參加了培訓(xùn)的30名員工進(jìn)行了前測和后測，記錄了他們在某項(xiàng)關(guān)鍵技能上的得分。數(shù)據(jù)初步分析顯示，培訓(xùn)后得分普遍有所提高，且前后測得分之差大致符合正態(tài)分布，樣本均值為8分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5分。要求：1.描述培訓(xùn)前后員工技能得分的差異情況（集中趨勢和離散程度）。2.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷該培訓(xùn)項(xiàng)目是否確實(shí)提升了員工的技能水平（即培訓(xùn)后得分是否顯著高于培訓(xùn)前得分，α=0.05）。請說明檢驗(yàn)的零假設(shè)、備擇假設(shè)、選用檢驗(yàn)方法及主要步驟。3.基于檢驗(yàn)結(jié)果，對該培訓(xùn)項(xiàng)目的有效性進(jìn)行評價，并提出至少一條關(guān)于如何進(jìn)一步改進(jìn)培訓(xùn)的建議。試卷答案試題一1.集中趨勢：均值約為1500元，表明顧客平均每月消費(fèi)約1500元。離散程度：標(biāo)準(zhǔn)差約為300元，說明顧客月均消費(fèi)額圍繞1500元波動，波動范圍大致在1200元至1800元之間（約均值加減2倍標(biāo)準(zhǔn)差）。2.置信區(qū)間約為(1442元,1558元)。關(guān)鍵參數(shù)：樣本均值(1500)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差(300)，樣本量(1000)，z值（95%置信水平對應(yīng)約1.96）。3.檢驗(yàn)思路：進(jìn)行單樣本z檢驗(yàn)。零假設(shè)H?:μ≤2000，備擇假設(shè)H?:μ>2000。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=(樣本均值-2000)/(標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(樣本量))=(1500-2000)/(300/sqrt(1000))≈-3.33。查z表或計(jì)算p值，p<0.0005<0.05。拒絕H?，有統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持高價值顧客月均消費(fèi)額超過2000元的觀點(diǎn)。試題二1.檢驗(yàn)假設(shè)：零假設(shè)H?:μ_A≤μ_B，備擇假設(shè)H?:μ_A>μ_B。使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。2.p值：計(jì)算合并方差s_p2=[(19*1.52+19*1.82)/(20+19)]≈2.635，合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈1.62。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(12-11)/(1.62*sqrt(20/20+20/20))≈1.85。查t分布表（df=38,α=0.05單尾）得臨界值約1.685，或計(jì)算p值約為0.033。3.結(jié)論：p值0.033<0.05，拒絕H?。有統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明A型車燃油效率顯著高于B型車。這對制造商有實(shí)際意義，可能支持A型車的市場推廣，或作為改進(jìn)B型車的參考。試題三1.策略X注冊率：450/5000=9%；策略Y注冊率：540/6000=9%。兩種策略注冊率相同。2.檢驗(yàn)假設(shè)：零假設(shè)H?:p_X=p_Y，備擇假設(shè)H?:p_X≠p_Y。使用卡方檢驗(yàn)或Z檢驗(yàn)（大樣本）。方法一（Z檢驗(yàn)）：合并比例p=(450+540)/(5000+6000)=990/11000≈0.09；標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sqrt[p*(1-p)*(1/5000+1/6000)]≈0.0088。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=|(0.09-0.09)/0.0088|=0。p值=2*P(Z>0)=1。臨界值（α=0.01雙尾）約為±2.576。方法二（卡方檢驗(yàn)）：計(jì)算期望頻數(shù)，觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)差異是否顯著。計(jì)算得到卡方統(tǒng)計(jì)量χ2≈0。判斷：p值=1>0.01，或χ2≈0<臨界值。不能拒絕H?。3.啟示：兩種廣告策略在用戶注冊率上沒有顯著差異，說明策略本身可能不是影響注冊的關(guān)鍵因素，需考慮其他因素（如廣告內(nèi)容、展示時機(jī)、目標(biāo)用戶群體等）或進(jìn)行更精細(xì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。試題四1.模型：?=b?+b?x。假設(shè)模型為?=b?+b?*工作年限。b?為截距，代表工作年限為0時（理論上）的滿意度評分。b?為斜率，代表工作年限每增加1年，滿意度評分平均變化的分?jǐn)?shù)。2.檢驗(yàn)：進(jìn)行F檢驗(yàn)，看回歸模型整體是否顯著。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量及其p值。假設(shè)p值（例如）<0.05，則拒絕H?，認(rèn)為工作年限對滿意度有顯著的線性影響。3.預(yù)測區(qū)間：計(jì)算預(yù)測區(qū)間的上下限。假設(shè)計(jì)算得到95%預(yù)測區(qū)間為(y_low,y_high)（例如）。該區(qū)間表示對于某名特定的、工作年限為5年的員工，其真實(shí)工作滿意度評分有95%的可能性落在(y_low,y_high)這個范圍內(nèi)。預(yù)測區(qū)間包含了個體差異，范圍比置信區(qū)間寬。試題五1.描述：前后測得分之差均值為8分，表明培訓(xùn)使員工平均得分提高了8分。標(biāo)準(zhǔn)差為5分，說明得分提升幅度在-3分至+13分之間（約均值加減2倍標(biāo)準(zhǔn)差）的員工占多數(shù)。2.檢驗(yàn)假設(shè)：零假設(shè)H?:μ_d=0（培訓(xùn)無效果），備擇假設(shè)H?:μ_d>0（培訓(xùn)有效果）。使用配對樣本t檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(樣本均值差-0)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差差