大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試：2025年統(tǒng)計與決策理論解析試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本。求樣本均值$\overline{X}$的期望和方差。2.設(shè)總體X的均值$\mu$未知，方差$\sigma^2$已知。從該總體抽取容量為n的樣本，樣本均值為$\overline{X}$。為檢驗(yàn)H0:$\mu=\mu_0$vsH1:$\mu\neq\mu_0$，選用$\overline{X}$構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計量是什么？請說明其分布（在H0成立時）。3.解釋置信區(qū)間（1-α）%的含義。4.在方差分析中，完全隨機(jī)設(shè)計（單因素方差分析）的基本假設(shè)有哪些？二、1.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知。若要檢驗(yàn)H0:$\mu\leq\mu_0$vsH1:$\mu>\mu_0$，應(yīng)選用什么檢驗(yàn)統(tǒng)計量？請說明其分布（在H0成立時）。2.在簡單線性回歸模型Y=β0+β1X+ε中，假設(shè)誤差項(xiàng)ε服從N(0,σ^2)。解釋回歸系數(shù)β1的估計量$b_1$的抽樣分布。3.寫出樣本方差$s^2$的公式，并說明其與總體方差$\sigma^2$的關(guān)系。4.解釋什么是貝葉斯決策理論。它與古典決策理論有何根本區(qū)別？三、1.設(shè)總體X的密度函數(shù)為$f(x;θ)=\frac{1}{2θ}e^{-(x-θ)}$，其中$x>θ$,θ為未知參數(shù)。從該總體抽取容量為n的樣本X1,X2,...,Xn。證明樣本極小值$X_{(1)}=\min(X1,X2,...,Xn)$是θ的無偏估計量。2.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，θ>0未知。從該總體抽取容量為n的樣本X1,X2,...,Xn。證明$\frac{n+1}{n}X_{(n)}$是θ的無偏估計量，其中$X_{(n)}=\max(X1,X2,...,Xn)$。3.在單因素方差分析中，總離差平方和SSTotal可以分解為哪些部分？請寫出分解公式。4.解釋決策規(guī)則“最小期望損失”（MinimaxRegret）的原理。四、1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)。從該總體抽取容量為25的樣本，樣本均值為$\overline{X}=50$。求μ的95%置信區(qū)間。2.設(shè)總體X的均值μ未知，方差$\sigma^2=9$。為檢驗(yàn)H0:$\mu=20$vsH1:$\mu\neq20$，自由度為20的t分布的臨界值是多少（α=0.05）？請說明拒絕域。3.從兩個正態(tài)總體N($\mu_1$,4)和N($\mu_2$,9)中分別抽取容量為n1=16和n2=25的獨(dú)立樣本，樣本均值分別為$\overline{X1}=10$和$\overline{X2}=12$。求$\mu_1-\mu_2$的95%置信區(qū)間。4.一項(xiàng)研究比較兩種教學(xué)方法的效果。隨機(jī)選取10名學(xué)生接受方法A，10名學(xué)生接受方法B，考試成績?nèi)缦拢〝?shù)據(jù)已省略，假設(shè)成績服從正態(tài)分布，且兩組方差相等）。請寫出進(jìn)行單因素方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計量F的計算公式，并說明其原假設(shè)和備擇假設(shè)。五、1.在簡單線性回歸模型Y=β0+β1X+ε中，解釋樣本決定系數(shù)$R^2$的含義。2.設(shè)有一個二元決策問題，損失矩陣為：||決策a1|決策a2||---------|---------------|---------------||狀態(tài)s1|L(1,a1)|L(1,a2)||狀態(tài)s2|L(2,a1)|L(2,a2)|（具體損失值已省略）。若決策者采用期望損失最小化原則，且狀態(tài)s1和s2發(fā)生的先驗(yàn)概率相等，請寫出選擇決策a1的期望損失表達(dá)式，并解釋該原則的含義。3.解釋什么是貝葉斯風(fēng)險，它與期望損失有何關(guān)系？4.在多因素方差分析中，如何判斷因素A的主效應(yīng)？請簡述分析方法。試卷答案一、1.E($\overline{X}$)=λ,Var($\overline{X}$)=$\frac{\sigma^2}{n}$=$\frac{\lambda}{n}$。解析思路：樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無偏估計。對于泊松分布，E(X)=λ,Var(X)=λ。利用樣本均值的期望和方差性質(zhì)：E($\overline{X}$)=E(X)，Var($\overline{X}$)=$\frac{1}{n}Var(X)$。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計量$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$。分布：t分布，自由度df=n-1（在H0成立時）。解析思路：這是單樣本均值檢驗(yàn)的Z檢驗(yàn)形式。由于總體方差$\sigma^2$已知，故使用Z統(tǒng)計量。檢驗(yàn)統(tǒng)計量是樣本均值$\overline{X}$減去原假設(shè)下的均值$\mu_0$，再除以標(biāo)準(zhǔn)誤差$\sigma/\sqrt{n}$。當(dāng)H0為真時，該統(tǒng)計量服從自由度為n-1的t分布。3.在重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，有（1-α）%的概率使得由該方法計算的置信區(qū)間包含真實(shí)的總體參數(shù)μ。解析思路：置信區(qū)間（1-α）%表達(dá)了區(qū)間估計的可靠性。它描述了構(gòu)造置信區(qū)間的方法：如果重復(fù)抽樣多次，每次都按該方法計算一個置信區(qū)間，那么平均有（1-α）%的區(qū)間會包含真實(shí)的總體參數(shù)。4.各總體（處理）服從正態(tài)分布；各總體的方差相等（σ1^2=σ2^2=...=σk^2=σ^2）；樣本之間相互獨(dú)立；觀測值是隨機(jī)抽取的。解析思路：這是單因素完全隨機(jī)設(shè)計方差分析（ANOVA）的三個基本假設(shè)。正態(tài)性假設(shè)保證樣本均值和樣本方差的分布性質(zhì)良好；方差齊性假設(shè)是F檢驗(yàn)有效的前提；獨(dú)立性和隨機(jī)性保證樣本的代表性。二、1.檢驗(yàn)統(tǒng)計量$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$。分布：t分布，自由度df=n-1（在H0成立時）。解析思路：這是單樣本均值檢驗(yàn)的t檢驗(yàn)形式。由于總體方差$\sigma^2$未知，需用樣本方差$s^2$進(jìn)行估計。標(biāo)準(zhǔn)誤差變?yōu)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差$s/\sqrt{n}$。檢驗(yàn)統(tǒng)計量形式與Z檢驗(yàn)類似，但使用t分布。當(dāng)H0為真時，統(tǒng)計量服從自由度為n-1的t分布。2.$b_1\simN(\beta_1,\frac{\sigma^2}{SXX})$，其中SXX=$\sum(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})$。解析思路：在線性回歸模型中，回歸系數(shù)$\beta_1$的估計量$b_1$是樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性組合。根據(jù)中心極限定理和正態(tài)分布的性質(zhì)，如果誤差項(xiàng)ε服從正態(tài)分布，則$b_1$也服從正態(tài)分布。其期望為真實(shí)的回歸系數(shù)$\beta_1$，方差為$\frac{\sigma^2}{SXX}$，其中SXX衡量了X數(shù)據(jù)的分散程度。3.$s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X})^2$。樣本方差$s^2$是總體方差$\sigma^2$的無偏估計量。解析思路：樣本方差$s^2$是利用樣本數(shù)據(jù)估計總體方差$\sigma^2$的常用公式。公式中分子是樣本數(shù)據(jù)的離差平方和，分母是自由度n-1，以保證$s^2$是$\sigma^2$的無偏估計。它比使用n作分母的均值平方和更合理。4.貝葉斯決策理論基于貝葉斯公式的決策分析框架。它先對未知參數(shù)（或狀態(tài)）θ或狀態(tài)s賦予一個先驗(yàn)分布，然后根據(jù)觀測到的樣本數(shù)據(jù)獲得后驗(yàn)分布，并結(jié)合損失函數(shù)計算期望損失或期望后悔值，選擇使期望損失最小的決策行動。與古典決策理論（如最大似然估計或頻率派方法）的根本區(qū)別在于它承認(rèn)并利用了參數(shù)或狀態(tài)的不確定性（通過先驗(yàn)分布），而古典理論通常忽略這種不確定性或采用頻率解釋。解析思路：貝葉斯決策的核心是后驗(yàn)推理，即利用貝葉斯公式結(jié)合先驗(yàn)信息（先驗(yàn)分布）和樣本信息（似然函數(shù)）得到后驗(yàn)分布。決策依據(jù)是后驗(yàn)期望損失或后驗(yàn)期望后悔值。古典決策理論（如頻率派）通?；跇颖拘畔⒈旧恚ㄈ缱畲笏迫还烙嫞?，不考慮先驗(yàn)信息，且對參數(shù)的概率解釋不同（參數(shù)被視為固定但未知的常數(shù)，而非隨機(jī)變量）。三、1.E($X_{(1)})$=E(min(X1,X2,...,Xn))=θ+$\frac{1}{n+1}$。因?yàn)镋($\overline{X})$=λ=θ+$\frac{1}{n+1}$（利用泊松分布期望性質(zhì)），而E($\overline{X})$=$\frac{1}{n}\sumE(X_i)$=$\frac{1}{n}\cdotnE(X)$=E(X)。所以E($X_{(1)})$=E($\overline{X})$=θ+$\frac{1}{n+1}$。因此E($\frac{n+1}{n}X_{(1)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(1)})$=θ+$\frac{1}{n+1}$=θ。故$\frac{n+1}{n}X_{(1)}$是θ的無偏估計量。解析思路：證明無偏性即證明E(估計量)=參數(shù)。對于極小值$X_{(1)}$，其期望可以通過它與樣本均值$\overline{X}$的期望關(guān)系來求得。已知泊松分布樣本均值的期望為θ+1/(n+1)。由于簡單隨機(jī)樣本的線性組合的期望等于期望的線性組合，故E($\overline{X})$=E(X)。因此E($X_{(1)})$=E($\overline{X})$=θ+1/(n+1)。最后乘以系數(shù)$\frac{n+1}{n}$即可得到期望為θ，證明其為無偏估計量。2.E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=E($\frac{n+1}{n}\max(X1,X2,...,Xn))$=E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=θ。因?yàn)镋($\overline{X})$=λ=θ+$\frac{1}{n+1}$。由上一題思路，E($X_{(n)})$=E($\overline{X})$=θ+$\frac{1}{n+1}$。故E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(n)})$=θ+$\frac{1}{n+1}$=θ。所以$\frac{n+1}{n}X_{(n)}$是θ的無偏估計量。解析思路：證明無偏性。思路與第一題類似。利用均勻分布U(0,θ)的性質(zhì)，其樣本均值的期望E($\overline{X})$=θ+1/(n+1)。對于極大值$X_{(n)}$，其期望E($X_{(n)})$也等于E($\overline{X})$。因此E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(\overline{X})$=θ+1/(n+1)=θ。證明其為無偏估計量。3.SSTotal=SSBetween+SSWithin。其中，SSBetween=$\sum_{i=1}^kn_i(\overline{X}_i-\overline{X})^2$，SSWithin=$\sum_{i=1}^k(n_i-1)s_i^2$，$\overline{X}_i$是第i組的樣本均值，$s_i^2$是第i組的樣本方差，$n_i$是第i組的樣本容量，$\overline{X}$是所有樣本的總均值。解析思路：總離差平方和SSTotal衡量所有樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與其總均值$\overline{X}$之間的總變異。它可以被分解為兩部分：一部分是組間平方和SSBetween，它反映了不同組樣本均值$\overline{X}_i$之間的差異；另一部分是組內(nèi)平方和SSWithin（也常稱為誤差平方和SSE），它反映了每個組內(nèi)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與其組內(nèi)均值$\overline{X}_i$之間的變異。這種分解基于每個樣本點(diǎn)的總離差可以表示為其組內(nèi)離差和組間離差之和。4.最小期望損失原則是指決策者選擇那個使其面對所有可能狀態(tài)時，期望的損失（或后悔值）最小的決策行動$a^*$。即選擇$a^*$使得minE[L(a,s)]=min$\sum_{s\inS}P(s|I)L(a,s)$，其中L(a,s)是采取行動a、實(shí)際狀態(tài)為s時的損失，P(s|I)是在獲得信息I后狀態(tài)s的條件概率。解析思路：期望損失最小化原則是決策理論中風(fēng)險決策的基本原則。決策者無法確切知道哪個狀態(tài)會發(fā)生，因此需要考慮所有可能狀態(tài)下的平均損失。給定一個決策行動a，計算其在所有狀態(tài)s下的損失L(a,s)的加權(quán)平均（權(quán)重為狀態(tài)發(fā)生的條件概率），這個加權(quán)平均值就是采取行動a的期望損失E[L(a,s)]。最小期望損失原則要求選擇那個使這個期望損失最小的行動。四、1.95%置信區(qū)間為(50-1.96*4/sqrt(25),50+1.96*4/sqrt(25))=(50-1.96*0.8,50+1.96*0.8)=(48.032,51.968)。解析思路：這是單樣本均值已知方差的置信區(qū)間計算。使用Z分布的α/2分位點(diǎn)（α=0.05時，α/2=0.025，Z0.025=1.96）。公式為：$\overline{X}\pmZ_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。將已知值代入計算即可。2.臨界值分別為-t0.025,20和t0.025,20。即-2.086和2.086。拒絕域?yàn)閠<-2.086或t>2.086。解析思路：這是單樣本均值未知方差的假設(shè)檢驗(yàn)。使用t分布的α/2分位點(diǎn)（α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)，df=n-1=20）。臨界值是t分布表中自由度為20，顯著性水平為0.025（或1-0.975）的值。拒絕域是包含這兩個臨界值的區(qū)域之外，即t統(tǒng)計量小于較小臨界值或大于較大臨界值時拒絕H0。3.95%置信區(qū)間為($\overline{X1}-\overline{X2}$)±2.064*sqrt(4/16+9/25)=(10-12)±2.064*sqrt(0.25+0.36)=-2±2.064*sqrt(0.61)=-2±2.064*0.781=(-2-1.614,-2+1.614)=(-3.614,-0.386)。解析思路：這是兩獨(dú)立樣本均值差（已知方差）的置信區(qū)間計算。使用Z分布的α/2分位點(diǎn)（α=0.05，df≈無窮大時，Z0.025=1.96，這里用更精確的2.064）。公式為：$(\overline{X1}-\overline{X2})\pmZ_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n1}+\frac{\sigma_2^2}{n2}}$。將已知值代入計算即可。4.F=MSTR/MSE，其中MSTR=$\frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^kn_i(\overline{X}_i-\overline{X})^2$，MSE=$\frac{SSE}{n_T-k}$，nT=$\sum_{i=1}^kn_i$，SSE=$\sum_{i=1}^k(n_i-1)s_i^2$。原假設(shè)H0:μ1=μ2=...=μk；備擇假設(shè)H1:至少有兩個μi不相等。解析思路：這是單因素方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計量F的公式。F統(tǒng)計量是組間均方（MSTR，衡量組間均值差異引起的變異）與組內(nèi)均方（MSE，衡量組內(nèi)數(shù)據(jù)自身變異）的比值。當(dāng)原假設(shè)H0為真（各組均值相等）時，MSTR和MSE都估計總體方差$\sigma^2$，F(xiàn)值應(yīng)接近1。若H0不真，MSTR會相對增大，F(xiàn)值會增大。檢驗(yàn)的原假設(shè)是所有組均值相等，備擇假設(shè)是至少有兩個組均值不等。五、1.$R^2$=1-SSE/SSTotal=1-$\frac{\sume_i^2}{\sum(Y_i-\overline{Y})^2}$。它表示回歸模型所能解釋的因變量Y的總變異（SSTotal）的比例。解析思路：樣本決定系數(shù)$R^2$衡量了回歸模型對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。其定義是回歸平方和（SSTotal-SSE，即模型解釋的變異）占總平方和（SSTotal，即總變異）的比例。$R^2$的取值范圍在0到1之間。$R^2$越接近1，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合程度越好，自變量X對因變量Y的解釋能力越強(qiáng)。2.E[L(a1)]=P(s1|I)*L(1,a1)+P(s2|I)*L(2,a1)。期望損失最小化原則要求比較E[L(a1)]和E[L(a2)]，選擇期望損失較小者。該原則的含義是決策者考慮了所有可能的狀態(tài)及其發(fā)生的概率，并選擇一個能在長期或平均意義上帶來最小損失的決策。解析思路：根據(jù)期望損失最小化原則，對于決策a1，需要計算其在兩種狀態(tài)s1和s2下?lián)p失的加權(quán)平均，權(quán)重為兩種狀態(tài)發(fā)生的條件概率P(s1|I)和P(s2|I)。這個加權(quán)平均值就是采取行動a1的期望損失E[L(a1)]。決策者需要計算所有可能行動a的期望損失，然后選擇其中最小的一個。這個原則體現(xiàn)了在面對不確定性時，決策者通過計算各