動量與能量綜合問題試卷一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分）1.碰撞過程中的守恒量判斷質(zhì)量為m的小球A以速度v?與靜止的質(zhì)量為2m的小球B發(fā)生彈性正碰，碰撞后兩球的動量變化量大小分別為Δp?和Δp?，動能變化量分別為ΔE??和ΔE??。下列關(guān)系正確的是（）A.Δp?=Δp?=mv?/3B.ΔE??=ΔE??=2mv?2/9C.碰撞后A球速度為-v?/3，B球速度為2v?/3D.碰撞過程中系統(tǒng)機械能損失為mv?2/3解析：彈性碰撞同時滿足動量守恒和機械能守恒。設(shè)碰撞后A、B速度分別為v?、v?，取v?方向為正方向：動量守恒：mv?=mv?+2mv?機械能守恒：?mv?2=?mv?2+?·2mv?2聯(lián)立解得v?=-v?/3，v?=2v?/3（選項C正確）。動量變化量：Δp?=m(v?-v?)=-4mv?/3（大小4mv?/3），Δp?=2m(v?-0)=4mv?/3（選項A錯誤）。動能變化量：ΔE??=?m(v?2-v?2)=-4mv?2/9，ΔE??=?·2m(v?2-0)=4mv?2/9（選項B錯誤）。彈性碰撞無機械能損失（選項D錯誤）。2.板塊模型中的能量轉(zhuǎn)化質(zhì)量為M的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m的滑塊以初速度v?滑上木板，滑塊與木板間動摩擦因數(shù)為μ。下列說法正確的是（）A.若滑塊未滑離木板，系統(tǒng)最終動能為mv?2/2(M+m)B.滑塊相對木板滑行的距離為v?2/2μg(M+m)/MC.摩擦力對滑塊做的功等于滑塊動能的減少量D.系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量與木板獲得的動能之比為m:M解析：系統(tǒng)水平方向動量守恒，最終共同速度v=mv?/(M+m)，系統(tǒng)最終動能E?=?(M+m)v2=m2v?2/2(M+m)（選項A錯誤）。由能量守恒：μmgL=?mv?2-?(M+m)v2，解得相對滑行距離L=Mv?2/2μg(M+m)（選項B錯誤）。由動能定理，摩擦力對滑塊做的功W=?mv2-?mv?2=-μmgx?（x?為滑塊位移），等于滑塊動能減少量（選項C正確）。系統(tǒng)產(chǎn)熱Q=μmgL=Mmv?2/2(M+m)，木板動能E??=?Mv2=Mm2v?2/2(M+m)2，Q:E??=(Mmv?2/2(M+m)):(Mm2v?2/2(M+m)2)=(M+m):m（選項D錯誤）。3.彈簧模型中的動量與能量水平面上固定擋板P，質(zhì)量為m的物塊A與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，靜止在光滑水平面上。質(zhì)量為2m的物塊B以速度v?沖向A，壓縮彈簧至最短后被彈回。下列說法正確的是（）A.彈簧最大彈性勢能為mv?2/3B.彈簧恢復原長時A的速度為4v?/3C.整個過程中A、B組成的系統(tǒng)動量守恒D.彈簧壓縮量最大時，A、B的加速度大小之比為1:2解析：彈簧壓縮至最短時二者共速v，系統(tǒng)動量守恒（擋板P對A有作用力，全過程動量不守恒，但壓縮階段B與A動量守恒）：2mv?=(m+2m)v→v=2v?/3。最大彈性勢能E?=?·2mv?2-?·3mv2=?·2mv?2-?·3m(4v?2/9)=mv?2-2mv?2/3=mv?2/3（選項A正確）。彈簧恢復原長時，由動量守恒2mv?=mv?+2mv?，機械能守恒?·2mv?2=?mv?2+?·2mv?2，聯(lián)立解得v?=4v?/3，v?=-v?/3（選項B正確）。因擋板P存在，系統(tǒng)總動量不守恒（壓縮階段動量守恒，彈回階段A受擋板作用力）（選項C錯誤）。彈簧壓縮量最大時，彈力F=kx，A的加速度a?=F/m=kx/m，B的加速度a?=F/(2m)=kx/(2m)，a?:a?=2:1（選項D錯誤）。4.多體碰撞問題質(zhì)量均為m的三個小球A、B、C在光滑水平面上依次排列，A以速度v?與靜止的B碰撞后粘在一起，隨后與靜止的C發(fā)生彈性碰撞。則最終三球的動量大小關(guān)系為（）A.p?=p?=p?B.p?=p?<p?C.p?<p?=p?D.p?+p?=p?解析：A與B碰撞（完全非彈性）：mv?=2mv?→v?=v?/2，動量p?=2mv?=mv?。AB整體與C彈性碰撞：2mv?=2mv?+mv?（動量守恒），?·2mv?2=?·2mv?2+?mv?2（機械能守恒），聯(lián)立解得v?=v?/6，v?=2v?/3。最終動量：p?=p?=m·v?/6=mv?/6，p?=m·2v?/3=2mv?/3，故p?=p?<p?（選項B正確）。5.曲線運動中的動量與能量質(zhì)量為m的小球從半徑為R的光滑圓弧軌道頂端由靜止釋放，在最低點與質(zhì)量為2m的靜止物塊發(fā)生彈性碰撞，物塊與水平面間動摩擦因數(shù)μ=0.5。則物塊滑行的距離為（）A.RB.2RC.3RD.4R解析：小球下滑過程機械能守恒：mgR=?mv?2→v?=√(2gR)。彈性碰撞：mv?=mv?+2mv?，?mv?2=?mv?2+?·2mv?2，解得v?=2v?/3=2√(2gR)/3。對物塊由動能定理：-μ·2mg·s=0-?·2mv?2→s=v?2/(2μg)=(8gR/9)/(2×0.5g)=(8R/9)/1=8R/9≈0.89R（無正確選項，可能題目數(shù)據(jù)調(diào)整為μ=0.25，則s=(8R/9)/(0.5g)=16R/9≈1.78R，仍不匹配。若碰撞為完全非彈性，v=√(2gR)/3，s=(2gR/9)/(2×0.5g)=2R/9，亦不匹配。推測原題正確答案為B，可能計算中取g=10m/s2或數(shù)據(jù)修正）。二、計算題（共3小題，共70分）6.（20分）板塊與彈簧綜合問題如圖所示，質(zhì)量M=2kg的木板靜止在光滑水平面上，木板左端固定勁度系數(shù)k=100N/m的輕彈簧，右端用長L=0.5m的輕繩連接質(zhì)量m=1kg的物塊B（可視為質(zhì)點），物塊B與木板間動摩擦因數(shù)μ=0.2。質(zhì)量m?=1kg的滑塊A以v?=6m/s的速度滑上木板左端，壓縮彈簧至最短后被彈回，最終滑塊A從木板左端離開，物塊B始終未脫離木板。重力加速度g=10m/s2。求：（1）彈簧的最大壓縮量；（2）滑塊A離開木板時的速度大小；（3）整個過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量。解析：（1）滑塊A與木板（含B）相互作用，當彈簧壓縮至最短時，A與木板具有共同速度v?。系統(tǒng)動量守恒：m?v?=(m?+M+m)v?→1×6=(1+2+1)v?→v?=1.5m/s。由能量守恒：?m?v?2=?(m?+M+m)v?2+μm?gL?+?kx2（L?為A相對木板位移，x為彈簧壓縮量）。但A在木板上滑行時，B與木板間無相對滑動（輕繩未繃緊），摩擦力僅A與木板間μ=0.2。設(shè)A相對木板滑行距離為L?=x（壓縮階段），則：?×1×62=?×4×1.52+0.2×1×10×x+?×100x218=4.5+2x+50x2→50x2+2x-13.5=0→x=(-2±√(4+4×50×13.5))/100=(-2+√2704)/100=(-2+52)/100=0.5m。（2）滑塊A被彈回至彈簧恢復原長時，設(shè)A速度v?，木板（含B）速度v?。系統(tǒng)動量守恒：m?v?=m?(-v?)+(M+m)v?（A向左為負）→6=-v?+3v?。能量守恒：?m?v?2=?m?v?2+?(M+m)v?2+μm?g·2x（A往返滑行2x）18=?×1×v?2+?×3v?2+0.2×1×10×1→18=0.5v?2+1.5v?2+2→0.5v?2+1.5v?2=16。聯(lián)立v?=3v?-6代入：0.5(3v?-6)2+1.5v?2=16→0.5(9v?2-36v?+36)+1.5v?2=16→4.5v?2-18v?+18+1.5v?2=16→6v?2-18v?+2=0→v?=(18±√(324-48))/12=(18±√276)/12≈(18+16.61)/12≈2.88m/s（舍負），v?=3×2.88-6≈2.64m/s。（3）系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量包括A與木板摩擦生熱Q?=μm?g·2x=0.2×1×10×1=2J，以及B與木板間摩擦生熱。當木板加速時，B受繩拉力和摩擦力，若木板加速度a≤μg=2m/s2，B與木板無相對滑動。木板最大加速度a=F/m=(kx+μm?g)/M=(100×0.5+2)/2=52/2=26m/s2>μg，故B相對木板滑動。對B：μmg=ma→a=2m/s2，木板加速度a'=(kx-μmg)/M=(100x-2)/2=50x-1。相對加速度a?=a'-a=50x-3，相對位移s=∫(v'-v)dt=∫a?dt2/2，積分復雜，簡化認為全過程B相對木板滑行s'，則Q?=μmgs'。但題目中“物塊B始終未脫離木板”，且輕繩長L=0.5m，故s'=L=0.5m，Q?=0.2×1×10×0.5=1J?？偀崃縌=Q?+Q?=3J。7.（25分）碰撞與圓弧軌道綜合問題如圖所示，光滑水平面上有質(zhì)量M=3kg的圓弧軌道，軌道半徑R=0.45m，其底部與水平面平滑連接。質(zhì)量m?=1kg的小球A從軌道頂端由靜止釋放，與靜止在水平面上質(zhì)量m?=2kg的小球B發(fā)生彈性碰撞，碰撞后B滑上傾角θ=37°的粗糙斜面，斜面動摩擦因數(shù)μ=0.5，斜面足夠長。sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。求：（1）小球A滑到軌道底部時的速度大??；（2）碰撞后小球B的速度大?。唬?）小球B沿斜面上升的最大高度；（4）小球B返回斜面底端時的動能。解析：（1）A下滑過程，A與軌道組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒（軌道可動），設(shè)A滑到底部時速度v?，軌道速度v?：m?v?-Mv?=0→v?=m?v?/M=v?/3。機械能守恒：m?gR=?m?v?2+?Mv?2→1×10×0.45=?×1×v?2+?×3×(v?/3)2→4.5=0.5v?2+0.5×3×v?2/9=0.5v?2+v?2/6=(3v?2+v?2)/6=4v?2/6→v?2=6.75→v?=2.598m/s≈2.6m/s。（2）A與B彈性碰撞，軌道速度v?=v?/3≈0.866m/s，A相對地面速度v?=2.6m/s，故A相對B的碰撞速度v?=v?+v?=3.466m/s（軌道向左運動，A向右，相對速度為二者之和）。動量守恒：m?v?-Mv?+m?×0=m?v?'+Mv?'+m?v?（軌道質(zhì)量大，碰撞瞬間速度不變v?'=v?），簡化為m?(v?-v?')=m?v?→1×(2.6-v?')=2v?→v?'=2.6-2v?。機械能守恒：?m?(v?2-v?'2)=?m?v?2→(2.62-v?'2)=2v?2，代入v?'=2.6-2v?：6.76-(6.76-10.4v?+4v?2)=2v?2→10.4v?-4v?2=2v?2→6v?2=10.4v?→v?=10.4/6≈1.73m/s。（3）小球B沿斜面上升，由動能定理：-m?gh-μm?gcosθ·(h/sinθ)=0-?m?v?2→h(1+μcotθ)=v?2/(2g)→h(1+0.5×0.8/0.6)=(1.73)2/(20)→h(1+0.666)=3/20→h=0.15/1.666≈0.09m。（4）B返回斜面底端時，摩擦力做功W=-2μm?gcosθ·(h/sinθ)=-2×0.5×2×10×0.8×(0.09/0.6)=-2×0.5×2×10×0.8×0.15=-2.4J動能E?=?m?v?2+W=?×2×3-2.4=3-2.4=0.6J。8.（25分）多體系統(tǒng)動量與能量綜合問題如圖所示，質(zhì)量M=4kg的小車靜止在光滑水平面上，車長L=2m，車左端有一質(zhì)量m?=1kg的物塊A，車右端有一質(zhì)量m?=2kg的物塊B，A、B與小車間動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，A、B間用長l=1m的輕繩連接?，F(xiàn)對物塊A施加水平向右的恒力F=20N，重力加速度g=10m/s2。求：（1）輕繩剛繃緊時物塊A的速度大?。唬?）繩繃緊瞬間損失的機械能；（3）物塊B運動到小車右端時的速度大小。解析：（1）繩繃緊前，A在F作用下加速，B靜止（繩未繃緊），小車靜止（A對車摩擦力f=μm?g=5N，B對車摩擦力為0，車合力為0）。A的加速度a=(F-μm?g)/m?=(20-5)/1=15m/s2，位移s=l=1m，速度v?=√(2as)=√(2×15×1)=√30≈5.477m/s。（2）繩繃緊瞬間，A、B與小車組成系統(tǒng)動量守恒（內(nèi)力遠大于外力），設(shè)共同速度v。A的動量p?=m?v?=1×5.477≈5.477kg·m/s，B和車動量為0，故(m?+m?+M)v=p?→7v≈5.477→v≈0.782m/s。損失機械能ΔE=?m?v?2-?(m?+m?+M)v2=?×1×30-?×7×0.612≈15-2.14≈12.86J。（3）繩繃緊后，系統(tǒng)受恒力F=20N，加速度a=F/(m?+m?+M)=20/7≈2.857m/s2。B相對車向右運動，受摩擦力f?=μm?g=10N，加速度a?=(f?)/m?=5m/s2；A受F和摩擦力f?=μm?g=5N，加速度a?=(F-f?)/m?=15m/s2；車加速度a車=(f?-f?)/M=(5-10)/4=-1.25m/s2（向左）。相對加速度a?=a?-a車=5-(-1.25)=6.25m/s2，相對位移s=L-l=1m，由s=vt+?a?t2→1=0.782t+?×6.25t2→3.125t2+0.782t-1=0→t=(-0.782±√(0.612+12.5))/6.25≈(-0.782+3.62)/6.25≈0.454s。此時系統(tǒng)速度v'=v+a車t=0.782-1.25×0.454≈0.782-0.568≈0.214m/