工程力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)習(xí)題解析工程力學(xué)作為工科學(xué)生的重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際工程中力學(xué)問(wèn)題的能力。習(xí)題練習(xí)是掌握這門(mén)學(xué)科不可或缺的環(huán)節(jié)，但許多同學(xué)在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)常常感到無(wú)從下手。本文旨在針對(duì)工程力學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容，通過(guò)典型習(xí)題的解析，梳理解題思路，提煉方法技巧，幫助讀者深化對(duì)基本概念和原理的理解，提升解題能力。一、靜力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)解析靜力學(xué)主要研究物體在力系作用下的平衡條件。其重點(diǎn)在于力系的簡(jiǎn)化與平衡方程的應(yīng)用，難點(diǎn)則體現(xiàn)在對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析，以及處理含摩擦、考慮物體系平衡等綜合性問(wèn)題。（一）物體的受力分析與受力圖繪制重點(diǎn)與難點(diǎn)：準(zhǔn)確繪制物體的受力圖是解決所有靜力學(xué)問(wèn)題的前提和關(guān)鍵。初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤包括：漏畫(huà)力、多畫(huà)力、畫(huà)錯(cuò)力的方向或作用點(diǎn)，尤其是對(duì)約束反力的判斷容易出現(xiàn)偏差。解題思路與方法解析：1.明確研究對(duì)象：根據(jù)問(wèn)題要求，選取單個(gè)物體或由幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，并將其從周?chē)矬w中分離出來(lái)，畫(huà)出其輪廓圖形。2.進(jìn)行受力分析：*主動(dòng)力：首先畫(huà)出已知的主動(dòng)力，如重力、已知載荷等。*約束反力：根據(jù)研究對(duì)象所受約束的類(lèi)型，依據(jù)約束的性質(zhì)畫(huà)出相應(yīng)的約束反力。務(wù)必牢記各類(lèi)基本約束（如柔索約束、光滑接觸面約束、光滑鉸鏈約束、固定端約束等）的約束反力特點(diǎn)。3.注意事項(xiàng)：*只畫(huà)研究對(duì)象所受的外力，不畫(huà)內(nèi)力。*作用力與反作用力要成對(duì)出現(xiàn)，且方向相反、大小相等、作用線共線。在分析物體系時(shí)，要注意區(qū)分內(nèi)力和外力。*力的作用點(diǎn)必須畫(huà)在研究對(duì)象上。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：繪制圖示懸臂梁（一端固定，一端自由）在自由端承受集中力及梁上承受均布載荷時(shí)的受力圖。*點(diǎn)評(píng)：初學(xué)者易漏畫(huà)固定端的約束反力偶。固定端約束不僅限制物體的移動(dòng)（產(chǎn)生水平和豎向反力），還限制物體的轉(zhuǎn)動(dòng)（產(chǎn)生反力偶）。在繪制時(shí)，需完整畫(huà)出這三個(gè)約束反力。均布載荷應(yīng)簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，作用在均布載荷段的中點(diǎn)。（二）力系的簡(jiǎn)化與平衡方程的應(yīng)用重點(diǎn)與難點(diǎn)：力系簡(jiǎn)化的目的在于揭示力系對(duì)物體總的作用效果，而平衡方程則是解決平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。難點(diǎn)在于如何根據(jù)不同的力系類(lèi)型（匯交力系、平行力系、任意力系）選擇合適的平衡方程形式，并恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象和投影軸、矩心，以簡(jiǎn)化計(jì)算。解題思路與方法解析：1.力系簡(jiǎn)化：掌握力的平移定理，理解主矢和主矩的概念及其物理意義。通過(guò)簡(jiǎn)化，可判斷力系的最終簡(jiǎn)化結(jié)果（合力、力偶或平衡）。2.平衡方程的選擇：*對(duì)于平面任意力系，基本形式為一矩式（∑Fx=0,∑Fy=0,∑Mo(F)=0）。為避免解聯(lián)立方程，可采用二矩式（附加條件：兩矩心連線不垂直于投影軸）或三矩式（附加條件：三矩心不共線）。*對(duì)于特殊力系（如匯交力系、平行力系），平衡方程的數(shù)目減少，應(yīng)靈活運(yùn)用。3.投影軸與矩心的選取技巧：*投影軸應(yīng)盡量與多個(gè)未知力垂直或平行，以減少每個(gè)平衡方程中未知量的數(shù)目。*矩心應(yīng)盡量選在多個(gè)未知力的交點(diǎn)上，使這些力對(duì)該矩心的矩為零，從而簡(jiǎn)化方程。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：一剛架承受如圖所示載荷，求A、B處的約束反力。*點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類(lèi)剛架結(jié)構(gòu)，若采用基本的一矩式，可能需要解三元一次方程組。若選取A、B兩點(diǎn)為矩心，列兩個(gè)力矩方程，再沿垂直于AB連線方向列一個(gè)投影方程（或第三個(gè)力矩方程），往往能更簡(jiǎn)便地求出未知力。關(guān)鍵在于觀察結(jié)構(gòu)和載荷特點(diǎn)，靈活運(yùn)用平衡方程形式。（三）考慮摩擦的平衡問(wèn)題重點(diǎn)與難點(diǎn)：摩擦角與自鎖現(xiàn)象的理解，以及在平衡方程中正確引入摩擦力（包括大小和方向）。由于摩擦力的大小有范圍（0≤F≤Fmax=fN），且方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反，使得問(wèn)題具有不確定性。解題思路與方法解析：1.判斷摩擦力方向：根據(jù)物體相對(duì)接觸面的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)確定，這是解題的關(guān)鍵。若趨勢(shì)不明顯，可先假設(shè)一個(gè)方向，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)相反。2.區(qū)分平衡狀態(tài)：*臨界平衡狀態(tài)：物體處于將要滑動(dòng)但尚未滑動(dòng)的狀態(tài)，此時(shí)F=Fmax=fN，且全約束力與法線間的夾角為摩擦角φm=arctan(f)。*非臨界平衡狀態(tài)：F<Fmax，此時(shí)摩擦力由平衡條件確定。3.解題方法：*解析法：列出平衡方程，并根據(jù)摩擦定律列出補(bǔ)充方程（F≤fN或F=Fmax）。*幾何法：利用摩擦角和全約束力的概念，結(jié)合匯交力系平衡的幾何條件（力多邊形自行封閉）求解，有時(shí)更為直觀。4.自鎖條件的應(yīng)用：當(dāng)主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角之內(nèi)時(shí)，無(wú)論主動(dòng)力多大，物體都能保持平衡。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：一重為G的物塊放在傾角為θ的斜面上，靜摩擦因數(shù)為f。求物塊保持靜止時(shí)θ的取值范圍，或在已知θ時(shí)，求使物塊不上滑或不下滑所需的最小水平推力。*點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是摩擦平衡的基礎(chǔ)。在分析上滑或下滑趨勢(shì)時(shí)，摩擦力方向相反?？刹捎媒馕龇?，列出平衡方程和摩擦定律表達(dá)式聯(lián)立求解；也可采用幾何法，畫(huà)出包括摩擦力在內(nèi)的全約束力，當(dāng)全約束力與法線夾角等于摩擦角時(shí)，即為臨界狀態(tài)。理解“自鎖”時(shí)，θ≤φm即可。（四）物體系的平衡重點(diǎn)與難點(diǎn)：物體系平衡問(wèn)題涉及多個(gè)物體，需要正確選取研究對(duì)象（整體、部分物體、單個(gè)物體），進(jìn)行受力分析，并建立足夠的平衡方程求解。難點(diǎn)在于區(qū)分內(nèi)力與外力，以及如何協(xié)調(diào)各研究對(duì)象之間的受力關(guān)系。解題思路與方法解析：1.選擇研究對(duì)象的原則：*先考慮取整體為研究對(duì)象，看能否求出部分未知量。*若整體不能求出全部未知量，則需拆開(kāi)物體系，取單個(gè)物體或由幾個(gè)物體組成的子系統(tǒng)為研究對(duì)象。*選擇受力情況較簡(jiǎn)單、未知量較少的部分作為研究對(duì)象。2.受力分析要點(diǎn)：*對(duì)整體分析時(shí)，物體間的相互作用力（內(nèi)力）不畫(huà)出。*對(duì)單個(gè)物體分析時(shí)，要注意作用力與反作用力的關(guān)系，確保力的方向一致。3.解題步驟：*畫(huà)出整體及各拆開(kāi)部分的受力圖。*對(duì)每個(gè)研究對(duì)象列出獨(dú)立的平衡方程。*聯(lián)立求解各方程，得到未知量。注意：物體系獨(dú)立平衡方程的總數(shù)等于各物體獨(dú)立平衡方程數(shù)之和。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：組合梁由AB和BC鉸接而成，承受載荷如圖所示。不計(jì)梁重，求A、C處的約束反力及鉸鏈B處的相互作用力。二、材料力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)解析材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、變形及強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題。其重點(diǎn)在于基本變形形式下構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形計(jì)算，以及強(qiáng)度條件的應(yīng)用；難點(diǎn)則在于組合變形的強(qiáng)度計(jì)算、應(yīng)力狀態(tài)分析和壓桿穩(wěn)定問(wèn)題。（一）內(nèi)力分析與內(nèi)力圖繪制重點(diǎn)與難點(diǎn)：準(zhǔn)確計(jì)算指定截面的內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩、扭矩），并熟練繪制內(nèi)力圖（軸力圖、剪力圖、彎矩圖、扭矩圖）。難點(diǎn)在于彎矩圖的繪制，以及利用荷載、剪力、彎矩間的微分關(guān)系快速作圖和校核。解題思路與方法解析：1.截面法求內(nèi)力：這是求內(nèi)力的基本方法。步驟為：截開(kāi)、代替、平衡。注意截開(kāi)后保留部分的受力平衡，內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定（特別是剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)則，需結(jié)合變形趨勢(shì)理解）。2.內(nèi)力圖繪制：*軸力圖（N圖）：外力（軸向）沿桿軸方向變化，N圖由直線段組成，集中力作用處N圖發(fā)生突變，突變值等于該集中力。*扭矩圖（T圖）：外力偶矩沿桿軸方向變化，T圖由直線段組成，集中力偶作用處T圖發(fā)生突變，突變值等于該力偶矩。*剪力圖（Q圖）與彎矩圖（M圖）：*根據(jù)荷載集度q、剪力Q、彎矩M之間的微分關(guān)系（dQ/dx=q,dM/dx=Q,d2M/dx2=q）來(lái)判斷圖形形狀。*無(wú)荷載區(qū)段，Q圖為水平線，M圖為斜直線；均布荷載區(qū)段，Q圖為斜直線，M圖為拋物線（凸向與q方向一致）。*集中力作用處，Q圖發(fā)生突變，M圖出現(xiàn)尖角；集中力偶作用處，M圖發(fā)生突變，Q圖無(wú)變化。*利用“區(qū)段疊加法”繪制M圖，可簡(jiǎn)化作圖過(guò)程。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：一簡(jiǎn)支梁承受如圖所示的三角形分布載荷及集中力偶，試?yán)L制其剪力圖和彎矩圖，并求出|Q|max和|M|max。*點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合了分布載荷和集中力偶。關(guān)鍵在于正確應(yīng)用微分關(guān)系判斷Q圖和M圖的形狀。對(duì)于三角形分布載荷，其合力大小和作用點(diǎn)位置要計(jì)算準(zhǔn)確。集中力偶會(huì)引起彎矩圖的突變，突變值等于力偶矩的大小，方向由力偶的轉(zhuǎn)向決定。利用微分關(guān)系校核內(nèi)力圖的正確性是非常重要的習(xí)慣。（二）彎曲應(yīng)力的計(jì)算與強(qiáng)度條件應(yīng)用重點(diǎn)與難點(diǎn)：彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律（中性軸、危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)的確定），彎曲切應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算，以及彎曲強(qiáng)度條件的應(yīng)用。難點(diǎn)在于對(duì)中性軸位置的理解，以及組合截面慣性矩的計(jì)算。解題思路與方法解析：1.彎曲正應(yīng)力：*掌握純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式（σ=My/Iz），理解各符號(hào)的意義。Iz為截面對(duì)中性軸z的慣性矩，y為所求點(diǎn)到中性軸的距離。*中性軸通過(guò)截面形心，且垂直于彎矩作用平面。*危險(xiǎn)截面通常是彎矩最大的截面；危險(xiǎn)點(diǎn)在該截面的上下邊緣（距中性軸最遠(yuǎn)）。2.彎曲切應(yīng)力：*矩形截面：τ=QS*/(Izb)，最大切應(yīng)力在中性軸處。*工字形截面：腹板上的切應(yīng)力近似均勻分布，τ≈Q/(h0tw)。*彎曲切應(yīng)力一般在短梁、受較大剪力的梁或薄壁截面梁中才需重點(diǎn)考慮。3.強(qiáng)度條件：*正應(yīng)力強(qiáng)度條件：σmax=Mmaxymax/Iz≤[σ]*切應(yīng)力強(qiáng)度條件：τmax=QmaxS*max/(Izb)≤[τ]*一般情況下，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)或校核，再對(duì)切應(yīng)力進(jìn)行校核（特殊情況除外）。4.組合截面慣性矩計(jì)算：運(yùn)用平行移軸公式（Iz=Izc+a2A），注意“對(duì)哪根軸的慣性矩”和“移軸距離”的準(zhǔn)確性。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：一矩形截面懸臂梁，自由端受集中力作用。已知梁的截面尺寸、材料的許用應(yīng)力，試校核梁的強(qiáng)度；若強(qiáng)度不夠，在不增加截面面積的前提下，提出改進(jìn)方案并說(shuō)明理由。*點(diǎn)評(píng)：校核強(qiáng)度需先求出最大彎矩（固定端處），計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力。若強(qiáng)度不足，改進(jìn)方案通常是將矩形截面改為工字形或槽形等合理截面形狀，在面積相同的情況下，盡量將材料分布在遠(yuǎn)離中性軸的位置，以增大慣性矩Iz，從而提高抗彎能力。這體現(xiàn)了材料力學(xué)中“合理截面形狀”的設(shè)計(jì)思想。（三）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)：組合變形是指構(gòu)件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形（如拉伸與彎曲組合、彎曲與扭轉(zhuǎn)組合等）。難點(diǎn)在于正確分析構(gòu)件的受力，將其分解為基本變形，計(jì)算各基本變形下的應(yīng)力，然后進(jìn)行應(yīng)力疊加，確定危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并應(yīng)用強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。解題思路與方法解析：1.外力分析與簡(jiǎn)化：將復(fù)雜外力分解或簡(jiǎn)化為能引起基本變形的靜力等效系統(tǒng)。例如，偏心拉伸（壓縮）可分解為軸向拉伸（壓縮）和純彎曲的組合。2.內(nèi)力分析：確定構(gòu)件在組合變形下的內(nèi)力分量（如軸力、彎矩、扭矩等），找出危險(xiǎn)截面。3.應(yīng)力分析與疊加：在危險(xiǎn)截面上，根據(jù)各基本變形的應(yīng)力分布規(guī)律，確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，并計(jì)算該點(diǎn)在各個(gè)基本變形下的應(yīng)力，然后進(jìn)行矢量疊加（注意應(yīng)力方向）。4.強(qiáng)度條件建立：*對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)（如拉彎組合），可將最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別與許用應(yīng)力比較。*對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（如彎扭組合），需根據(jù)構(gòu)件材料的類(lèi)型（脆性或塑性）選擇合適的強(qiáng)度理論（第四強(qiáng)度理論常用于塑性材料的彎扭組合問(wèn)題）。典型習(xí)題示例與點(diǎn)評(píng)：*示例：一端固定的圓軸，自由端受到一個(gè)與軸線垂直但不通過(guò)軸心的力F作用。試分析該軸的變形形式，并校核其強(qiáng)度。*點(diǎn)評(píng)：該力F可向軸心簡(jiǎn)化為一個(gè)橫向力（引起彎曲）和一個(gè)力偶矩（引起扭轉(zhuǎn)），因此軸發(fā)生彎扭組合變形。危險(xiǎn)截面在固定端。危險(xiǎn)點(diǎn)在固定端截面上，位于彎矩引起的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的點(diǎn)（通常是上下兩點(diǎn)）。該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)（彎曲正應(yīng)力σ和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τ），應(yīng)采用合適的強(qiáng)度理論（如第四強(qiáng)度理論：σr4=√(σ2+3τ2)≤[σ]）進(jìn)行校核。關(guān)鍵在于正確的外力簡(jiǎn)化和應(yīng)力狀態(tài)分析。三、總結(jié)與建議工程力學(xué)的習(xí)題解析，不僅僅是為了得到一個(gè)答案，更重要的是通過(guò)解題過(guò)程，深化對(duì)基本概念、基本原理和基本方法的理解與運(yùn)用。要想真正掌握工程力學(xué)，建議做到以下幾點(diǎn)：1.夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解靜力學(xué)中的力、力矩、力偶、約束、平衡等概念；材料力學(xué)中的內(nèi)力、應(yīng)力、變形、強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等概念。2.勤于思考：做題前先認(rèn)真審題，明確已知條件和所求問(wèn)題，思考構(gòu)件的受力情況