第二章函數(shù)

2.1.1函數(shù)的三要素(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

-函數(shù)的定義

設(shè)集合4是一個非空的數(shù)集，對A中的任意數(shù)，按照確定的法則/，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，

則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合/的一個函數(shù)，記作y=/(%),xE4其中％叫做自變量，自變量取值的范

圍叫做函數(shù)的定義域。如果自變量取值Q,則由法則/確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作所

有函數(shù)值構(gòu)成的集合｛y|y=/(x),xem叫做這個函數(shù)的值域

二函數(shù)的定義域

1.分式的分母不等于零；

2.偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；

3.對數(shù)的真數(shù)大于零；

4.指數(shù)Q°(Q豐0)

三函數(shù)的值域

1.二次函數(shù)值域：

2.分式函數(shù)值域；

3.對勾函數(shù)值域；

4.利用單調(diào)性求值域

5.絕對值型值域

四函數(shù)的解析式

1.換元法；

2.構(gòu)造法；

3.待定系數(shù)法：

4.方程組法

5.特殊值法

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一函數(shù)的定義域(具體函數(shù)、抽象函數(shù))

典例1.函數(shù)y=VFT4+W的定義域為()

【答案】B

【解析】

【分析】

偶次開根根號下為非負(fù)，分式分母不為零，據(jù)此列出不等式組即可求解.

【詳解】

依題意￥魯黑解得已二:

所以函數(shù)的定義域為—4,—1)U(―1,4-00).

故選：B.

變式11.函數(shù)/(幻="(2-％)的定義域是()

【答案】C

【解析】

【分析】

對數(shù)型函數(shù)定義域為真數(shù)大于。，求解即可.

【詳解】

函數(shù)/(%)="(2-％)的定義域為2-%>0,解得％<2,所以函數(shù)/(x)的定義域為(一叱2).

故選：C.

變式;12.已知集合/={x\2x>1},B=[x\y=V2x—x2}?則4n8=()

A.(0,+oo)B.0,2C.1,2D.2,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合A,8,再根據(jù)交集定義即可求出.

【詳解】

因為力=(x\x>0},B={x|0<x<2},所以jnB=0,2.

故選：B.

變式13.已知函數(shù)f(x+l)的定義域為(一5,0),則/(2%一1)的定義域為()

【答案】B

【解析】

【分析】

山已知函數(shù)的定義域求得了⑺的定義域，再由2%—1在/⑺的定義域內(nèi)求得工的取值范圍.

【詳解】

解：由題意得：

???函數(shù)/(%+1)的定義域是(一5,0)

AtG(-4,1),則/⑺的定義域為(一4,1)

2x—1E(—4,1),解得X6(―|/1).

故選：B

變式；14.已知函數(shù)y=/(%)的定義域為[一8,1],則函數(shù)9。)=笑等的定義域是()

A.(—8,—2)U(—2,3]B.[—8,—2)U(-2,1]

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

由1+2H0解得x豐-2,

故選：D

題型戰(zhàn)法二已知函數(shù)定義域求參數(shù)

典例2.若函數(shù)/(%)=片關(guān)嬴的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[,+8)B,Q,+8)

C(。，DD.[0,不

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為二次型不等式恒成立問題，結(jié)合對參數(shù)a的討論，根據(jù)/即可求得結(jié)果.

【詳解】

要滿足題意，只需Q/-4如+2>0在R上恒成立即可.

當(dāng)a=0時,顯然滿足題意.

當(dāng)Q>0時，只需/=16a2-8a<0,

解得ae(0,5.

綜上所述，QE0,J

故選：D.

變式23.若函數(shù)/(%)=溪善的定義域為R,則實數(shù)Q的取值范圍是()

A.0,4)B.0,2)C.(0,4)D.2,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合限制條件與判別式，即可求解.

【詳解】

故選：C.

A.0,4B.[0,1]C.4,+00)D.[0,4]

【答案】D

【解析】

【分析】

由函數(shù)/(五)的定義域為一切實數(shù)，轉(zhuǎn)化為巾/+小》+1之。在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與

性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

當(dāng)w=0時，1K)恒成立：

>

當(dāng)機(jī)彳0時，則[TA々n，解得°<m<4.

綜上可得0<?n<4,

故選：D.

題型戰(zhàn)法三常見函數(shù)的值域(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)

典例3.函數(shù)/(%)=x+l,xe{—1,1,2}的值域是()

【答案】C

【解析】

【分析】

把定義域中的每個X值代入函數(shù)式求出函數(shù)值可得值域.

【詳解】

???值域為{0,2,3}.

故選：C.

【點睛】

本題考杳函數(shù)的值域，掌握值域的定義是解題關(guān)鍵.函數(shù)值域依賴于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則.

變式;31.已知函數(shù)/(幻=2%2一6%+3,XG[-1,2],則函數(shù)的值域是()

A.[-|,11；B.[|,119C.[-1,11]D.月，11

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和端點處的值即可求解值域.

【詳解】

22

v/(x)=2x-6x+3=2(X-1)-泉對稱軸無=1當(dāng)%G[-1,2],/0)?乙又因為f(-l)=

llj(2)=l,.%/(x)(-l)max,

所以函數(shù)的值域為卜白11.

故選:D

A.[-3,5]B.(-3,5)

C.[-4,5]D.(-4,5)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

g(x)=x2-2x-3=(%-I)2—4,因此該函數(shù)的對稱軸為：x=1,

因為x€[0,4],所以當(dāng)無=1時，函數(shù)有最小值，最小值為-4,

而g(0)=—3,0(4)=5,所以最大值為5,因此值域為[一4,5]，

故選：C

變式33.已知4={-1。2},B=[y|y=1],則An8=()

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{-1,0,2}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的值域求得集合8,由此求得力n8.

【詳解】

因為B=(—co,0)U(0,4-oo),所以/nB={-1,2}.

故選：B

變式34.函數(shù)y=±-l的值域是()

A.(—co,-1)B.(4-1,4-00)C.(-8,-1)U(-1,+8)D.(-8,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合」H0,即可求解.

x+l

【詳解】

因為擊。0,所以上一10一1,故函數(shù)y=±-l的值域

故選：C.

題型戰(zhàn)法四復(fù)雜函數(shù)的值域(根式型、絕對值型、分式型等)

典例4.函數(shù)f(%)=阻—2x+3的值域是().

A.(-Q0,2]B.(0,+x>)C.12,十8)D.[0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出函數(shù)的定義域，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

由/(X)=V-x2-2%4-3,

所以函數(shù)的定義域為[一3,1],

令4(%)=-X2-2%4-3=—(%+1)+4,

所以f(%)=7—%?-2x+3￡[0,2]>

所以函數(shù)的值域為[0,2].

故選：D

變式41.函數(shù)y=2%-/T7的值域為()

A.-8,一募B.(-00,-7)C.(果+8)D.*+8)

【答案】D

【解析】

【分析】

本題通過換元法求值域，先令ei=￡，將函數(shù)y=2%-忻!轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)進(jìn)行求解.

【詳解】

函數(shù)的定義域是{x|x之1},令W-1=t，貝此€[0,+8),%=t24-1,所以y=2(尸+1)一t

2t2-￡+2=2?-：)2+序

因為降0,所以y之澤所以原函數(shù)的值域為符,+8).

oO

故選：D.

變式;42.函數(shù)y=|x-3|-4(l<x<4)的值域為()

A.[-4,-2]B.[-4,-3]

C.[-3,4]D.[-3,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合絕對值的知識求得函數(shù)的值域.

【詳解】

依題意14%44,

—2<x—3<1,

0<|x-3|<2,-4<|x—3|—4<—2,

所以函數(shù)y=1%—3|-4(1工％工4)的值域為[-4,-2].

故選：A

變式;43.函數(shù)y=3(％>3)的值域是()

A.(1,4-00)B.(0,4-00)C.(3,+8)D.(4,4-oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)值域的求法先將分式分離常數(shù)后化求解.

【詳解】

解：

X-34-44

Vy=~^3-

又?:x>3

4

x-3>0

故選:A

A*(一喝)嗚+8)(-00,2)U(2，+C0)

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

題型戰(zhàn)法五復(fù)合函數(shù)的值域(指數(shù)型、對數(shù)型、分式型、二次函數(shù)型等)

典例5.函數(shù)f(x)=2/-2%，%￡[0,司的值域是()

【答案】A

【解析】

【分析】

令g(t)=/—2%,%E[0,3],求出g⑺的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求;U)值域.

【詳解】

令g(t)=%2-2x,x6[0,3],

則g(t)e[g⑴,g⑶]=[-1,3],

則八WE[2一1,23]=[；,8卜

故選：A.

變式;51.函數(shù)/0)=4*-2?2一5(>￡/?)的值域為()

A.l,4-oo)B.(-5,4-oo)C.-9,4-oo)D.(3,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

令1=2工>0,可得出/(%)=產(chǎn)一4t-5,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/(%)的值域.

【詳解】

令度=亡>0,可得y=d-4t-5=(￡-2)2-9,其中￡>0,

當(dāng)￡=2時，ymin,故函數(shù)/(x)的值域為-9,+8).

故選：C.

變式52.函數(shù)f(x)=1og2(3*+1)的值域為()

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得吏+1>1,再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

???3X>0,

???3X+1>1,

log2(3'+1)>0,

???函數(shù)/(%)的值域為(0,+8).

故選：A

【點睛】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【答案】A

【解析】

先由二次函數(shù)的性質(zhì)，求出內(nèi)函數(shù)的值域，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

令t=7-2%+3,xE[0,3],

因為t=/-2%+3是開口向上，對稱軸為無=1的二次函數(shù)，

所以亡=/-2%+3在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞噌；

故選:A.

【點睛】

本題主要考查求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，熟記對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于

?？碱}型.

變式54.函數(shù)/(%)=系的值域為()

A.(—8,—1)B.(—1,0)U(0,4-co)C.(—1,+8)D.(—oo,—1)U(0,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

令〃即有/(〃)=：,可求得〃的范圍，進(jìn)而求外層函數(shù)值域

【詳解】

,31

X

=3-3=3》T-1

令找=3"1-1,有fQ)=,可知：uG(-l,0)U(0,4-oc)

f(u)e(-8,-1)u(0,+oo)

故選：D

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值域，利用在復(fù)合函數(shù)中內(nèi)層函數(shù)的值域為外層函數(shù)的定義域求外層函數(shù)的

值域

題型戰(zhàn)法六已知函數(shù)值域求參數(shù)

典例6.已知函數(shù)f(x)=Q%+b(a>0)的定義域和值域都是則Q+b=()

A-B.1C.|D.1或.|

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)取邊界自變量的函數(shù)值，建立方程組解之得解.

【詳解】

由已知得Q>0,/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以1"T)=T?償=1

〃1以(f(0)一0，

所以Q+6=1

故選B.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于基礎(chǔ)題.

變式61.已知函數(shù)y=-I)-+如+1的值域為[0,+oo),求。的取值范圍為

A.a>1B.a>1C.a<1D.Q<]

【答案】A

【解析】

【分析】

對a進(jìn)行討論，然后將y=J(a-1*+a%+1值域為0,4-co),轉(zhuǎn)換為(a-l)x2+ax+1值域包

含0,+8),計算得到答案.

【詳解】

當(dāng)a=1時，y=\x+1的值域為0,4-oo),符合題意;

當(dāng)。H1時，要使y=J(a-1)「+口支+1的值域為0,+8),則使｛/=a』_>°=Q>1.

綜上，Q21.

故答案選A

【點睛】

本題考查了函數(shù)的值域問題，意在考查學(xué)生的計算能力.

變式62.若函數(shù)/(%)=3%2-2%+4的定義域、值域都是［2,2句，則

A.b=2B.bG[1,2]C.bG(1,2)D.b=1或b=2

【答案】A

【解析】

【詳解】

???函數(shù)/(x)在區(qū)間［2,2b］上單調(diào)遞增，且定義域、值域都是［2,2b］,

/./(2b)=2b2—4C+4=2b,即b?—3C+2=0,

解得b=2或b=l(舍去)

：.b=2.選A.

A.1B.3C.-3D.1或3

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：B

A.(-2,4)B.-2,4)

C.—oo,—2D.{-2}

【答案】B

【解析】

首先求函數(shù)在工工1時函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)的值域為R，確定％<1時函數(shù)的單調(diào)性和端點值的

范圍，求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

%21時，y=，og3%20，

又f(x)的值域為R，則x<1時，/(%)=(4-d)x+3a的值域包含(一8,0),

???I')［獸;心。，解得：一2?"文

故選：B

題型戰(zhàn)法七函數(shù)的解析式(換元法、構(gòu)造法)

2

典例7.已知f(x+l)=lnx,則/(%)=()

A.m(％+1)2B.2ln(x+1)

C.2ln\x-1|D.ln(x2-1)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，利用換元法求出/(%)即可作答.

【詳解】

于是得/(t)=In(t-l')2=2ln\t-1|,

所以f(x)=2ln\x-l\,x1,

故選：C

變式71.若函數(shù)/(2x+1)=%2一2%,則/?(%)=()

c123s17

C.-xl--x+1-D.-xz--x

42442

【答案】c

【解析】

【分析】

應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式即可.

【詳解】

令t=2%+1,則x=1，

所以f(2x+1)=/(￡)="江-(t-1)=止竺短，即/(%)=上竺蛆

444

故選：c

A./(x)=x2B./(x)=x2-2%+2(%>0)

C./(%)=x2-2x+2(x>1)D./(x)=/+1

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】

則/?)=?—1產(chǎn)+1=/-2亡+2,r>l,

?，?函數(shù)/(%)的解析式為/(%)=x2-2%4-2(x>1).

故選：C.

變式;73.已知-1)=/+4%-5,則/(%)的解析式是()

A./(%)=%24-6xB./(x)=%24-Bx+7

C./(x)=x2+2x—3D./(x)=%2+6x—10

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)％一1=3x=t+l,代入叱簡得到答案.

【詳解】

/(z—1)=X2+4%—5,設(shè)％-1=3x=t4-1,則f(t)=(t+l)2+4(t+1)—5=t24-6t,

故/(%)=x2+6x.

故選：A.

變式74.已知函數(shù)/(%—；)=/+妥,則/(；)=().

22797

A.-B.4C.-D.—

9236

【答案】A

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可.

【詳解】

函數(shù)f(T)=/+；(%+2,

所以/(%)=X2+2,/(I)=；+2=V,

故選:A.

題型戰(zhàn)法八函數(shù)的解析式(待定系數(shù)法、方程組法)

典例8.已知/(%)是反比例函數(shù)，且/(-3)=-1,則f(x)的解析式為()

A./(%)=-1B./(%)=：

C./(%)=3xD./(x)=-3x

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)/(%)=：(&H0),利用待定系數(shù)法，即可得到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)/(%)=￡(kHO),

?.?/(-3)=士=-1,k=3,

故選：B.

變式81.設(shè)/(%)為一次函數(shù)，且/(〃>))=4%-1.若/'(3)=-5,則/(%)的解析式為()

A./(%)=2x—II或/(%)=-2x十1B./(x)=—2x+1

C./(%)=2%-11D./(%)=2%+1

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)f(x)=kx+b,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于晨b的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，再結(jié)合”3)=

-5可得出晨力的值，即可得出函數(shù)/(%)的解析式.

【詳解】

設(shè)/(》)=kx+b,其中kH0,則/(/(%))=k(kx+b)+b=k2x+(kb4-b)=4x-1,

所以，商J3,解得憶;2或‘工

當(dāng)左=-2時,/(無)=一2%+1,此時/(3)=—5,合乎題意;

當(dāng)k=2時，/(x)=2%-p此時/(3)=不合乎題意.

綜上所述,/(%)=-2x+1.

故選：B.

變式82.已知