河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4、本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合-={1，2}，8={1,2,3},。=卜|*―21-3<0}則(AcB)cC=()

A.0B.{1,2,3}C.{3}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】解出集合C,再根據(jù)交集含義即可得到答案.

【詳解】Ar\B={\,2],C={x\X2-2X-3<0}={X|-1<X<3},

所以(ACB)CC={1,2}.

故選：D.

2.—=()

l-2i

人34.?34.34.

A.----1—iB.------iD.—+—1

555555

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法可直接計(jì)算得到.

(1+2產(chǎn)-3+4i34.

【詳解】原式==--------------=---------1—?

(l-2i)(l+2i)555

故選:A.

3.已知向量〃=(―1,2),方=(見一4),若JL〃?則團(tuán)=()

A.3B.-3C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出，”的值.

【詳解】因?yàn)椤?(-1,2)乃=(〃?,-4),所以〃+方=(加一1,一2)，

因?yàn)?a+/?)_LQ,所以(〃+〃)?〃=(),

即—(〃7—1)—2X2=O,解得機(jī)二—3.

故選:B

4.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(|0|＜7O的部分圖象如圖所示，則。=()

5兀

D.

~6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)/會(huì)|二°，結(jié)合101＜?？傻媒Y(jié)果.

【詳解】因?yàn)閳D象過點(diǎn)H5兀，o),所以/(普

=sin2x—+|=0,

12I12

,為函數(shù)遞減區(qū)間上的零點(diǎn)，可得,+9=兀+2而,女cZ,即0=^+2E,ZeZ,

1266

Tl

因?yàn)閨。|＜兀，所以。二三.

6

故選：A.

-x+a+l,M,a,

5.已知。＞1,函數(shù)則/*)的值域?yàn)?)

10grtX,X＞6Z,

A.RB.(0,+oc)C.[1,-KO)D.[?,+<?)

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算分段函數(shù)/(X)在每一段.上的值域，求并集可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)xWa時(shí)，/(x)=-x+a+l,/*)在(―悶上為減函數(shù),

所以/(x)N/(a)=-a+4+1=1.

當(dāng)工時(shí)，f(x)=log,x,

因所以/(<)在(4+CQ)上為增函數(shù),

所以f(x)>f(a)=logaa=\.

綜上得，/(x)的值域?yàn)閮|轉(zhuǎn)).

故選:C.

7T

6.如圖，二面角。一/一"的大小為點(diǎn)AV分別在半平面Q,月內(nèi)，ACJJ于點(diǎn)C,6O_L/于點(diǎn)。.若

AC=BD=l,CD=2,則直線AB與CO所成角的余弦值為()

D.@

2

【答案】B

U針斤】

【分析】在半平面/內(nèi)作歹CJJ于點(diǎn)C,且？C=BD,通過平行線轉(zhuǎn)化所求異面直線的角為NA39,

結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)計(jì)算線段長可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，在半平面夕內(nèi)作8'C_L/于點(diǎn)C,且B'C=BD,連接8'3,3'4,

7T

則四邊形8OC9為矩形，且NAC3'為二面角。一/一夕的平面角，即NAC?=],

所以BB7/C。，BC=BD=AC={>BB=CD=2,

222

|PC『+|O4|2|PA|2a+a-^a)_1

在二心。中,cosZ.POA—

2\PO\^\OA\~2^~~2

所以/尸。4=」,2尸0尸二百

33

所以一=tan—=A/3?故橢圓。的離心率

3

故選：C.

8.已知某農(nóng)戶家里養(yǎng)了3只兔子和4只雞，將它們關(guān)在同一個(gè)籠子里，若兔子和雞隨機(jī)逐一向外走，則恰

有2只兔子相繼走出籠子的概率為()

【答案】D

【解析】

【分析】先求出所有動(dòng)物走出籠子的總排列情況數(shù)，再求出恰有2只兔子相繼走出籠子的情況數(shù)，最后根

據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率.

【詳解】由題意，兔子和雞隨機(jī)走出籠子，共有A；=5040種不同的情況，

其中恰有2只兔子相鄰走出籠子的情況共有A：A；A；=24?B0=288O種，

A4A2A228804

故伶有2只兔子相鄰走出籠子的概率為P=4；§=-——=-.

A7DU4U/

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，尸(1—x)=尸(1+x),則()

A./(0)=0B./(D=0C./(2)=0D./(2024)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)/(X)是R上的奇函數(shù)可確定/(0)=0判斷A項(xiàng)；由尸(1一x)=+X)可得

/(x)=/(2-x),賦值即得/(2)=0判斷C項(xiàng)，根據(jù)條件推出函數(shù)/(用的一個(gè)周期為4,即可判斷D項(xiàng)，

對于B項(xiàng)，沒有相關(guān)條件求出其值.

【詳解】因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/。)二一/(-工)①，且/(0)=0,故A正確；

因?yàn)槭?1—x)=尸(1+*),故得7*)=/(2-幻②,則/(2)=/(0)=0,故C正確;

由①②可得/(2-幻=一/(一元)，則/(2+x)=-/(x),可得/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

即/'(x)是以4為一個(gè)周期的函數(shù)，/(2024)=/(0)=0,故D正確；

對干/(I)，沒有相關(guān)條件求出其值，故B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

10.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量(單位：千克)情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量

的樣本均值三=500,已知該新品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N(元.1),則下列說法正確的是

()

(若隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(〃,4),則P(〃-b<匕如十b)=0.6827,P(〃-2b<丫

"+2b)=0.9545,P(〃-3cr<K,〃+3cr)=0.9973)

A.1的值越大，畝產(chǎn)量不低于510千克的樣本越多B.1的值越大，畝產(chǎn)量不低于510千克的樣本越少

C.若/=100,則夕(X>480)=0.97725D.若/口⑼，貝ijP(X>490)=0.84135

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)、對稱性對每一選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷即可.

【詳解】因?yàn)樾缕贩N玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值為500,方差越大，數(shù)據(jù)越分散.

當(dāng)$2的值越大時(shí)，畝產(chǎn)量不少于49()千克且低于510千克的樣本越少，不低于51()千克的樣本越多，A正

確，B錯(cuò)誤.

因?yàn)镻(X>480)=P(X>500)+尸(480<X<500)=g；P(480<X<520)=0.97725,

P(X>490)=P(X>500)+尸(490<X<500)=-+-?(490<X<510)=0.84135,

22

所以C,D正確.

故選：ACD.

11.傳說占希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?/p>

把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1,3,6,10,稱為三角形數(shù)，第二行的1,4,9,16,???稱為正方形數(shù)，

第三行的1,5,12,22,…稱為玉動(dòng)形數(shù)，第四行的1.6.?稱為六功形數(shù),以此類推?設(shè)第一行、第二行、第三

行、第四行、第女行的數(shù)分別構(gòu)成數(shù)列{4},{2}，{cj,{6},"]，下列結(jié)論正確的是（）

第一行AA

3610

第二行

第三行

第四行-O

16

第左行…

^22R.0〃=3/—4〃+2

〃2

加2+（2-幻〃

C/?=D.第十行的第4個(gè)數(shù)為64

【答案】ACD

【解析】

【分析】結(jié)合數(shù)列的知識(shí)，找出規(guī)律即可求解.

【詳解】由圖可得，q=1,。2=4+2,。3=。2+3,。4=%+4,,%=/.[+〃,

累加可得=1+2++〃J，：。,A正確.

乙=I,4=4+1x2+1,&="+2x2+1,包=/%+3x2+1,…，2=bn_x+(/?-1)x2+|,

累加可得仇=?+1x2+2x2+3x24-+(〃-1)X2=〃2.

q=1,。2=4+1x3+1,q=c2+2x3+1,q=J+3x3+1,,q=%+(〃-1)x3+1,

累加可得c”=〃+1X3+2X3+3X3+???+5-1)X3=，+"(”-1)X3=一〃

“22

6=1,々=G+1x4+1,6=/+2x4+1,/=%+3x4+=en_}+(〃-1)x4+

累加可得=/7+1x44-2x4+3x4++(“-1)x4=〃+見“一?x4=2，/-〃,B錯(cuò)誤.

2

以此類推可得1)K包~+(；—")〃，c正確.

若*=10,則L=4+4X（；T）X]0=64,D正確.

故選:ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知sina=La￡(0,4)，則cos(cr+—)=___________.

324

.4-4-yf^-

［答案］2_匕

6

【解析】

【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式與和角公式計(jì)算即得.

【詳解】因?yàn)閟ina="￡(0,》所以cosa=Jl—sin2a=迪.

7T

則cos（a+/=

故答案為：一

13.已知拋物線C:_/=4x的準(zhǔn)線為/，點(diǎn)Q在C上，直線/':4x-3y+U=0,點(diǎn)尸到直線【'的距離與

到直線/的距離之和的最小值是_____________.

【答案】3

【解^5］

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離，即可求解.

【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0)，

由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線/的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離，

因此點(diǎn)/＞到直線/'的距離與到直線/的距離之和的最小值，

即為點(diǎn)尸到直線/'的距離，即為、J=3.

J16+9

故答案為：3.

J

14.若不等式e*-ln(x+a)-aNO恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_____________.

【答案】(田』

【解析】

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化后構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)/(x)=lnx+x,推得/*)在(0,+8)上單調(diào)遞增，利用其得到

e‘2x+〃>0，即得a<e'-x(x>-a),將參數(shù)a分類討論求g(x)=e'-x,(.v>一。)的最小值或判斷其

下界，即得參數(shù)范圍.

【詳解】由e'-ln(x+〃)一〃N0,可得x+e"之ln(x+a)+x+a,KPInev+e'>ln(x+a)^-x+a,

構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx+x,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

1X+[

因/(x)=_+l=——>0在(0,+8)上恒成立，故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XX

由f(e')N/(x+。)可得e'N式+4>0，即。</一道工>一。)(*),

令函數(shù)g(x)=e‘x,(x>a),則g'(x)=e*I,

若〃>0,則當(dāng)X￡(—a,。)時(shí)，g\x)<0,g(x)在(一冬。)上單調(diào)遞減；

當(dāng)上￡(0,十8)時(shí)，g'")>0,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(X)min=g(°)=l，故由(*)可得。e(0J；

若〃<0,則當(dāng)時(shí)，g'(X)>0,g(x)在(-4,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)>g(-〃)2g(0)=l，滿足a<g(x),所以符合條件；

綜上，。的取值范圍是(—8』].

故答案為：(—8』.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在平面四邊形ABCO中,Z4DC=90\tan/4/?D=3.AB=4.BD=V1O.

A

（2）若求3c.

【答案］⑴”

⑵BC=2

【解析】

【分析】（1）先由余弦定理求出AO=3正，再由正弦定理求得sinNA=，Z，結(jié)合條件即得NA=。

24

（2）在△A3。中，先由余弦定理求得cosNAQ8=好，利用誘導(dǎo)公式即得sin/3OC="，可求出

55

cosZBDC=—^利用余弦定理就可求得BC=2.

5

【小問I詳解】

因?yàn)閠anZA3D=3>0,所以是銳角，則cos/A8O=巫，sin/A8D=2叵

1010

在△A3。中，由余弦定理得A。2二雙爐+人夕―2?8OA8cosN48O=18，AD=3y/l-

又由正弦定理，可得要7AD即sinZA=立^，

sinZAsinZABD2

因?yàn)镼vAB,所以NAcNAZ出，則NA<90°，故乙仁；.

【小問2詳解】

在△A3。中，由余弦定理得cos/ADB=+BD=且,

2ADBD5

則sin/BDC=sin(900-ZADB)=cosZADB=^~,cos4BDC=Vl-sin2ZBDC=半.

在MCI)中,由余弦定理得AC?=ND?+DC2-2-BDDCcosZBDC

n/Z

=10+2-2xVi0x>/2x-^-=4?解得6c=2.

r2v2r-r-

16.已知橢圓。：%+%=］（〃〉力＞0）上任意一點(diǎn)尸到C的兩個(gè)焦點(diǎn)耳（―2夜,0）,6（2拒,0）的距離之

和為46

（1）求C的方程;

（2）已知直線/:y=gx+〃z與。相交于A,B兩點(diǎn),若|A8|=5,求加的值.

22

【答案】（1）—+^-=1

124

⑵±72

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c的方程組,求解即得;

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式建立方程，解之即得.

【小問1詳解】

。=2"

?.a~=12,

由題意可得〈2〃=4丁3,解得1,

b~=4,

a1=b2+c2,

2*>

故。的方程為三4.21=1.

124

【小問2詳解】

《+J1

124

聯(lián)立,得+2"a+3，〃2-12=0

13

y=—x+tn

-3

A=4m2-4x-（3/??2-12）>0,解得//<3

3〃？

%+占=一彳

設(shè)A（%,y）,風(fēng)%,%），則，

W-36

內(nèi)士二--------

4

2

|陰=+A2)-4X,X2

2

M//3〃”2~zQ2_ML?27m

=—XJ（-—）T%"-36）=—xJ36———=5>

解得〃?=±及，即加的值為土JL

17.如圖，在四棱錐P—A8C￡）中，側(cè)棱長均為2如，四邊形A8C。是矩形，BC=8,CD=12.

（1）證明：平面PCO1.平面B4B.

（2）求二面角8-2。一。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

分析】（1）要證明面面垂直，可通過證明線面垂直推導(dǎo)出面面垂直，即證明平面P43.

（2）根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得向量PC,BC,QC的坐標(biāo)，然后可求得平面PCRB43

的法向量，最后根據(jù)向量央角的余弦公式求得二面角的余弦值，從而可得到其正弦值.

【小問1詳解】

證明：連接AC,3。交于點(diǎn)。，記AB,8的中點(diǎn)分別為G,尸，連接PG,GF,PF,PO.

在APACAPBD中,幺=。。,。8=。。,0是47,3。的中點(diǎn)，所以POJ_4C,PO_L3。.

因?yàn)锳CcBO=。AC,3。u平面ABCD,所以尸O_L平面ABCD.

因?yàn)锳3u平面ABC。，所以P0_L4B.

在矩形ABC。中，G/7JLAB.因?yàn)镻OcG/=O,PO,G/u平面PG/，所以平面PGF.

因?yàn)槭a(chǎn)u平面尸G/7,所以

PF=\IPC2-CF2=4叵，同理得PG=4j5.Gb=3C=8,所以G尸？=夕/？十即

PF1PG.

因?yàn)锳BcPG=GA8,PGu平面QA5,所以所_L平面248.

因?yàn)榱?u平面PC。，所以平面PCO_L平面AW.

【小問2詳解】

作。E_L3C,垂足為E.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，?！?￡0。分別為用＞'*軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

22

因?yàn)椤鉋=gcO=6,B￡=CE=gBC=4，OP=7PC-OC=>/4xl7-52=4?

所以8(6,-4,0),C(6,4,0),￡)(-6,4,0),尸(0,0,4).

所以二(6,4,-4),BC=(0,8,0),DC=(12,0,0).

設(shè)〃=（不,y,zj是平面尸CB的法向量,

zi-PC=(),f6x+4y1-4z.=0,

則〈即八可取〃二(2,0,3).

nBC=0,同=0,

設(shè)m=（￡，）’2，Z?）是平面PCD的法向量,

而PC=0,+4y)-4z,=0,

則，.即八=(o.i.i).

m-DC=0,12X9=0,

故二面角正弦值為叵2

26

18.已知函數(shù)f(x)=-\nx+a.

（1）若。=1,求曲線＞=/（幻在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程.

（2）證明：/'（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

(3)若。>0,證明：f(x)>2-i-a+\na.

【答案】（1）y=（e-l）x+2

（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點(diǎn)斜式即得切線方程；

（2）將函數(shù)/（x）求導(dǎo)得/（x）=6/eftV--（x>0）,令g（x）=r（x）,將其求導(dǎo)可得

g'（x）=4'e">'十*>0,即可得證；

（3）（證法一）利用（2）結(jié)論結(jié)合/'（」-）v0,r（工）>0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在唯一實(shí)數(shù)

2aa

/￡（，--），使得:（無）二優(yōu)/--!-=（）,利用/（X）的單調(diào)性推得了（%）的極小值為

2aa升）

/（毛）利用基本不等式證明了（%）22+a+lna即可證得結(jié)論.（證法二；在。>0

時(shí)，將J（x）>2+a+lna等價(jià)轉(zhuǎn)化為e"，-l>ln（ax;）+l,令ar=f>0,則需證e'一1>In/+1，可先

證當(dāng)，>0時(shí)，e'-1>r?再證In1+1即得.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，/（x）=er-lnx+l,/（l）=e+l,

則/（?二1一4，r（D=e-l,

x

故曲線），=/（?在點(diǎn)（11⑴）處的切線方程為y=（e-l）（x-l）+e+l,

即y=（e-l）x+2；

【小問2詳解】

fM的定義域?yàn)椋?,+8）,則/'。）=〃/一，*〉（）），

X

令函數(shù)g（x）=r（x）,則8'（力=。2?小+±>0,

X

所以屋力在（。,+8）上單調(diào)遞增，即r（x）在（O,?Q）上單調(diào)遞增；

【小問3詳解】

（證法一）由（2）得，/'（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

111

因?yàn)閍>0,由/'（—）-ac2-2tt<0?/\—）=6TC-i?>0,

2aa

可知存在唯一實(shí)數(shù)x0￡（!--），使得fM=訛』--=o,

2aax（）

ar,>

即e=—,可■得一Inx=orn+In6/,

%）

當(dāng)K￡（0,/）時(shí)，/?）<0,則/（x）在（0,%）上單調(diào)遞減；

當(dāng)工式均也）時(shí)，f\x）>0,則/*）在國,+動(dòng)上單調(diào)遞胤

所以fM的極小值為/（玉））=e^'-lnx+6/=—+ar°+In〃+。

0時(shí)）

>2^―!—-a^+lnQ+〃=2+a+ln〃，

當(dāng)且僅當(dāng)天二,時(shí)，等號成立，

a

<j1A

因?yàn)椋畚?所以/（%））>2+"+””，

所以/（x）>2+a+lna.

（證法二）當(dāng)。>0時(shí)，/（x）>2+a+lna等價(jià)于e"'-lnx>2+Ina，

即eav-1>ln（ar）+1,

令<a=/>0,則有e'-l>lnf+l，

先證當(dāng)，>0時(shí)，9一1>，

令函數(shù)尸a)=e'T—l,則尸'(7)=8—1,

當(dāng)1>0時(shí)，尸⑺>0,則歹Q)在。田)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)f>0時(shí),F(r)>F(0)=0,即當(dāng)/>0時(shí),得證;

再證ZNlnZ+1,

令函數(shù)G?)=ln，-/+1,則G'(r)=土1，

當(dāng)ze（0』）時(shí)，G'（f）>0,，€（1,4<0）時(shí)，G\t）<0,

所以G（f）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減,

則Ga)WG(D=O,即dlnr+1得證;

綜上，e'-1Nln/+1，即當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>2+a+ln4得證.

19.有〃（〃N2,〃wN+）個(gè)人（包括甲在內(nèi)）