深圳外國語學校2023-2024學年度高二年級第一學期學段（一）考試

數(shù)學試卷

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分為150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡密封線內(nèi)

相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上.

2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.

3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指

定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再

寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4、考生必須保持答題卜的整潔和平整.

第一部分選擇題（共60分）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

蘭+f=1

1.已知橢圓的標準方程43,其焦距為（）

A.2B.GC.1D.y

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合標準方程及橢圓Ac關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】由橢圓標準方程知：橢圓焦距為2"^3=2.

故選:A.

2.設(shè)向量凡兒c不共面，則下列可作為空間的一個基底的是（）

A.{a-￥b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b]

C.{a+b,b-a,c]D.{〃+/?+c,〃+Z?,c}

【答案】C

【解析】

【分析】依次判斷四個選項中三個向量是否共面即可

【詳解】選項A：由于3+〃)一出_")=%，三個向量共面，故不能作為空間的i個基底;

選項B：由于(a+與+(/>—〃)=2)，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底；

選項C：若a+b,b—a,c?三個向量共面，則存在x,ywR，使得

c=x(a+b)y(b—a)=(x—y)a+(x-￥y)b?則向量。也c共面，矛盾，故〃+三個向量不共

面，因此可以作為空間的一個基底；

選項D：由于a+〃+c=(4+b)+c,三個向量共面，故不能作為空間的一個基底；

故選：C

3.已知向量。二(1,2,2),〃=(—2,1,1),則向量〃在向量〃上的投影向量為()

(2441(244、

I999J(999)

【答案】B

【解析】

【分析】利用投影向量的定義結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】因為向量〃=。,2,2)4二(一2,1,1),

所以向量〃在向量〃上的投影向量為

ci'baa-b--2+2+2_(244、

邛甲印.”存7。z122)+5引

故選：B

4.如圖，在正方體中，“、N分別是CO、CC1的中點，則異面直線AM與QN所成

角的大小是()

c.60°D.90°

【答案】D

【解析】

【分析】若E為CN中點，連接有ME〃力N,異面直線所成角即為進而求其大小.

【詳解】若￡為。7^中點，連接“七，4七，又M是CO的中點，則ME7/ON,

所以AM與DV所成角，即為AM與旌所成角

令正方體校長為2,則AM=3,4七=—,

22

在么222則

\ME^A.M-^ME=AXE,Z4,ME=90°.

故選：D

1?一1一

5.如圖，在四面體0ABe中，OA=a,OB=bQC=C，且OEnjEABR=公區(qū)。，則石尸=()

LI

故百線，的傾斜角的取值范圍是[。，:卜"

故選：D.

7.關(guān)于曲線C：W+）『二i下列說法：①關(guān)于點（（）,（））對稱；②關(guān)于直線工軸對稱；③關(guān)于直線），=%對稱；

④曲線。是封閉圖形，面積小于兀；⑤曲線。是封閉圖形，面積大于兀；⑥曲線。不是封閉圖形無法計算

面積.其中正確的序號（）

A.①②⑥B.C.①②④D.@?@

【答案】B

【解析】

【分析】將（一乂一y）、（x,—y）和（y,x）代入曲線。方程可確定①②③的正誤；根據(jù)X，）'的范圍，結(jié)合當

-1〈先<1時，可確定曲線C圍成封閉圖形的面積大于圓/+丁=1的面積，知④⑤⑥正誤.

【詳解】對于①，將（一工一），）代入曲線C方程得：（一工）2+（_），）“=_?+）/=],

???曲線C關(guān)于點（0,0）對稱，①正確；

2424

對于②，將（乂-y）代入曲線C方程得：x+（-y）=x+y=\t

，曲線C關(guān)于直線x軸對稱，②正確；

對于③，將（），,力代入曲線C方程得：丁+/=],與曲線。方程不同，

二曲線C不關(guān)于直線對稱，③錯誤；

對于④⑤⑥，由一十寸=1知：—iwxw],-l<y<l,則曲線C為封閉圖形；

在曲線C上取一點材（不，兒），

當時,>?o<>o?「?片+片+=1，即點M在圓/=1外，

???曲線c圍成封閉圖形的面積大『圓f+y2=i的面積兀，⑤正確，④⑥錯誤.

故選:B.

8.當曲線y=與直線區(qū)一丁+24一4=0有兩個相異的交點時，實數(shù)攵的取值范圍是（）

A.1”）B.刖C.刖D.仔+8

【答案】C

【解析】

【分析1確定曲線為圓的下半部分，確定直線的定點，根據(jù)直線與半圓相切時得到斜率，再計算女￡=1，

結(jié)合圖像得到答案.

【詳解】=,即/+丁2=4,（y<0）,是圓的下半部分，

直線6_y+204=0過定點A（—2,T）,且C（2,0）,。（一2,0）,

畫出圖像，如圖所示：

2攵一43

當直線與半圓相切且斜率存在時，圓心到直線距離'=2,解得不，

kAC=^—=],根據(jù)圖像知：壯仁」.

2+214J

故選：C

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）

9.下列命題中，正確的有（）

A.4,乙分別是平面。，夕的法向量，若尸，則修//%

B.%,%分別是平面。，夕的法向量，若可電=0,則

C.n是平面。的法向量，a是直線/的方向向量，若〃.〃=（）,則〃/a

D.；是平面。的法向量，〃是直線/的方向向量，若（謫=120。，則/與平面。所成角為60。

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的法向量的位置關(guān)系，直接判斷面面.，線面位置關(guān)系和線線角即可得到答案.

【詳解】選項A.勺,公分別是平面a,尸的法向量，若。//4，則“//%,正確.

選項B.q,巧分別是平面a,6的法向量，若勺?4=0,則。_L/?,正確

選項C.〃是平面a的法向量，a是直線/的方向向量，若〃.〃=(),則〃/a或/ua,故不正確.

選項D.n是平面。的法向量，“是直線/的方向向量，若?,4=120。，則/與平面a所成足為30。，故

不正確

故選：AB

10.下列各選項中，不正確的是()

A.若4、B、C、D是空間任意四點，則有AB+8C+CO+D4=0

B.對于非零向量d,A〈d〉〉=〈一

C.若AB,CO共線，則AB//CD

D.對空間任意一點。與不共線的三點A、B、C,若OP=xOA+)，OB+zOC(其中x,)，,zwR),貝I」

尸、A、&。四點共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】由空間向量的概念和運算對選項逐一判斷.

inmuunmmuuni

【詳解】解：A選項：若AB、C、。是空間任意四點，則有AB+8C+CQ+OA=0,故A錯誤；

B選項；因c。外而〃片麗二卜《叫="一｛—〃,_〃),且向量夾角范圍為［。,句，所以

(d,b)=(-a,-b),故B正確;

C選項：若A氏C￡>共線，則AH/CO或A5,。,。四點共線，故C錯誤；

D選項：對空間任意一點。與不共線的三點八、B、C,若0P=x0A+>08+z0C(其中x,y,zwR),

則OP=(x+y+z)OA+y(08-0A)+z(OC-OA),即0。一(工+y+z)0/i=yAB-\-zAC

當上+y+z=MhAP=yAB-vzAC,此時P、4B、C四點共面，

當工+y+zHl時，此時。、4B、C四點不共面，故D錯誤.

故選：ACD

11.已知直線(26+l)x+(l——〃2-2=O(/〃eR)與圓C：f一4x+)J=0,貝ij()

A對V/nwR,直線恒過一定點

B.3/??GR,使直線與圓相切

C.對V〃2￡R,直線與圓一定相交

D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為J5

【答案】AC

【解析】

【分析】通過直線轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過定點；根據(jù)定點與圓的位置關(guān)系，即可判斷圓與直線的位

置關(guān)系；當圓心與定點的連線與直線垂直時，即可求得直線被圓所截得的最短弦長.

【詳解】/:(2/7;+2=0(/2?GR),B|J(2x-y-\)m+(x+y-2)=0,

[2x-y-l=0\x=\

令cc，解得《，，所以直線恒過點P(l』)，故A正確：

[x+y-2=0[y=l

圓C:(.x—2尸+)，2=4,圓心。(2,0),半徑尸=2.

因為I/。|=>/(1一2)2+(1—0)2=血〈r,所以點尸(I/)在圓C內(nèi)，

所以直線與圓一定相交，故B錯誤，C正確；

當PCJJ時，直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，

最短弦長為2戶I記/=2正，故D錯誤.

故選：AC

12.瑞士數(shù)學家歐拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心(中垂線

的交點)、重心(中線的交點)、垂心(高的交點)在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.若△ABC

的頂點A(-4,0),8(0,4),其歐拉線方程為工一)，+2=0,則下列說法正確的是()

A.AA3C的外心為(一1,1)B.ZXA8C的頂點C的坐標可能為(一2,0)

《△A8C的垂心坐標可能為(一2,0)D.ZXABC的重心坐標可能為

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直線A8的垂直分線方程，聯(lián)立歐拉方程可求得外心坐標，判斷A;求出外接圓方程，表示出

重心，坐標，代入到外接圓方程中，可求得。的坐標，進而判斷B,D的對錯：寫出過C和直線A4垂直的可

能的方程，和歐拉方程聯(lián)立求得垂心坐標，可判斷C.

【詳解】由頂點A(4,0),〃(0,4),可知直線47的垂直分線方程為丁=一1,

“BC的外心在直線x-)，+2=0上，

x—y+2=0

聯(lián)立《，可得外心坐標為(-1,1),故A正確；

[y=-x

設(shè)外心為G,則G(-l,1),故|GA|=?i,

所以外接圓方程為*+1)2+()，-=1(),

設(shè)C(x,y),則jWC的重心為(三±三1),代入歐拉線方程為x—)，+2=0中，

JJ

c八9,[x=2[x=0

得：x-y-2=0,和(x+l)2+()，_l)2=]0聯(lián)立，解得〈或《

[y=0[y=-2

即C點坐標可以為(2,0),(0,—2),故B錯誤；

2442

由C點坐標為(2,0),(0,-2),可知重心可能為(——,一),(一一,一)，故D正確；

3333

當C點坐標為(2,0)時，過C和AB垂直的直線方程為)，二一犬+2,

聯(lián)立歐拉線方程為x—y+2=0可解得垂心坐標為(0,2)；

當C點坐標為(0,-2)時，過。和垂直的直線方程為y=-x-2,

聯(lián)立歐拉線方程為x—y+2=0可解得垂心坐標為(-2,0),故C正確，

故選：ACD.

第二部分非選擇題(共90分)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

2

\，2r

13.橢圓上十二=1的焦點為入、F2,尸為橢圓上不同于長軸端點的一點，則鳥的周長為一

169

【答案】8+2幻

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程可得。涉，計算出c,然后根據(jù)橢圓的定義和焦距的定義可得三角形的周長.

22

【詳解】由匯+三=1可得片=]6,從=9，

169

所以c?=a2-b2=16—9=7?所以c=>/1?

所以|耳瑪|=2=2將,

根據(jù)橢圓的定義可得I9I+1。工1=2。=8.

所以△/￥；"的周長為：|歷|+|刊"+|￡6|=8+2療.

故答案為：8+2幣.

【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的定義、幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.如圖在平行六面體ABCD-MB^CD中，AB=3,AD=1,A4'=2

/班。=90。，N3A4'=NZMA'=60。，則AC的長是_________.

【答案】V22

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得AC'=AB+AO+A4'，再由空間向量的模長公式，即可得到結(jié)果.

所以AC,2,222;2

【詳解】因為4c'=AB+AO+/VV，=(A8+AQ+A4,=AB~+|AD|+|AA|

+2kA4cos90。+2網(wǎng)?[AA]cos60。+2koHMcos60。=9+1+4+0

+2x3x2x1+2x1x2x1=22,則k@二夜，所以AC'的長是后.

故答案為；722.

15.過點P(I,2)且在X軸，Y軸上截距相等的直線方程是.

【答案】2x-y=0或x+y-3=0

【解析】

【詳解】試題分析?：當直線過原點時，可設(shè)直線的方程為>二公一，

代入點P(1,2)可得攵=2,故方程為丁=2丫，化為一般式可得2x-y=0；

當直線不過原點時，可設(shè)直線的方程為2+上=1,

aa

xv

代入點P(l,2)可得a=3,故方程為一+上=1,化為一般式可得x+>—3=0：

33

綜上可得所求直線的方程為：2x-y=0或x+y-3=0.

故答案為2工一)，=0或r+y-3=0.

考點：直線的截距式方程.

16.據(jù)監(jiān)測，在海濱某城市附近的海面有一臺風.臺風中心位于城市A的東偏南60方向、距離城市

120Gh〃的海面2處，并以2("m/〃的速度向西偏北30方向移動(如圖示).如果臺風侵襲范圍為圓形區(qū)

域，半徑120切?，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風侵襲的時長為.

【答案】6小時

【解析】

【分析】當城市距離臺風中心小于等于120k〃時，城市開始受到臺風侵襲，所以只要城巾距離臺風移動方

向大于等于120h〃即可：由題意，畫出圖形解三角形.

【詳解】解：由題意如圖，設(shè)臺風中心到達Q,開始侵襲城市，到達0則結(jié)束侵襲.

在△AQP中，AQ=120k〃，AP=I2()G&〃?，NAPQ=30°,N%Q=180°?30°-ZQ=150°-NQ,

由正弦定理得到=衛(wèi)_,

sin/AQPsi〃30°

所以/AQP=120°,NAO尸=60°,所以△AQO為等邊三角形.所以O(shè)Q=120

120

所以該城市會受到臺風侵襲時長為丁=6小時.

20

【點睛】本題主要考查了解二角形的實際應(yīng)用：關(guān)鍵是由題意將問題轉(zhuǎn)化為解二角形的問題

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知直角的頂點坐標人（一3,0）,直角頂點3（1,-2）,頂點C在X軸上.

（1）求點C的坐標；

（2）求一A8C的斜邊中線所在直線的方程.

【答案】（1）C（2,0）；（2）4x+3），+2=0.

【解析】

【分析】（1）由題意利用宜?線的斜率公式，兩條直線垂直與直線斜率的關(guān)系，求得點C的坐標.

（2）先求出斜邊中點的坐標，再求出中線的斜率，用點斜式求出中線的方程.

【詳解】（1）直角的頂點坐標4（-3,0）,直角頂點8（1,-2）,

頂點C在x軸上，設(shè)。（〃z,0）,

則心屋七8二"^?上心=—1,求得機=2,故C（2,0）.

-3-1w-1

0+2_4

（2）斜邊AC的中點為M（-L,0）,8M的斜率為1:一5,

2----1

4(I

故BM的方程為/_0=_][工+5即4x+3y+2=0.

【點睛】本題主要考查直線的斜率公式，兩條直線垂直與直線斜率的關(guān)系，用點斜式求直線的方程，屬于

基創(chuàng)題.

18.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCO-AgGA中，E尸分別為的中點.

（1）求證：面AG。；

（2）求點C1到平面平。尸的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵

3

【解析】

【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)可知由線面平行判定定理可證得結(jié)論:

（2）利用等體積法%/“=%鴻”構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【小問1詳解】

連接AG，AQ，G。,"，

?.?AA〃CG,AA=cc,.四邊形ACC.4為平行四邊形，

AC/Z^C,,即CT〃AG，又AGu平面AG。，?！倍矫嫒薧。,

「.c/7〃平面AC。.

【小問2詳解】

連接BF，CF，

B\C={BC2+BB；=2aBIF=《BB；+BF2=,4+/￡)2=",

..Bp+CF?=B?,即耳FJLC/，.-.S=-aF-CF=-xV2xV6=>/3；

????Q]?v-I

F為BD中點、，二點F到平面BCG4的距離為:C。=1，

又S西ucc=_2Bg?CC]=—2x2x2=2,.?.匕廣.一格=-3S/?|C|C?2一CD=—3,

2

VF-RCCa25/3

???匕-4G。=%-?>“，?’?點G到平面B】CF的距離d=-------=-^-=.

馬5KF—

19.已知圓G經(jīng)過4（1,3）,3（4,2）,。（5,-5）三點.

（1）求圓G的方程；

（2）過點Q（3,3）向圓G作切線QS,Q7,切點分別是S,7,求直線ST的方程.

【答案】（1）Y+）3一21+4），-20=0

（2）2x+5y-17=0

【解^5]

【分析】（I）假設(shè)圓的一般方程，代入A氏。三點坐標即可構(gòu)造方程組求得結(jié)果：

（2）弦ST是以QG為直徑的圓與圓G的公共弦，求得以QG為直徑的圓的方程后，與圓G方程作差即可

求得結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)惻G方程為：/+V+6+西+/=0（。,瓦尸￡尺。2+爐一4/>0）,

v圓G過點A（l,3）,B（4,2）,C（5,-5）,

1（）+D+3E+F=（）fD=-2

/.<20+4D+2E+F=0,解得：<E=4（滿足O?十七2尸>0）,

50+5。一5￡+/=0[F=-20

??.E1G方程為：x2+y-2x+4y-20=0.

【小問2詳解】

由（1）知：圓G的圓心6（1,—2）,半徑廠="J（—2『十42—4x（—20）=5；

??,QS,QT與圓G相切，二.S,T在以QG為直徑的圓上，

?.?\QG\=7（3-1）2+（3+2）2=廊，QG中點（2,g）

丁?以約為直徑的圓的方程為："-2）2+（y-g）=券，即/+丁2-4%一）,-3=（）,

fx-+y~—4x—y—3=0

由<22c/M八得：2.v+5,y-17=0,

+/一2/4-20=0

即直線ST的方程為：2x+5y—17=0.

20.已知圓石：（/+11+/=16,點尸（l,0）,G是圓E上任意一點，線段Gb的垂直平分線和半徑GE相

交于

（1）求動點H的軌跡L的方程；

（2）若A（-2,0）,3（2,0）,過尸作直線/與軌跡L交于M,N兩點（不與48重合），記直線AM與

k.

的斜率分別為證明：+為定值.

【答案】（1）工+*=1;

43

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，并根據(jù)韋達定理得到）1+表示出斜率后化簡即可得iE.

【小問1詳解】

圓E:（x+l『+y2=i6,圓心屈：一1,0）,半徑—=4

因為線段G尸的垂直平分線和半徑GE相交于H,

所以IHGRWT所以|“￡|+|“用耳"臼+|HGREG|=r=4>|砂|,

所以點〃的軌跡是以后（一1,0）,尸（1,0）為焦點，且長軸長為4的橢圓.

故。=2,c=\,b2=tz2-c2=3?

22

所以點H的軌跡L的方程是二十二=1.

43

【小問2詳解】

證明：因為直線/不與重合，所以直線/斜率不為0,

故設(shè)/:x=7肛+1,M(%,y),N*2,y2).

幺4=1,

43n（3m2+4）y2+6my-9=0

x=my+\

6my

小二一目

所以

9

）2一^^

凹9m,_9/z?_,

&=%+2=y（相％+1-2）=，孫％一）'|=-3>+4f=_Sm'C=1

k?%必（〃職+1+2），孫為+3%9〃z16my27m3,

212

x2-23m+43nr+4'3m+4

k、1

所以7r為定值；.

k23

21.在如圖所示的四棱錐P-ABC力中，底面ABC。是邊長為2的正方形，△PAO是正三隹形，平面

平面A6CZ）.

P

（1）求平面Q4B與平面PCD所成銳二面角的大??；

（2）設(shè)E為P8上的動點，直線C石與平面Q鉆所成的角為。，求sin。的最大值.

【答案】（1）￡；（2）—.

37

【解析】

【分析】取47）的中點0,取3c的中點產(chǎn)，連接。。,。產(chǎn)，以｛。戶,ODOP｝為正交基底建立如圖所示

空間直角坐標系。-xyz.

（1）求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角得二面角；

（2）設(shè)靛=義茄，尤￡[0[],求出CE與平面PA8法向量夾角的余弦的絕對值，利用函數(shù)的知識求得

最大值.

【詳解】解.：取AO的中點0,取的中點尸，連接。P,O尸，

因為底面A8CO是正方形，???OF_LA。，

???△A4O是正三角形，。為的中點，???0P_LA。，

又因為平面24。_L平面ABC。，平面PAOc平面48a>=40,OPu平面PAD,

???8_L平面ABC。，

以｛O/,00,02｝為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系。一肛2.

⑴P(0,0,百)，4QT。)，8(2,-1,0),則罰=(2,0,0)，AP=(O,1,石),

設(shè)in=（演y,z）為平面PAB的一個法向量,

m-AB=2x=0

則im?AP=y+JJz=O則％=0,令z=l,得了=一百，加=（0,-百,1）,

P(0,0,G),C(2,l,0),。(0,1,0),則。C=(2,0,0),0P=(0,-1,6),

設(shè)〃=（。也c）為平面PCO的一人法向量,

n-DC=2。=0

則則。=0,令c=l,得b=5〃=(0,石,1)，

n?DP=-h+Cc-0

rnn-21_八---2萬

..cos</n,n>--：~~—=----=—,又</〃,〃[0,乃|.<m,n>=—,

\fn\\n\2x223

???面B鉆與平面PC。所成銳二面角的大小為

ULU1LLIU4八?lL

⑵設(shè)8E=48P，^e[0,l],則3七=4(一2,1,6)=(一2/1,4,&),

則CE=CB+BE=（0,-2,0）+（-2/1,2,0）=（-2/1,Z-2,>73Z）,

因為直線C￡與平面PAB所成的角為。，

「A.\CE-m\|一6（丸-2）+6團

/.sin0=|cos<CE,m>|=-------=/——

2

I。石II加I4（-2Q2+（/_2）+（、石/尸x2

_G_6<正—叵