考點(diǎn)32正弦定理、余弦定理的應(yīng)用【命題解讀】高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，往往以小題的形式獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，以解答題的形式綜合考查定理的綜合應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等或以下，主要考查靈活運(yùn)用公式求解計算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想等．【基礎(chǔ)知識回顧】1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．1．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計算出A，B兩點(diǎn)的距離為____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m2．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m．A．50eq\r(3) B．50eq\r(5) C．50eq\r(7) D．50eq\r(11)3．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile．此船的航速是__________nmile/h．A．16 B．32 C．64 D．1284．某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時間為____________小時．A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1考向一利用正弦、余弦定理解決距離及角度問題例1、某市電力部門需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測量A，B兩地距離．現(xiàn)測量人員在相距eq\r(3)km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長度大約應(yīng)該是A，B距離的eq\f(4,3)倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線？變式1、如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為10eq\r(3)m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計B離河岸的距離)，且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E．經(jīng)測量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測得煙囪AB的仰角分別為45°，30°和60°．(1)求煙囪AB的高度；(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長．變式2、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A為2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？變式3、如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2h追上，此時到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．方法總結(jié)：(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．考向二正余弦定理在三角形中的運(yùn)用例2、(2015南京、鹽城、徐州二模）如圖，在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝eq\r(10)，DC＝eq\r(2)，則AB＝________.變式1、(2015南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào)）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD的值為________．變式2、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）ABCD(第15題)如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，，，，．ABCD(第15題)（1）求的值；（2）求的長．變式3、(2016徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的長；(2)求△BCD的面積．變式4、（2017年蘇北四市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面積．方法總結(jié)：正余弦定理主要就是研究三角形綜合的邊與角的問題，許多題目中往往給出多邊形，因此，就要根據(jù)題目所給的條件，標(biāo)出邊和角，合理的選擇三角形，盡量選擇邊和角都比較多的條件的三角形，然后運(yùn)用正余弦定理解決。1、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）泉城廣場上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征．為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點(diǎn)A向北偏東前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為（）A．50m B．100m C．120m D．150m2、某小區(qū)有一個四邊形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，則該四邊形ABCD的面積等于__________m2．3、某同學(xué)騎電動車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測得電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75°方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是________km．4、如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD．在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為________m．5、如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10000m，速度為50m/s．某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)6、如圖，甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向且與A相距10eq\r(2)海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時兩船相距10海里．(1)求乙船每小時航行多少海里？(2)在C處北偏西