13.2命題與證明

。田目標(biāo)

1.認(rèn)識推理證明的方式以及證明的必要性和證明的一般步驟.

2.掌握證明的步驟和格式.

3.掌握命題、真命題、假命題、定理、推論的概念以及基本事實與定理的區(qū)別.

4.學(xué)會確定條件和結(jié)論不明顯的命題的條件和結(jié)論.

。國難點

1.掌握證明的步驟和格式.

2.認(rèn)識命題的條件和結(jié)論.

聿E硅過程

啕題相關(guān)知識回顧

1.線段、射線、直線、角、相交線、平行線的概念.

2.平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯角相等、

同旁內(nèi)角互補.

3.平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角（內(nèi)錯角）相等或同

旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.

4.三角形的內(nèi)角和等于1800.

磔3知識要點掃描I

知識點一定義

能明確界定某個對象含義的語句叫作定義.

我們已經(jīng)學(xué)過許多定義.如“由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組

成的封閉圖形叫作三角形”“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”.前一個定義揭示了對象的特

征性質(zhì)，后一個定義明確所指對象的范圍.今后我們還會學(xué)習(xí)許多定義.

特別提示：定義必須是嚴(yán)密的，應(yīng)避免使用含糊不清的術(shù)語.如“一些”“大

概”“差不多”等詞語不能在定義中出現(xiàn).正確的定義能把被定義的事物或名詞與其

他事物或名詞區(qū)別開來.

【例1】下列屬于定義的是（）

A.兩點確定一條直線

B.同角或等角的余角相等

C.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

D.點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度

【解析】定義能把被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別開來，顯然只有D

選項具有這樣的特點.

【答案】D

知識點二命題

1.命題的定義

可以判斷正確或不正確的陳述語句叫作命題.

2.命題的結(jié)構(gòu)

命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的

事項.一般地，命題都可以寫成“如果……那么……”的形式，用“如果”開始的部分

是條件，用“那么”開始的部分是結(jié)論.

以“如果……那么……”為關(guān)聯(lián)詞的命題的一般形式是“如果p,那么,或者

說成“若P，則二',其中〃是這個命題的條件（或題設(shè)），夕是這個命題的結(jié)論（或

題斷）.

3.命題的分類

命題有真假之分，正確的命題為真命題，錯誤的命題為假命題.

特別提示：（1）可以判斷出它是真假的陳述語句叫作命題.疑問句、祈使句、感

嘆句都不是命題.

（2）命題的定義包含兩層含義：①命題可以是一個式子或完整的句子，這個句子

通常是一個陳述句，包括肯定句和否定句；②命題必須對某件事情給出肯定或者否定

的判斷.對于一個命題，上述兩點缺一不可.

【例2一1】判斷下列敘述是不是命題，并說明理由.

（1）畫出NAO3的平分線OM：

（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行;

(3)直角都相等;

(4)你喜歡數(shù)學(xué)嗎？

(5)潮濕的空氣.

【解析】可以判斷出真、假的陳述語句叫作命題.因此命題必須是一個完整的句子,

并且對某一件事情作出肯定或否定的判斷.

【解】(1)不是命題.理由：此句僅說出了作圖的一個步驟，并沒有作出任何判

斷.

(2)是命題.理由：此句對符合一定條件的直線作出了平行線的判斷.

(3)是命題,理由：此句對符合一定條件的角作出了相等的判斷.

(4)不是命題.理由：此句僅提出了一個問題，是一個疑問句，并沒有作出任何

判斷.

(5)不是命題.理由；這僅僅是一個詞組(短語)，不是句子，且沒有作出任何

判斷.

【迷津指點】要判斷一個敘述是不是命題，主要注意以下兩點：首先命題必須是

一個完整的句子，如(5)僅僅是一個詞組(短語)，不是句子；其次，這個句子必須

對某件事情作出肯定或否定的判斷，如(1)沒有作出任何判斷.

【例2—2】指出下列命題的條件和結(jié)論.

(1)如果兩個角相等，那么它們是對頂角；(2)若a>b,b>c,則a>c；(3)

兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(4)全等的兩個三角形的面積相

等；(5)對頂角相等.

【解析】第(1)(2)命題中有“如果……那么……"和”若……則……”條件

和結(jié)論比較明顯；第(3)(4)(5)命題中的條件和結(jié)論不明顯，需要先把命題改寫

成“如果……那么……”的形式，再找出條件和結(jié)論.

【解】(1)條件：兩個角相等；結(jié)論：它們是對頂角.

(2)條件：a>h,b>c；結(jié)論：a>c.

(3)改寫：如果兩個三角形有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角

形全等.

條件：兩個三角形有兩魚和其中一角的對邊對應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個三角形全等.

特別提示：若原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題；若原命題是假命題,

它的逆命題也不一定是假命題.

【例3—1】寫出下列命題的逆命題，并判斷所寫逆命題的真假.

（1）若工=A則爐=9；（2）同旁內(nèi)角互補.

【解析】把命題改寫成“如果P，那么的形式，再把〃與夕的位置互換，就得

到它的逆命題，然后判斷真饅即可.

【解】（1）逆命題為“如果X2-），，那么x-y"，是假命題.

（2）逆命題為“如果兩個角互補，那么這兩個角是同旁內(nèi)角”，是假命題.

【例3—2】命題“如果”=/，那么。=用是假命題，可舉出反例為.

【解析】當(dāng)。=2,/?=—2時，〃=22=4,b2=（—2）2=4,所以但QWA

【解】a=2,b=-2（答案不唯一）

【迷津指點】通過舉反例來說明一個命題是假命題是數(shù)學(xué)中或日常生活中常用的

思想方法，舉反例只需要舉出一個即可.

知識點四定理和證明

1.定理

有些命題是從基本事實或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作

判斷命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫作定理.

2.證明

從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，

這一方法稱為演繹推理（或演繹法）.演繹推理的過程，就是演繹證明.

3.證明的一般步驟

（1）分清條件和結(jié)論，根據(jù)題意畫出圖形，圖形要正確且具有一般性，不能畫特

殊圖形；

（2）根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證；

（3）探求證題思路，看由已知條件可以推得哪些結(jié)論，看欲證的結(jié)論需要哪些條

件，兩者結(jié)合尋找證題思路：

（4）寫出證明過程，證明中的每一步都要有理有據(jù).

特別提示：（1）定理是某些真命題的獨立表達(dá)形式，命題與定理是一般與特殊的

關(guān)系，并不是每個命題都是定理，而任何一個定理都是命題.

（2）利用定理進(jìn)行證明，一般是從條件出發(fā)，通過因果關(guān)系的推理，得到最后的

結(jié)論,證明要求步步有據(jù)，每步推理都要以定義、基本事實或定理作為依據(jù).

（3）在尋求證明思路的過程中，可以從已知向求證探索，也可以倒過來，即從求

證向已知追溯，還可以從已知和求證兩個方向同時出發(fā).

【例4—1】命題“對頂角相等”是（）

A.角的定義B.假命題

C.基本事實D.定理

【解析】“對頂角相等”的正確性是需要經(jīng)過推理來證實的，而后又把它選定作

為判定其他命題真假的依據(jù)，所以它屬于定理.

【答案】D

【例4—2】求證：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

【解析】這是一道文字證明題，需要畫出圖形，寫出已知和求證，然后進(jìn)行證明.

【解】已知：如圖，Zl+Z2=180°.

求證：a//b.

證明：VZ1+Z2=18O°,（已知）

Z2+Z3=180°,（平角的定義）

??.N1=N3,（等量代換）

：.a//b.（同位角相等，兩直線平行）

【迷津指點】證明中的每一步都要有依據(jù)，這些依據(jù)可以是已知條件，也可以是

我們學(xué)過的定義、基本事實、定理等.

知識點五三角形內(nèi)角和定理的證明

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫作輔助線.

學(xué)習(xí)了證明的意義、證明命題的格式及步驟后，我們可以用推理的方式證明三角

形內(nèi)角和定理.

△c

【例5】教材給出了三角形內(nèi)角和定理的一種證明方法，你還有其他的證明方法

嗎？已知：如圖所示的△A5c.求證：NA+NB+/C=18()°.

【解析】教材中我們用“拼角”的作法，即把三角形的3個內(nèi)角“搬”到一起，

拼成一個平角，證明了定理，如圖①②③所示，下面探索另外兩種證明的方法.

【解】證法1：過點A作AD〃BC,如圖④所示.

,:AD〃BC,AZ1=ZC,ZD/lfi+ZB=18O0,

:.ZBAC+ZC+/B=ZBAC+Z1+NB=ZDAB+NB=180°.

A

AAEAF

/------V圖④理-------V圖⑤

證法2：如圖⑤所示，過點A在NBAC的內(nèi)部任作一條射線AO,再作8七〃AO,

CF//AD.

^BE/ZAD/ZCF,AZ1=Z3,N2=N4,ZEBC+ZBCF=lS0°,

:.ZBAC+ZABC+ZACB=Z1+Z2+ZABC+NACB=ZEBC+ZBCF=

180°.

【迷津指點】很多題目都具有多種解法，一題多解有利于培養(yǎng)思維的靈活性和廣

闊性，提高分析問題的能力和養(yǎng)成勤于思考的好習(xí)慣.

知識點六三角形內(nèi)角和定理的推論

由基本事實、定理直接得出的真命題叫作推論.

1.三角形的外角

由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.

如圖所示，NAC。和NBCE是△A8c的兩個外角，而NDCE不是三角形的外角.

CD

B

2.三角形內(nèi)角和定理的推論

推論1：直角三角形的兩銳角互余.

推論2：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

推論4：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

3.三角形的外角和為360°.

A

【例6—1】如圖，。是上一點，E是AC上一點，BE,CO相交于點F,NA

=62°,ZACD=35°,NA3E=20°.試求：

（1）N5OC的度數(shù)；

（2）NBFQ的度數(shù).

【解析】（1）由題意，知NA=62°,NACO=35°,利用三角形外角的性質(zhì)，

即可得出NBOC=NA+NACQ；（2）已知NA8E=20°,利用三角形內(nèi)角和定理，

得出尸。=180°-/ABE-/BDC.

【解】（1）VZA=62°,ZACD=35°,（已知）

：.ZBDC=ZA+ZACD=91°.（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

（2）VZABE=20°,（已知）

NBDC=97°,〔由（1）知〕

.,.ZBFD=1800-ZABE-ZB￡>C=180u-20°-97“=63”.（三角形內(nèi)角和

定理）

【迷津指點】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，是求角的度數(shù)的基本

方法.

Q

【例6一2】圖中的圓是一個噴水池，現(xiàn)要修建兩條通向水池的小道處和QB,要

求與Q8所在的直線互相垂直.為了檢驗PA與QB是否垂直，小亮同學(xué)在水池外的

平地上選定一個可直達(dá)點P和點。的點C,然后測得/尸=25°,ZC=45°,ZQ=

20°.PA與Q8是否垂直？為什么？

【解析】延長PA,QB,然后根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求

解.

【解】垂直.理由：如圖所示，延長FA,QB安于點、D,延長尸。交CQ于點￡

由三角形外角的性質(zhì)，得N1=NP+NC=250+45°=70°,Z2=ZQ+Zl=

20°+70°=90°，所以PAJ_Q8.

【迷津指點】本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，作輔助

線構(gòu)造出三角形是解題的關(guān)鍵.

【例6—3】如圖，已知。是NAC3外角的平分線與弱的延長線的交點.求證:

ZBAOZB.

【解析】由三角形外角的性質(zhì)可知NA4ON1,Z2>ZB,而N1=N2,故問題

得證.

【解】平分NACE,（已知）

AZ1=Z2.（角平分線的定義）

?.?NB4C是△ACQ中與N1不相鄰的外角，（已知）

AZBAOZ1,（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）

AZBAOZ2.（等量代換）

51VZ2是^BDC中與/B不相鄰的外角，（已知）

Z.Z2>ZB,（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）

：.ZBAC>ZB.（不等式的性質(zhì)）

【迷津指點】在本題中/BAC既是△ABC的內(nèi)角，又是△ACO的外角，利用三角

形外角的性質(zhì)，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是證題的關(guān)鍵.

經(jīng)典例題剖析

【例1】下列語句中，哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，判斷命題的真假.

(1)對頂角相等；

(2)如果。是有理數(shù)，那么雇+1>0；

(3)若?！╟,b//c,則a〃b；

(4)1是質(zhì)數(shù)；

(5)不相交的兩條線是平行線；

(6)奇數(shù)一定是質(zhì)數(shù)嗎？

(7)畫一個半徑是1cm的圓；

(8)任何數(shù)的絕對值都是正數(shù).

【解析】真正理解命題的定義是解題的關(guān)鍵.

【解】(1)(2)(3)(4)(5)(8)是命題，(6)(7)不是命題，其中(1)

(2)(3)是真命題，(4)(5)(8)是假命題.

【例2】將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出命題的條件

與結(jié)論.

(I)直角都相等；

(2)末位數(shù)是5的整數(shù)能被5整除；

(3)三角形的內(nèi)角和是180°；

(4)同角的余角相等.

【解析】一個命題包括條件和結(jié)論兩個部分.若命題不易分辨出條件和結(jié)論兩部

分，可以將命題改寫成與原命題意義不變、句子通順的“如果……那么……”形式，

使命題的條件和結(jié)論更明朗化.改寫時，可以適當(dāng)增刪詞語，使句子完整通順.對于沒

有寫成“如果……那么……”形式的命題，我們要找到其中表示判斷的關(guān)鍵詞，如

“是”“相等”等詞語，與這些詞相連的一般是結(jié)論.

【解】(1)這個命題寫成：“如果幾個角是直角，那么這幾個角都相等.”條件

是“幾個角是直角”，結(jié)論是“這幾個角都相等“

（2）這個命題寫成：“如果一個整數(shù)的末位數(shù)是5,那么它能被5整除條件是

“一個整數(shù)的末位數(shù)是5”，結(jié)論是“它能被5整除”.

（3）這個命題寫成：“如果一個圖形是三角形，那么它的內(nèi)角和是1800'條件

是“一個圖形是三角形”，結(jié)論是“它的內(nèi)角和是180°”.

（4）這個命題寫成：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.”條

件是“兩個角是同一個角的余角”，結(jié)論是“這兩個角相等”.

【迷津指點】添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完

整，語句要通順，使命題的條件和結(jié)論更明朗，易于分辨.改寫過程中可以適當(dāng)增刪詞

語，使語句更通順，切不可生搬硬套.

【例3】寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題的真假.

（1）三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）若a,b都是偶數(shù)，則是偶數(shù).

【解析】逆命題就是把原命題的條件變成新命題的結(jié)論，而將原命題的結(jié)論變成

新命題的條件.（1）“三角形的兩邊之和大于第三邊“可轉(zhuǎn)換成“如果三條線段能構(gòu)

成三角形，那么任意兩條線段之和大于第三條線段的長”的形式，這樣寫逆命題就方

便了；（2）“若小b都是偶數(shù),則。+8是偶數(shù)”的逆命題通過交換條件和結(jié)論即可

得到，可舉一個反例判斷其是假命題.

【解】（1）逆命題：“如果三條線段中，任意兩條線段之和都大于第三條線段的

長，那么這三條線段能組成三角形."這是真命題.

（2）逆命題：“如果Q+8是偶數(shù)，那么〃，〃都是偶數(shù).”這是假命題,例如：a

=3,b=5,a+b=8,但。，人均不是偶數(shù).

【迷津指點】寫出一個命題的逆命題的方法：當(dāng)命題的條件、結(jié)論不太分明時，

可先確定結(jié)論，再確定條件，然后將命題改寫成“如果……那么……”的形式，再互

換條件和結(jié)論，從而得到逆命題.

【例4】求證：如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，那么它與另一條直線也

垂直.

【解析】解文字命題的證明題，首先要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，再畫出符合題意

的圖形.因此，先畫出兩條平行線，再畫出一條與其中一條垂直的直線，然后結(jié)合圖形

寫出“已知”和“求證”，并給出“證明”.

【解】已知：如圖，a/ib,C-La.

求證:cA.b.

證明：\9a//b,（已知）

.-.Z2=Z1,（兩直線平行，同位角相等）

Vc±6Z,（已知）

AZ1=90°,（垂直的定義）

??.N2=90°,（等量代換）

即cJ_4（垂直的定義）

【迷津指點】仔細(xì)審題，依題意畫圖，然后寫“已知”“求證”“證明”，這是

文字命題證明的基本步驟.為了使證明過程簡潔，我們可以通過各種方法簡化表達(dá)過