專題2.1函數(shù)

★教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)

?變量與常量的含義

工函數(shù)的概念

國數(shù)的三種表示方法

〔?自變量的取值范圍的確定

知識(shí)清單

函數(shù)值

、、?確定由數(shù)表達(dá)式

的由函數(shù)磔耳理函數(shù)圖象的一^驟

函數(shù)

?判斷所給的表達(dá)式是否為函數(shù)

?求自變量的值（或函數(shù)值）

一?列表法與關(guān)系式法

函數(shù)的表示方法/

----------~~V?圖像去

★題型精講

一_0從表格中獲取信息

從實(shí)際問題中獲取信息/一?一一

-----------!----------<?從酸中獲取信息

I?函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

\?動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造的函數(shù)綜合問題

★強(qiáng)化訓(xùn)練

（教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)1

1.了解常量、變量的概念，能區(qū)分某i變化過程中的變量與常量。

2.掌握自變量和函數(shù)的概念，能辨析兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系。

教學(xué)目標(biāo)

3.理解函數(shù)解析式的概念，能求出與已知自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

4.會(huì)確定實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間的函數(shù)解析式，能求出相應(yīng)自變量的取值范圍。

教學(xué)重點(diǎn)：明確“變量”與“常量”的區(qū)別：掌握函數(shù)的核心定義：函數(shù)的三種表示方

教學(xué)重難點(diǎn)法三者能相互轉(zhuǎn)化。

教學(xué)難點(diǎn)：理解“唯一性”的內(nèi)涵；擺脫“解析式依賴”；區(qū)分“自變量”與“因變量”。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01變量與常量的含義

在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的最為變量.數(shù)值，呆持不變的量叫做常量.

A.常量50；變量y.B.常量0.2,50；變量f.

C.常量0.2,50：變量y.D.常量0.2,50；變量八）二

知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的概念

一般地，在一個(gè)變化過程中.如果有兩個(gè)變量X與y,并且對(duì)于X的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確

定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說A?是自變量，y是A?的函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：對(duì)于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：

（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（2）對(duì)于自變量x的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；

（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于x允許取的每一個(gè)值，），是否都有唯一確定的值與

它相對(duì)應(yīng).

（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：

①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；

②自變量X的取值范圍相同.

否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量A?的取值范圍有時(shí)容易

忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.

【即學(xué)即練】如圖，下列各曲線中能夠表示y是X的函數(shù)的是（）

知識(shí)點(diǎn)（）3函數(shù)的三種表示方法

函數(shù)的三種表示方法：列表法、解析式法、圖象法.

其特點(diǎn)分別是：列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，在實(shí)際生活中應(yīng)用羋常廣泛；解

析式法準(zhǔn)確地反映了函數(shù)與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應(yīng)的函數(shù)值，反之

亦然；圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律.

注意：①它們分別從數(shù)和形的角度反映了函數(shù)的本質(zhì)；②它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.

函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)

解析法：即全面地概括了變量之間的依賴關(guān)系，又簡單明了，便于對(duì)函數(shù)進(jìn)行理論上的分析和研究.但

有時(shí)函數(shù)不能用解析法表示，或很難找到這個(gè)函數(shù)的解析式.

列表法：自變量的值與其對(duì)應(yīng)的，函數(shù)值一目了然，杳找方便.但有很多函數(shù)，往往不可能把自變量的

所有值與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都列在表中.

圖像法：非常直觀，可以清楚地看出函數(shù)的變化情況.但是，在圖像中找對(duì)應(yīng)值時(shí)往往不夠準(zhǔn)確，而

且有時(shí)函數(shù)畫不出它的圖像，還有很多函數(shù)不可能得到它的完整圖像.

【即學(xué)即練】1.某商店銷售一批玩具時(shí)，其收入），（元）與銷售數(shù)量X（個(gè)）之間有如下關(guān)系：

銷售數(shù)量X1234

（個(gè)）

收入y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2

則收入y與銷售數(shù)量X之間的關(guān)系式可表示為（）

A.y=8.3xB.y=8x+0.3C.y=8+O.3xD.y=8.3+x

2.一物體從4〃?高的地方勻速降到地面，若物體每分鐘下降0.4〃，則物體與地面的距離y（單位：〃］）與下

降時(shí)間，（單位：加加）之間的函數(shù)圖象是（）

知識(shí)點(diǎn)04自變量的取值范圍的確定

函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.

要點(diǎn)詮釋：考慮自變量的取值必須使解析式有意義。

（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)；

（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實(shí)數(shù)；

（4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)幕或負(fù)整數(shù)指數(shù)基時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零;

（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義.

知識(shí)點(diǎn)05函數(shù)值

要點(diǎn)詮釋：

【即學(xué)即練】根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的工?的值為4時(shí)，輸出的y的值為5.則輸入x

的值為3時(shí)，輸出的），的值為（）

題型01判斷所給的表達(dá)式是否為函數(shù)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4，卜

【變式11】下列關(guān)系式中，y是人的函數(shù)的是（）

A.3B.4C.5D.6

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.54卜

題型02求自變量的值（或函數(shù)值）

A.±1或1.5B.±1C.1.5或-1D.1.5

A.1B.1C.72D.73

【例23】（2425八年級(jí)上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）如圖為一組有規(guī)律的圖案,笫1個(gè)圖案是由4個(gè)＜＞組成

的，第2個(gè)圖案是由7個(gè)＜＞組成的，第3個(gè)圖案是由10個(gè)＜〉組成的，.……設(shè)第〃個(gè)圖案是由），個(gè)。＞

組成的.

4^-

第*1個(gè)圖案1第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

⑴求），與〃之間的函數(shù)表達(dá)式；

⑵第100個(gè)圖案是由多少個(gè)O組成的？

【變式22】（2324八年級(jí)上?安徽阜陽?階段練習(xí)）定義：函數(shù)的零點(diǎn)是指使函數(shù)值等于零的自變量的值,

則下列函數(shù)中零點(diǎn)為2的是（）

⑴觀察圖形，埴寫下表：

鏈條節(jié)數(shù)/X（節(jié)）234

4.2???

⑵請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式；

⑶如果一輛自行車上安裝的鏈條共有60節(jié)，那么鏈條的總長度是多少？

題型03函數(shù)的表示方法

【例31】（列表法與關(guān)系式法）某商店銷售一批玩具時(shí)，其收入（元）與銷售數(shù)量工（個(gè)）之間有如下關(guān)

系:

銷售數(shù)量X（個(gè)）1234...

收入y（元）8+0.3164-0.624+0.932+1.2...

則收入與銷售數(shù)量x之間的關(guān)系式可表示為（）

【例32】（圖像法）（2425八年級(jí)上?安徽亳州?階段練習(xí)）用固定的速度向容器里注水，水面的高度〃和

注水時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖，則該容器可能是（

【變式32】（2425八年級(jí)上?安徽池州?期末）下列圖象中，能表示函數(shù)圖象的是（）

【變式33】（2324八年級(jí)上?安徽安慶?期末）甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，甲先步行到中點(diǎn)改騎自行車，

乙先騎自行車到達(dá)中點(diǎn)后改為步行.已知甲、乙兩人騎車的速度和步行的速度分別相同，則甲、乙兩人所

行的路與所用時(shí)間的關(guān)系圖正確的是（實(shí)線表示甲，虛線表示乙）（）

下列用x表示），的關(guān)系式中，正確的是（）

【變式35】某文具店老板購進(jìn)一批熒光筆，銷量x（支）與銷售額V（元）的關(guān)系如下表所示:

銷量X/支12345???

銷售額元3691215???

則銷售額與銷量x的函數(shù)關(guān)系式為（）

題型04從實(shí)際問題中獲取信息

【例41］（從表格中獲取信息）（2425八年級(jí)上?安徽淮北?期中）聲音在空氣中傳播的速度和氣溫之間有

【例42］（從圖象中獲取信息）（2425八年級(jí)上?安徽淮北?階段練習(xí)）為響應(yīng)國家號(hào)召“低碳生活，綠色出

行”李老師騎單車上班，當(dāng)他騎了一段時(shí)間，想起要去家訪生病的小明，于是又折回到剛經(jīng)過的小明家，到

小明家家訪完后繼續(xù)去學(xué)校，以下是他本次所用的時(shí)間與離家距離的關(guān)系示意圖，根據(jù)圖中提供的信息回

0246810121416離開家的時(shí)間（分）

⑴圖中自變量是,因變量是；

⑵李老師家到小明家的路程是米.李老師在小明家家訪用了分鐘;

⑶請(qǐng)計(jì)算李老師家訪完后到學(xué)校的騎車速度.

01234???

181260-6…

根據(jù)以上表格，解答下列問題：

⑴自變量是,因變量是;

⑵求氣溫/與海拔高度〃之間的函數(shù)表達(dá)式.

【變式42】（2425八年級(jí)上?安徽滁州?階段練習(xí)）科學(xué)家實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，聲音在不同氣溫卜傳播的速度不同，

聲音在空氣中的傳播速度隨氣溫的變化而有規(guī)律的變化.某科學(xué)社團(tuán)通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中傳

播的速度和氣溫的變化存在如下的關(guān)系:

012345

331334

⑴在這個(gè)變化過程中，是自變量；（填漢字）

⑶某日的氣溫為2UC,小樂看到煙花燃放4s后才聽到聲響，那么小樂與燃放煙花所在:地大約相距多遠(yuǎn)？

【變式43］（2324八年級(jí)上?安徽安慶?期末）張師傅駕車運(yùn)送貨物到某地出售，汽車出發(fā)前油箱有油50升?，

行駛?cè)舾尚r(shí)后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量）’（升）與行駛時(shí)間/（小時(shí)）之間的關(guān)系

如圖所示.請(qǐng)根據(jù)圖象I可答下列問題：

⑵已知加油前、后汽車都以70T?米/小時(shí)勻速行駛，如果加油站距目的地210千米，要到達(dá)目的地，問油

箱中的油是否夠用？請(qǐng)說明理由.

【變式44】（2324八年級(jí)上?安徽滁州?期中）隨著“雙減〃政策落地，周末家庭野外郊游將成為我們的生活常

態(tài).誠誠騎自行車從家里出發(fā)30分鐘后到達(dá)甲地，游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地.誠誠離家1小時(shí)30

分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，卜.圖是他們離家的路程與誠誠離家時(shí)間的函數(shù)圖象，己知媽媽駕

車的速度是誠誠騎車速度的3倍，根據(jù)圖中的信息：

⑴誠誠從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上？此時(shí)離家多遠(yuǎn)？

⑵若媽媽比誠誠還早10分鐘到達(dá)乙地，從家到乙地的路程是多少？

題型05函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

⑴分別求出X，力與x之間的關(guān)系式：

⑵王華買了25本練習(xí)本，選擇哪家商店更優(yōu)惠？請(qǐng)說明理由.

【例52】小英在家里整理內(nèi)務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：把一些相同規(guī)格的塑料髡子整齊地疊放在水平地面上，這摞塑料凳

子的高度隨著凳子的數(shù)量變化有一定的關(guān)系.于是小英對(duì)凳子的高度進(jìn)行測(cè)量，具體變化的情況如下表所

示：

凳子的數(shù)量/個(gè)12345L

高度/cm5055606570L

⑴上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？

（2）用〃（cm）表示這摞凳子的高度，x（個(gè)）表示這摞凳子的數(shù)量，請(qǐng)寫出〃與工之間的函數(shù)關(guān)系式;

【變式51］小可的媽媽打算購買?些草莓回家做水果拼盤，經(jīng)了解，生態(tài)園區(qū)中的〃老農(nóng)果園"的草莓標(biāo)價(jià)

為50元/千克，若一次性購買不超過2千克，則按原價(jià)付款，若購買超過2千克，則超過部分按標(biāo)價(jià)的八

折付款.

⑵去購買草莓當(dāng)天，發(fā)現(xiàn)旁邊的“盛田果園”也在進(jìn)行草莓優(yōu)惠活動(dòng)，同品種草莓標(biāo)價(jià)也為50元/千克，但

全部按標(biāo)價(jià)的九折付款，小可媽媽計(jì)劃用200元購買此種草律（全部用完），請(qǐng)問她在哪個(gè)果園購買更合

算？

⑴寫出每種優(yōu)惠方案實(shí)際付款金額y（元）與X（打）之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若只能按一種方案購買，比較購買100打的羽毛球，按哪種方案付款更合算：

⑶若專賣店允許以任意選擇一種優(yōu)惠方案購買，也可以用兩種方案混合購買，請(qǐng)就購買球拍20支和羽毛球

50打設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方法.

【變式53】（2425八年級(jí)上?安徽合肥?期中）劉阿姨承包了一些土地種植西紅柿、茄子，西紅柿每畝地成

本2000元，茄子每畝地成本2500元（凈利潤=收入-成本）."陽光農(nóng)場(chǎng)”社團(tuán)的兩位同學(xué)李華和張萌幫助

劉阿姨搜集到了如下信息：

⑴種植每畝西紅柿的收入為元，每畝笳子的收入為元;

⑵若劉阿姨兩種蔬菜均有種植，共種植了6畝，其中西紅柿種植了x畝，要使凈利潤不低于15000元，則

至少種植多少畝西紅柿？

⑶在（2）的條件下，設(shè)總成本為卬元，請(qǐng)求出卬與龍之間的表達(dá)式，并計(jì)算出最小成本.（西紅柿和茄子

的種植畝數(shù)均為正整數(shù)）

【變式54】甲、乙兩家商場(chǎng)平時(shí)以同樣價(jià)格出售相同的商品，新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家

商場(chǎng)打折促銷，甲商場(chǎng)所有商品按9折出售，乙商場(chǎng)對(duì)一次購物中價(jià)格超過100元后的部分打8折.

⑴以工（單位：元）表示商品原價(jià)，V（單位：元）表示實(shí)際購物金額，分別就兩家商場(chǎng)的讓利方式寫出

y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)商品的原價(jià)為250時(shí)，在哪家商場(chǎng)通過打折后更劃算.

⑶當(dāng)商品的原價(jià)為多少元時(shí)，兩家商場(chǎng)打折后的價(jià)格相同.

題型06動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造的函數(shù)綜合問題

B/

OC~x

⑴寫出點(diǎn)8和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，用含/的式子表示線段AM的長/,并寫出，的取值范圍;

圖甲圖乙

⑵求：圖乙中的。的值;

⑶求：圖乙中的〃的值.

⑴在這個(gè)變化過程中，自變量是什么？因變量是什么？

【變式64】（2122八年級(jí)上?安徽合肥?期中）如圖①，在矩形A8CQ中，AB=10cm,8c=8cm,點(diǎn)P從八

出發(fā)，沿路線運(yùn)動(dòng)，到D停止；點(diǎn)。從。出發(fā)，沿。路線運(yùn)動(dòng)，到4停止.若點(diǎn)

P、點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的速度為每秒1cm,點(diǎn)。的速度為每秒2cm,。秒時(shí)點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)改變速度，點(diǎn)

夕的速度變?yōu)槊棵爰觤,點(diǎn)。的速度變?yōu)槊棵?cm,圖②是點(diǎn)P出發(fā)工秒后胡。。的面積S（cm）與工（秒）

的函數(shù)關(guān)系圖象.

（1）根據(jù)圖象得。=;b-；

（2）設(shè)點(diǎn)。已行的路程為w（cm）,點(diǎn)Q還剩的路程為"（cm）,請(qǐng)分別求出改變速度后，＞，/、”和運(yùn)動(dòng)

時(shí)間x（秒）的關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

A.點(diǎn)。和點(diǎn)QB.點(diǎn)Q和點(diǎn)NC.點(diǎn)P和點(diǎn)、ND.點(diǎn)M和點(diǎn)N

A.V,h,—B.3,S,hC.V,S,//D.V,S,-

33

5.（2425八年級(jí)上?安徽合肥?期中）下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）

B.第二檔單價(jià)是3.5元/立方米

8.（2324八年級(jí)下?安徽蕪湖?期末）某湖邊公園有一條筆直的健步道，甲、乙兩人從起點(diǎn)同方向勻速步行，

先到終點(diǎn)的人在終點(diǎn)休息.已知甲先出發(fā)6分鐘，在整個(gè)過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發(fā)

的時(shí)間，（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為75米/分鐘；②起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離

為5940米；③甲走完全程用了78分鐘；④乙步行的速度為90米/分鐘；⑤圖中機(jī)的值為36.

則以上結(jié)論一定正確的是（）

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④⑤D.①②③⑤

二、填空題

10.（2324八年級(jí)上?安徽六安?期末）如圖所示是關(guān)于變量X,），的程序計(jì)算，若開始輸入的x值為6,則最

后輸出因變量y的值為.

12.（2425八年級(jí)上?安徽合肥?期末