專題04平面向量的線性運(yùn)算（3個知識點(diǎn)4

種題型2種中考考法）

唯【目錄】

倍速學(xué)習(xí)四種方法

【方法一】脈絡(luò)梳理法

知識點(diǎn)1實(shí)數(shù)與向量相乘

知識點(diǎn)2平行向量定理

知識點(diǎn)3向量的線性運(yùn)算

【方法二】實(shí)例探索法

題型1實(shí)數(shù)與向南.相乘

題型2向量的線性運(yùn)算

題型3平面向量定理的應(yīng)用

題型4綜合應(yīng)用

【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法

【方法四】成果評定法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解相似三角形的性質(zhì)

2.能靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題。

二【倍速學(xué)習(xí)五種方法】

【方法一】脈絡(luò)梳理法

知識點(diǎn)1實(shí)數(shù)與向量相乘

1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義:

要點(diǎn)詮釋：

設(shè)P為一個正數(shù)，就是將?。的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；P"也就是將〃的長度進(jìn)行放縮，

但方向相反.

2.向量數(shù)乘的定義

一般地，實(shí)數(shù)攵與向量〃的相乘所得的積是一個向量，記牛攵。，它的長度與方向規(guī)定如下：

實(shí)數(shù)攵與向量4相乘，叫做向量的數(shù)乘.

要點(diǎn)詮釋：

（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行（或共線）的向量；

（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；

（4）%。表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在

數(shù)字上面；

（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

3.實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：

知識點(diǎn)2平行向量定理

1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.

要點(diǎn)詮釋：

要點(diǎn)詮釋：

知識點(diǎn)3向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算定義：

向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.

要點(diǎn)詮釋：

（1）如果沒有括號，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.

（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

2.向量的分解：

要點(diǎn)詮釋：

一組基底中，必不含有零向量.

（3）以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為?組基底，該平面內(nèi)的任意?個向量都可表示成這組基底的線性組

合，基底不同，表示也不同.

3.用向量方法解次平面幾何問題；

（1）利用己知向量表示未知向量

用已知向量來表示另外?些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的?些

定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成

比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.

③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

【方法二】實(shí)例探索法

題型1實(shí)數(shù)與向量相乘

【答案與解析】

【總結(jié)升華】向量既有大小又有方向，作實(shí)數(shù)與向最相乘的積向量時兩方面都要考慮.

【變式1】已知單位向量e.若向量〃與e的方向相同,日長度為4,則向量。=_（用e表示）.

【答案】4e

【答案與解析】

證明：當(dāng)4二0時，左邊二0?（。+〃）=0,右邊二0?々+0?5=0,等式成立；

當(dāng)幾為正整數(shù)時，令4二〃，則有：

ft（a+b）=（?+/?）+（cz+b）+…+（a+b）=a+???+?+h+b+b+--+b-na+〃b

即4為止整數(shù)時，等式成立；

當(dāng)為負(fù)整數(shù)時，令4=-〃（〃為正整數(shù)），則有：

B）=〃［一（〃+B）］=〃［（一"）+（一B）］

-fi（-a）+〃（-B）=-nab）=-na-nb,等式成立：

【答案與解析】

VDE/7BC

【總結(jié)升華】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量與已知向量之間的大小關(guān)系又要看方向關(guān)系.

題型2向量的線性運(yùn)算

【例3】(1)3(〃8)2(a+2〃)；(2)2(2a+6/?3c)3(3〃+4〃2c)

【答案與解析】

解：(1)原式=(3。3b)+(-2)6Z+(-2)2b

=3ci3b—2a—\b

=cilb

(2)原式=2(2。)+2(6〃)2(3c)+(3)(3。)+(3))(4Z?)+(3)(2c)

=(4a+12/?6))+9a!2/7+6c

=(4+9)a+(1212)b+(6+6)c

=13。

【總結(jié)升華】向量的線性運(yùn)算與多項式的運(yùn)算相類似.

【答案】

【答案與解析】

【總結(jié)升華】平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時兼顧到向量的性質(zhì).

【變式3］設(shè)無為未知向量，a>h為己如向量，

解方程：2x-(5?+3x-4Z?)+—rz-3/?=01?

2

【答案】

解：原方程可化為：(2x-3x)+(-5?+—^)+(4-3/?)=0,

2

【例4】已知向量。和向量b,求作向量。28.

【答案與解析】

即區(qū)4即為所求.

【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是向量加法，減法及數(shù)乘運(yùn)算法則，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【變式1】已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，則向量2+1）表（）.

A.向東南航行&kniB.向東南航行2kmC.向東北航行2kmD.向東北航行2km

【答案】A

【例5】如圖，己知ABmCD,AD與BC相交于點(diǎn)0,且姻=2

CD3

（1）求盛的值.

AD

（2）如果A0二z，請用a表示DA.

【答案與解析】

解.：（1）BAB0CD,

00AOB00DOC,

g]AC__AB__2^

ODCD3

q；

AD5

(2)由(1)知，AD=-AO,

【總結(jié)升華】此題考行了、F面向量的知識以及相似二角形的判定與性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【變式1】如圖，在13ABe中，記靛二W，菽二E，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則

AP=（用向量W、E來表示）

【答案】理+與

22

提不：0AB-a*AC=b?

0BC=AC-AB=b-a，

回點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),

加電己丁泰，

222

0AP=AB+BF=a+9b-,@=悔a+-^b.

2222

【變式2】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=抽。，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)AD=a，AE=b

（1）填空：BM=，MA=（結(jié)果用W、E表示）

（2）直接在圖中畫出向量2彳%.（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）

AD

BXf

【思路點(diǎn)撥】（1）由在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=,BC，可求得友，然后由點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，

求得麗?再利用三角形法則求解即可求得而；

（2）首先過點(diǎn)A作AE〃CD,交BC于點(diǎn)E,易得四邊形AECD是平行四邊形，即可求得諉=2^，即可

知AE=2a+b-

【答案與解析】

1?—?

解：（1）???在梯形ABCD中,AD〃BC,ADJBC,AE=a?

.*.BC=3AE=3a，

???點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，

??誣,二菽二gW；

22

AKA=-AM=-（標(biāo)+函）=?］；-%

故答案為：Wa，-a-b：

22

（2）過點(diǎn)A作AE〃CD,交BC于點(diǎn)E,

VADZ/BC,

???四邊形AECD是平行四邊形，

**?EC=AD=a，

ABE=BC-EC=2a，

【總結(jié)升華】此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的性質(zhì).注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的

應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

【變式3】如圖，已知點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊AD上，AE=3ED,延長CE到點(diǎn)F,使得EF=CE,

設(shè)就=W，BC=b?試用W、E分別表示向量立和而.

解：（3四邊形ABCD是平行四邊形，

國CD=BA=a，AE=BOb，

0AE=3ED,

/W五二即ED=lAD=lb，

4444

0CE=CD-而工-缶

4

0EF=CE,

團(tuán)EF=CE=a--^b?

4

0AF=AE+EF=-7b+a-

4

【總結(jié)升華】此題考查了平面向量的知識.注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

題型3平面向量定理的應(yīng)用

【答案與解析】

證法二：把已知的向量關(guān)系式看俏關(guān)于。，.的方程，得向量組：

【總結(jié)升華】已知條件是兩個向量的關(guān)系式，其中有三個向量.為判斷。與b是否平行，?種思路是利用已

知兩個向量的關(guān)系式，消去c,找到。與方之間的美系式；另一種思路是把這兩個向量的關(guān)系式看作關(guān)于

。、〃的向量方程，通過解由它們組成的向量方程組，可將這兩個向量用c表示出來.

【變式1】設(shè)兩非零向量q和與不共線，

【答案與解析】

【總結(jié)升華】當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，可得三點(diǎn)共線；當(dāng)兩向量共線且沒有公共點(diǎn)時，可得兩直線平

行.

【變式2】用向量的方法證明三角形中位線定理.

【答案】

證明：如圖，由E,F分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，得

【總結(jié)升華】這種分解與向量加、減法及數(shù)乘運(yùn)算緊密聯(lián)系，實(shí)際上是這些運(yùn)算的綜合應(yīng)用.

【變式】下列有關(guān)平面向量分解定理的四個命題中，所有正確命題的序號是

①一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合.

【答案】②、③

【解析】

解：根據(jù)平面向量基本定理知：

①一個平面內(nèi)任何一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基底；故錯誤；

②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；故正確；

③平面向量的基向量只要不共線，也可能互相垂直；故正確；

④一個平面內(nèi)任一非零向量都可哇一地表示成該平面內(nèi)兩個互不平行向量的線性組合.如果是三個不共線

的何量，表示法不唯一，故錯誤.

故答案為：②、③.

【總結(jié)升華】本題考查平面向量基本定理，解題的關(guān)鍵是理解定理，明確概念，可作為基底的兩個向量必不

共線.

題型4綜合應(yīng)用

【答案與解析】

【總結(jié)升華】若證直線AAi與BBi平行，需證向量AA與平行且沒有公共點(diǎn)；若證A、Ai、B、Bi四點(diǎn)共

線，需證向量A4,與區(qū)用平行且有公共點(diǎn).

【答案】

與。共線，

???A、C、D三點(diǎn)共線.

【答案與解析】

C

將⑴（2）（3）相加,得:

【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法

一.選擇題（共1小題）

1.（2021?上海）如圖，在平行四邊形A3CO中，已知丘=Z，AE=b?E為AB中點(diǎn)"則二二芯=（）

A.ECB.CEC.EDD.DE

【分析】根據(jù)相等向量的幾何意義和三角形法則解答.

【解答】解：???立=:，E為AB中點(diǎn),

.'Aa=EB，

2

???四邊形ABCD是平行四邊形，

BC=AD=b?

a+b—EB+BC=EC，

2

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，三角形法則，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)犍是熟練掌握三角形法

則，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共5小題）

2.（2022?上海）如圖所示，在048C。中，AC,BD交于點(diǎn)、O,而=彳，BC=b＞則云=^2a±b_.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分析即可.

【解答】解：因為四邊形人"CD為平行四邊形.

所以而=85，

所以正=權(quán)-0D=BC-BO-0E=-2^+b.

故答案為：-2a+b

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量與平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和平面向量的有關(guān)

知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?上海）如圖，在AABC中，點(diǎn)。，E在邊A8,AC上，2AD=BD,DE//BC,聯(lián)結(jié)OE,設(shè)向量凝

=W，AC=b那么用;，E表示無=_1■三二

Oo

【分析】由三角形法則求得正的值；然后結(jié)合平行線截線段成比例求得線段的長度，健而求得向量

一的值.

【解答】解：在△ABC中，AB=XAC=b則菽=菽-屈=E-Z.

'：2AD=BD,DE//BC,

?DE^AD_AD_1

**BCAD+BDAD+2AD百

：.DE=—BC.

3

???強(qiáng)二前即擊二E-右

333

故答案為：-^-b-a.

33

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和平行線截線段成比例.注意：平面向量既有大小乂有方向.

4.：2020?上海）如圖，AC、8。是平行四邊形A8CQ的對角線，設(shè)立=二，CA=b那么向量而用向量;、

b表小為_2aib_.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則求解即可.

【解答】解：???四邊形A8CD是平行四邊形，

,AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD,

?，?AE=BC=a?

,**CD=CMAE=b+a，

：,BA=CD=b+a，

VBE=BA+AE，

故答案為:2a+b-

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

?？碱}型.

5.（2019?上海）如圖，在正六邊形A8CDE/中，設(shè)或=二，友=%，那么向量菽用向量工、E表示為」二

±b_.

【分析】連接CR利用三角形法則：而=皮+而，求出擊即可.

,/多邊形ABCDEF是正六邊形,

AB//CF,CF=2BA,

?后=2；,

VBF=BC+CF，

BF=2a+b>

故答案為2a+b.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常

考題型.

6.（2018?上海）如圖，已知平行四邊形A8CD,￡是邊3C的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE并延長，與A8的延長線交于

點(diǎn)立設(shè)頁=Z，DC=b那么向量而用向量Z、E表示為

D

衛(wèi)r

ABF

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形DBFC是平行四邊形，則DC=BF,故AF=2AB=

2DC,結(jié)合三角形法則進(jìn)行解答.

【解答】解：如圖，連接8。，F(xiàn)C,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.DC//AB,DC=AB.

：,4DCESAFBE.

乂E是邊BC的中點(diǎn)，

?DE=EC=1

**EFEBT

:.EC=BE,即點(diǎn)E是。尸的中點(diǎn),

???四邊形OBFC是平行四邊形，

:,DC=BF,故A尸=2A8=2OC,

：?DF=DA+AF=DA+2DC=/2b

【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).注意掌握三角

形法則的應(yīng)用是關(guān)鍵.

【方法四】成功評定法

一.選擇題（共8小題）

1.（2023春?松江區(qū)期末）下列等式中不正確的是（）

A.|a+（-a）1=0B.-（-a）=a

C.（a+b）+c=a+（b+C）D.a+（-b）=a~b

【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則作答.

【解答】解：A、|a+（-a）1=0,符合題意；

B、-（-二）=:，不符合題意；

C、（a+b）+c=a+（b+c）?不符合題意；

D、a+（-b）="a-b不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同樣能應(yīng)用于平面向量的計算過程中.

2.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知非零向量工、大和工，下列條件中不能判定W〃三（）

A.a〃c，b〃cB.a=2c，b=cC.a=-5bD.|al=|bl

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：???之〃E，b//o

,?a〃b?

故A能判定7〃E，不符合題意；

**a=2c?b=c?

???2與石方向相同，

:「a〃b，

故B能判定W〃三，不符合題意；

va=-5b

???2與E方向相反,

,?a〃b，

故c能判定不符合題意；

???IZ=IEI不能確定；與E的方向,

???不能判定向量二與向量E平行，

故。不能判定a〃b，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量，掌握向量平行的判定是解題關(guān)鍵.

3.（2023春?寶山區(qū)期末）如圖，矩形A8CD的對角線AC和交于點(diǎn)。，下列選項中錯誤的是（）

A.AD//DCB.AB=-CDC.BO=DOD.C6=0A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A/）〃AC,AB=CD,BO=OD,CO=OA,即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形人8C。是矩形，

:,AD〃BC,AB=CD,BO=OD,CO=OA,

AAD//BC，AB=-CE，而;而，而二不，

?,?選項C錯誤，選項A、B、。正確，

故選:C.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平面向量，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?松江區(qū)一模）已知；、E為非零向量，下列判斷錯誤的是（〉

A.如果二=2三，那么工〃石

B.如果a+b=0,那么a=~b

C.如果lal=lbl，那么a=l^a=-b

D.如果彳為單位向量，且二=2%那么一|=2

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)解答.

【解答】解：4、如果之=2三，那么兩向量是共線向量，則Z//E，故本選項不符合題意.

B、如果之+刀=3,那么兩向量為共線向量，則之=-芯，故本選項不符合題意.

C.Ia|=lbl，只能說明兩個向量的模相等，無法判定方向，故本選項符合題意.

D、根據(jù)向量模的定義如，二|=2|%=2,故本選項不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考杳了平面向最，注意，平面向最既有大小，又有方向.

5.（2022秋?黃浦區(qū)月考）在下列關(guān)于向量的等式中，正確的是（）

A.AB=BC+CAB.AB=CA-BCC.AC=AB+BCD.AB=BC-AC

【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：A、正確的等式為：BA=BC+CA?不符合題意；

B、正確的等式為：AB=AC+CE.不符合題意；

。、AC=AB+BC，符合題意；

D、正確的等式為：AB=AC+CB?不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，屬于基礎(chǔ)題，只需掌握三角形法則即可.

6.（2022秋?徐匯區(qū)期中）下列說法中正確的是（）

A.如果k=0或a=0，那么Aa=0

B.如果:與否勻是單位向量，那么之=%

C.如果彳是單位向量，工的長度為5,那么：=5彳

D.如果〃?、〃為非零賣數(shù)，a為非零向量，那么（m+n）a+，7a

【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【解答】解：如果左=0或a=0，那么ka=O，故4錯誤；

如果工與三均是單位向最，那么lZl=El，故B錯誤；

如果彳是單位向量，之的長度為5,那么訝=5不，故C錯誤；

如果〃八〃為北零實(shí)數(shù)，之為北零向量，那么（，〃十〃）二=，〃彳十〃二，故O正確，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向最，熟練掌握平面向昂:的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）下列判斷正確的是（）

A.a-a=0

B.如果|a|=|bI，那么

C.若向量a與b均為單位向量，那么a=b

D.對于非零向量E,如果Z=k?E（k卉o）,那么之力與

【分析】根據(jù)相等向量，平行向量的定義一一判斷即可.

【解答】解：人、錯誤，兩個向量相減得到的結(jié)果是向量，不是實(shí)數(shù)，故該選項不符合題意；

從錯誤，兩個單位向量，不一定相等，因為方向不一定相同，故該選項不符合題意：

C、錯誤，兩個單位向量不一定相等，因為方向不一定相同，故該選項不符合題意：

D、正確，根據(jù)平行向量的特征判定可得，故該選項符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行向量，相等向量等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相等向量，平行向量的定

義，屬于中考常考題型.

8.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）已知彳=5三，下列說法中，不正確的是（）

A.a=5b=OB.W與E方向相同

C.a//bD.訝=5市

【分析】根據(jù)相等的平面向量的性質(zhì)，即可一一判斷；

【解答】解：???之=5￡,

???Z與石方向相同，：〃%，lal=5|bb

故8、C、。正確，

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是連接相等向量的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共19小題）

1一?,.??

9.（2023?虹口區(qū)一模）計算：2b-y（6a-2b）=^bji3a_.

【分析】先去括號，然后計算加減法.

【解答】解：2刀4（6/2%）

=2b-3a+b

=3b-3a-

故答案為：3b-3a.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同樣能應(yīng)用于向量的計算過程中.

10.（2023?長寧區(qū)一模）如果向量之與單位向量1的方向相反，且|Z|=5，那么用向量彳表示向量:為

=?5彳_.

【分析】根據(jù)平面向量的定義即可解決問題.

【解答】解：???向量之與單位向量Z的方向相反，且|Z1二5，

：?a=-5e-

故答案為：a=~5e-

【點(diǎn)評】本題考看平面向量的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考基礎(chǔ)題.

11.（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果3家27=%，那么7用W、E表示為：-x=_^-b^a_.

乙乙

【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此題即可求得答案.

【解答】解：3a+2x=b，

2x=b-3a，

【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此題的關(guān)

健.

12.（2022秋?嘉定區(qū)期中）長度為；的2倍，且與之是平行向量的向量是2：或-2衣.

【分析】平行向量的方向有兩個：相同或相反.據(jù)此寫出答案.

【解答】解：長度為a的2倍，且與a是平行向量的向量是2a或-2

故答案為：2a或-2a.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，注意要分類討論：平行向量的方向有相同方向和相反方向兩種情況.

13.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）如果向量Z,三，Q滿足關(guān)系式4a-（b-x）=0,那么x=_b-4a_（用

向量a、b表示）.

【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括號、移項，即可求得答案.

I解答】解：4a-（b-x）=0?

4a-b+x=0，

—?—?

x=b-4a-

故答案為：b-4a.

【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程的解

法一樣.

14.（2（）23?松江區(qū)二模）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)七在邊AQ上，且AE=2ED.設(shè)標(biāo)=Z，BC=b

那么BE=i.a±-|b_.（用a、b的式子表示）.

【分析】根據(jù)BE=BA+AE，只要求出AE即可解決問題.

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

；?AB=CD,AB//CD,AD=BC,AD//BC,

***AE=BC=b,

*：AE=2DE,

AAE=-1b，

o

VBE=BMAE，

Q—

***BE=_a+-b-

o

故答案為：?春2日

3

【點(diǎn)評】本題考查平面向最，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則.

15.（2022秋?長寧區(qū)校級期中）在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸是邊CD,8C邊的中點(diǎn)，若標(biāo)=1，AB=b

則EF=Ja~~^~h—.（結(jié)果用a，b表示）

22

【分析】根據(jù)平行四邊形法則得出證，再根據(jù)三角形中位線定理得出上”=￡DB，即可求解.

【解答】解：如圖，連接。8,

VAD=a?AB=b，

:.DB=a-b?

???點(diǎn)E,F是邊CD,BC邊的中點(diǎn)，

乙

??.麗］而右右，

乙乙乙

故答案為：右右.

22

【點(diǎn)評】本題考杳了平面向量，熟練掌握平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵.

16.（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果a+b=2c，2a-b=c?那么用b表小a=_5b_?

【分析】利用加減消元的思想，消去c即可解決問題.

【解答】解：：a+b=2c,2a-b=3c,

???3a+3b=6c，4a-2b=6c，

；?3a+3b=4a-2b，

-1-*

??b=-a?

5

：,a=5b?

故答案為：5b

【點(diǎn)評】本題考杳平面向量，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

17.（2022?金山區(qū)二模）已知在AABC中，4。是中線，設(shè)標(biāo)=W，AC=b?那么向量專用向量W、三表示為

【分析】如圖，延長A。到E,使得。E=A。，連接8E,C￡證明四邊形4BEC是平行四邊形，利用三

角形法則求出毒即可解決問題.

【解答】解：如圖，延長人。到E,使得。E=A。，連接BE,CE.

?；AD=DE,BD=CD,

???四邊形ABEC是平行四邊形,

:.BE—AC—b?

VAE=A^BE=^b?

，年=尹號亭,

故答案為：4-a-Trb-

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，構(gòu)造平行四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型.

18.（2022?楊浦區(qū)二模）在△48C中，點(diǎn)。、E分別在邊A8、4c上，DE//BC,BD=2AD,而=益鎘］，

那么AC=_m+3n_.（用IT、n表示）.

【分析】利用平行線分線段成比例定理求出尿，再根據(jù)菽=語菽求解即可解決問題.

【解答】解：：BO=2A。，

:.AD=—AB.

3

?：DE//BC,

.AD=DE=_1

爭BC'3,

：?BC=3DE.

VDE=n.

.,?菽=3，.

:.AC=AB+BC=in+3n.

故答案是：m+3n.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于

中考?？碱}型.

19.（2023?嘉定區(qū)一模）如圖，已知在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)七在邊A8上，且48=34￡，設(shè)標(biāo)=1，

AD=b，那么CE=_-b—.

o

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AO=8C,AD//BC,從而得出凌=標(biāo)=工，再根據(jù)AB=3AE推出

麗標(biāo)二-句，再根據(jù)三角形運(yùn)算法則即可求解.

33

【解答】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

：?BC=AD=b，

*：AB=3AE,

9

???8E=5AB，

O

—?9-?2T

???BE:*AB=Wa，

Oo

ACE=BE-BC=&

-b-

3

故答案為：一^~a-b

3

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平面向量三角形運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?普陀區(qū)二模）如圖，AD//BC,AC、BO交于點(diǎn)。，B0=20D,設(shè)標(biāo)=二，AB=b＞那么向量枳

用向量a、b表示為

【分析】由題意可得△AOQs/\co8,即可得地■旦旦":^-二，則前2'正，菽=21，

BC0CBO20D23

AC=AB+BC=b+2進(jìn)而可得答案.

【解答】解：二飛?！?^,

/.ZADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO,

???AAOD^ACOB,

?皿二AO二0D二0D二1

**BC=0C=BO=20D^2

AOC=2AO.

.五4記

o

VAD=X

BC=2a，

,?*AB=b?

***AC=AB+BC=b+2a，

—??——4—?—

'OC^y(b+2a)=ya+yb-

故答案為：-|-a+|-b-

【點(diǎn)評】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則、相似三角形的

判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.（2023?長寧區(qū)二模）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AD=^BC,對角線AC與8。交于點(diǎn)。，設(shè)

2

AD=a，CO=b，那么AB=—L-|-b-2a_-（結(jié)果用a、E表示）

【分析】由48〃CQ,即可證得△AOOS^OBC,又由即可求得CB與AU，即可求得AB.

2

【解答】解：???AD〃8C,AD=-^BC,

2

二AAOD^AOBC,

.ADAO1

??''二I=?,

BCCO2

?**CB=-2a?AO=*b.

AAB=AC+CB

=AO+OC+CB

3--

=?qb-2a，

故答案為：?日-27?

【點(diǎn)評】本題考杳向量的知識與相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意向量是

有方向的是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在△48C中，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，且40：DC=2：1.設(shè)而=7，BC=

【分析】由題意可得正=。;，則而N■正=與工；，再根據(jù)麗=以+標(biāo)可得答案.

333

【解答】解：二第=二,BC=b，

?**AC=b-a，

VAD：DC=2：1,

—?9—?9-?9f

；,AD^7AC=-z-b-a?

ooo

—?—?—?-2f9->9-?1-

??BD=BA+AD—a+yb-^ya="b+ya-

故答案為:

【點(diǎn)評】本題考查平面向最，熟練掌握三角形法則是解答本題的關(guān)鍵.

23.（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平行四邊形"CO中，8。為對?角線，E是邊。。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)如果

【分析】在△A3。中利用三角形法則求得標(biāo)：然后利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)推知灰：最

后在ABO石中，再一次利用三角形法則求解即可.

【解答】解：:說而晶

:.AE=AE-BD=a-b-

在平行四邊形A3c。中，AI3=DC^.AB//DC.

：,DC=AB=a~b-

YE是邊。。的中點(diǎn),

；?DE=[DC=!(a-b)?

22

:.BE=B&-DE=b+-1(a-b)弓展

故答案為：ya-^-b-

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面向量.解題時，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平

行和三角形法則.

24.（2023?浦東新區(qū)模擬）在△A8C中，點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)，AB=^AC=b.那么標(biāo)=_￡工;±&

（用a、b表示）.

【分析】延長A。到E,使得Z）E=A。，連接首先證明47=BE,AC//BE,利用三角形法則求出強(qiáng)

即可解決問題；

【解答】解：延長AO到&使得OK=AO,連接

'：AD=DE,NADC=NBDE,CD=DB,

:.△ADgAEDB,

:?AC=BE,ZC=ZEBD,

:.BE"AC,

***BE=AC=b，

：?AE=AB+BE=a+b，

***AE=2（a+b），

2

故答案為AD=」（a+b）.

2

【點(diǎn)評】本題考查平面向量、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、三角形法則等知識，解題的關(guān)

涯是學(xué)會倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

25.（2023?崇明區(qū)二模）如圖，在梯形A8C。中，AD//BC,BC=2AD,設(shè)旋=彳，標(biāo)=總那么向量'而

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后過點(diǎn)。作。石〃AB,交BC于點(diǎn)E,易得四邊形A8CO是平行四

邊形，則可求得強(qiáng)與它，再利用三角形法則求解即可求得答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作。七〃/W,交BC于點(diǎn)、E,

■:XDHBC,

:.四邊形ABCD是平行四邊形，

/.BE=AD,DE=AB,

'：BC=2AD,

**?AD=EC?

,**AB=a，AD=b?

??DE=AB—a?EC=AE=b?

CD=-DC=-<DE+EC）=-a-b.

【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的判定與性質(zhì).注意結(jié)合題意畫出圖形，利用圖形

求解是關(guān)鍵.

26.（2022秋?普陀區(qū)期中）如圖，將等邊△ABC分割成9個全等的小等邊三角形，點(diǎn)。是其中一個小等邊

三角形的頂點(diǎn)，設(shè)AB=a，BC=b，那么向量BD=_z_—a±-b.（用向量a、E表示）

33―

A

【分析】根據(jù)查=菽+應(yīng)，求解即可.

【解答】解：???CA=CB+BA=?b-a，CD=-^AC,

3

9TT、

CD=—（z-b-a）?

3

ABD=BC+CD=^1（-b-a）=-蕓+與，

333

故答案為：-■^■a+J"b，

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，三角形法則，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則解

決問題，屬于中考?？碱}型.

27.（2022秋?黃浦區(qū)月考）如圖，8D是△48C中線，瓦=工，BC=b那么而用向量;、E表示為