專題5.3平面向量基本定理及坐標表示重難點題型精講

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1.平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果3,3是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量：，有且只有一對實數%,

（2）定理的實質

由平面向量基本定理知，可將任一向量［在給出基底后，3｝的條件下進行分解——平面內的任一向量

都可以用平面內任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質.

2.平面向量的正交分解及坐標表示

（1）正交分解

不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量

作正交分解.

（2）向量的坐標表示

如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、），軸方向相同的兩個單位向量分別為；，y,取［；,1｝作為基

底.對于平面內的任意一個向量1由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數X,卜使得這樣,

平面內的任一向量：都可由x,y唯一確定，我們把有序數對。，y）叫做向量）的坐標，記作：=（x,y）①.其中x

叫做。在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，①叫做向量。的坐標表示.

顯然，z=（i,o）,J=（OJ）,6=（o.o）.

（3）點的坐標與向量的坐標的關系

表示形向置a=（）,1）中間用等號連接，而點4（x.y）中可沒有

式不同

區(qū)點4（*.＞）的坐標（X」）表示點A在平面直角生標系中

別意義的位置M=（?,））的坐悚（X.）既表示句置的大小.也

不同表示向是的方向.另外，（x.y）既可以表示點.也可以表

示向黃,敘述時應指明點（X,，）或向黃（x.＞）.

向餐的坐標與其終點的坐標不一定相同.當平直向黃的

聯(lián)系

起點在原點時,平面向星的坐悚與向量終點的里耳相同.

3.平面向量線性運算的坐標表示

⑴兩個向量和（差）的坐標表示

由于向量a=3,y），6=（必J2）等價于。=%/+乂J，及/，ffiVka=（^i+y[j）+（x2i+y2j）=（X|+x2）

，■+3+?2）./，即a+1=（M+M，凹）.同理可得aZ=（Xyx2,y}y2）.

這就是說，兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）.

（2）向量數乘的坐標表示

由a=（xty）f可得a=xi+yj?則2a=2{xi+yj）=Xxi+）.yj?即Aa=（Ax,2>'）.

這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.

4.平面向量數量積的坐標表示

（1）平面向量數量積的坐標表示

由于向量。二（為,凹）,6=（必,無）等價于4=型+弘/，b=x2i^y2J所以。?6=（取+4）>（12，+（/）=閑

?,?->->?4>??->->__->->

Mi+為尸2>。+乂必八，+必上_/?又Ti=l，j?j=l，i?j=j?i=3所以。2=汨必+%丁2.

這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.

（2）平面向量長度（模）的坐標表示

其含義是：向量：的長度（模）等于句量：的橫、縱坐標平方和的算術平方根.

如果表示向量：的有向線段的起點和終點的坐標分別為（M,y）,。2,竺），那么4=（X2%,歹2必），I。仁

5.平面向量位置關系的坐標表示

（1）共線的坐標表示

①兩向量共線的坐標表示

設a=（M，M）,1=（MJ2），其中6和.我們知道，a,b共線的充要條件是存在實數2,使。=入6.如果用

②二點共線的坐標表示

若A（XQI）,8（x2,n），C（43,為）三點共線,則有48=28C,

從而（必M,必y\）=2（為x2,丫3及），即*2M）（乃、2）=（必M）（力M），

或由就=yBC得到（占M）（外^2）=（x3x2）（y3yi）.

由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.

（2）夾角的坐標表示

（3）垂直的坐標表示

即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0.

儲*音一更三

【題型1用基底表示向量】

【方法點撥】

用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基底

表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.

【例1】(2022?黑龍江?高二開學考試)如果｛瓦瓦｝表示平面內所有向量的?個基底，那么下列四組向量，不

能作為一個基底的是()

A.五，石*+^B.瓦*一2司，福一2否*

C.五一2筱,4互一2瓦D.瓦+紅,瓦一瓦

【解題思路】根據平面基底的定義和判定，逐項判定，即可求解.

【解答過程】根據平面基底的定義知，向量瓦，筱為不共線非零向量，即不存在實數人使得瓦=2五,

對干A中，向量瓦和藥+石，不存在實數九使得孩=2(右*+5)，可以作為一個基地；

對于B中，向審瓦一2瓦和瓦一2百，假設存在實數九使得瓦-2五=入叵一2瓦)，

可得二？，此時方程組無解，所以瓦-2石和筱-2可可以作為基底；

對于C中，向量瓦*一2部和4孩一2%，假設存在實數人使得5-2蒜=4(4/-2瓦》

可得解得2=一5所以西-2瓦和4匹-2瓦不可以作為基底：

對于D中，向量瓦+瓦和五一五，假設存在實數九使得瓦+孩=”瓦-的，

可得｛：二，入，此時方程組無解，所以國+瓦和西-瓦可以作為基底；

故選：C.

【變式II】(2022.全國?高一課時練習)設｛瓦，瓦｝是平面內的一個基底，則下面的四組向最不能作為基底的

是()

A.瓦+瓦和可一瓦B.瓦*和可+石

C.京*+3/和石+3百D.35一2五和4瓦一65

【解題思路】根據向量是否成倍數關系可判斷是否共線，即可確定是否可作為基底向量.

【解答過程】?砥,4是平面內的一組基底，平瓦,與不共線，而4五-6程=-2(3/一2函,

則根據向量共線定理可得，(4筱-6部)與(3瓦-2的共線，根據基底的定義可知，選項D不符合題意.

其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.

故選:D.

【變式12](2022?甘肅慶陽?高一期末)下列各組向量中,不能作為平面的基底的是()

A.瓦=(2,-1)，瓦=(1,-2)B.西=(4,-2),^=(-2,1)

C.可=(3,3),石=(-1,1)D.西=(2,3),e；=(-1,3)

【解題思路】根據基底的定義分別判斷各個選項即可得出答案.

A.-B.-C.-D.-

3556

【解題思路】根據。為BC中點，得到彳b而+：而，因為B,P,E三點共線，推導出而=。而+6荏，

則a+b=l,結合質=4而，在=2元得到而=玄，從而得到？====*,又Q+b=l,求

3A3AA23A2

出",

【解答過程】因為。為BC中點，所以而=：而+：尼，

因為荏=2前，所以荏=|前，

因為8,P,E三點共線，所以設喬=7幾屈（mHO）,

即Q-荏=7九（荏-麗），整理得：AP=—AE+—AB,

令a=二一,》=旦，則而=a而+b荏，則a+b=l,

1+ml+m

其中而=a通+而，

?5

因為而=/I而，所以a而=。而+?而，

故而二觀+病,

AJA

因為彳5=-AB+-AC,

22

所%=；塔=5又a+b=L

解得：A=l，

故選:C.

【變式21］（2022?廣東深圳商三階段練習）在平行四邊形ABC。卞，點E在邊4。上，點F在邊CD上，且4E=

=4D,=點G為線段EF的中點，記瓦5=或無=元，則庶=()

A.-rn+-nB.-fri+-n

6333

C.-m+-nD.-m4--n

3336

【解題思路】選擇瓦5=沆，尻=亢作為基底，根據向量的加減運算即可求得答案.

【解答過程】由題意可知CF=^CD,即荏=［而，CF=^CD,

11__1_121

=BA+-AD+-（ED+DF＞）=BA+-BC+-（-AD--FA）

?D乙?乙&D

=BA+-BC+-BC--BA=-BA+-BC

33663

一，2-

=-5m+-n,

0o

故選：A.

【變式22］（2022.河南.高三階段練習（文））在中，。為邊的中點，E在邊力。上，且EC=24E,AD

與BE交于點F,若而=2荏+山斤，則入+〃=（）

【解題思路】根據三點共線的結論：48,C三點共線，則函=入用+〃說,;l+〃=1,結合平面向量基本定

理.、向量的線性運算求解.

【解答過程】以由，正｝為基底向量，則有:

,:B,E,尸三點共線，則而=xAB4-(1-x)AE=xAB+1(1—xjAC,

又???4居D三點共線，且D為邊BC的中點，則而=丫而=］而+］而，

x=-yx=-

.42i，解得1

匕（17）=1\y=l

即/=工通+市.

44

VCF=AF-AC=（海+河）-AC=海-萍,

??/=：,〃=-：,則a+〃=一：.

44N

故選:A.

【變式23](2022?全國?高三專題練習)在△/BC中，Q,七分別是線段相,8C上的點，且力D=3DB，BE=加,

若說=xH8+yAC,則%+y=()

A.；B,C.D.；

【解題思路】根據已知條件結合平面向量基本定理將屁用而，而表示，從而可求出％y的值，進而可求得％+

y-

【解答過程】因為AD=3DB,BE=lBC,

所以而=2而，BE=-~BC,

43

所以反=~DB+~BE=-~AB+-~BC=-AB+-(AC-AB)=--AB+-AC=x-AB+yAC,

4343、71237

所以％=—TT，y=|>

所以％+y=一5+|=(.

故選:A.

【題型3平面向量的坐標運算】

【方法點撥】

⑴向量的線性運算的坐標表示主要是利用加、減、數乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，

則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外解題過程中要注意方程思想的運用.

⑵利用向量線性運算的坐標表示解題，主要根據相等向量的坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解.

【例3】(2023?廣東?高三學業(yè)考試)已知向量d=(l,—2),S=(3,5).則2&+5=()

A.(4,3)B.(5,1)

C.(5,3)D.(7,8)

【解題思路】根據向量的坐標運算即得.

【解答過程】???6二(1,一2),3=(3,5),

.\2a+b=2(1,-2)+(3,5)=(5,1).

故選：B.

【變式31】(2022?北京?高二階段練習)已知M(5,-1,2),4(4,2,-1),。為坐標原點，若麗=而，則點8

的坐標應為()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

【解題思路】根據向量的坐標運算即可求解?.

［解答過程J而=(5",2),所以麗=(5廣1,2),而=成+荏=(4,2,?1)+(5,-1,2)=(9,1,1),

所以3(9,1,1),

故選：B.

【變式32】(2022?廣東?高一階段練習)已知向量五=(2,1),b=(1,-1),則五+B=()

A.(3,0)B.(3,1)C.(-1,2)D.(1,2)

【解題思路】根據平面向量加法的坐標表示公式進行求解即可.

【解答過程】因為6=(2,1),5=(1,-1),

所以6+5=(2+1,1-1)=(3,0),

故選：A.

【變式33］(2022?全國?高三專題練習)已知向量d=(1,1),3=(-1,1),c=(4,2),若工=兄+力，人

"￡R,則2+"=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】由題意，根據平面向量加法的坐標表示，可列方程，可得答案.

【解答過程】由"府+證,則(4,2)=2(1,1)+“(一1,1),即［二曰，解得

故幺+〃=2,

故選:D.

【題型4向量共線、垂直的坐標表示的應用】

【方法點撥】

向量共線、垂直的坐標表示的應月有兩類：一是判斷向量的共線(平行)、垂直；二是根據向量共線、垂

直來求參數的值：根據題目條件，結合具體問題進行求解即可.

【例4】(2022?山東?高三階段練習)已知向量6=b=(-3,2),c=(1,1),則()

A.di/bB.(d+SllcC.d+b=cD.c=5a-3b

【解題思路】根據向量加減法、向量垂直和平行的坐標表示依次驗證各個選項即可.

【解答過程】對于A,?.?2x2w［一1)x(-3),3不平行，A錯誤：

對于B,B=(一1,1),二(五+?才=-1x1+1x1=0,.,.伍+3)1乙B正確；

對于C,d4-b=(-1,1)*c,C錯誤；

對于D,5a-3b=(10,-5)-(-9,6)=(19,-11)D錯誤.

故選：B.

【變式41】(2022.廣東.高三學業(yè)考試)已知向量2=(2,1)石=(%,—2),若五〃丸則3+1=()

A.(2,1)B.(2,1)C.(3,1)D,(3,1)

【解題思路】由五〃式利用向量共線的坐標運算解得-再利用向量和的坐標運算求d+B.

【解答過程】解：因為由/譏

所以2x(-2)=%,解得x=-4.

所以d+b=(2,1)+(—4,-2)=(-2,-1).

故選:A.

【變式42】(2022?北京?高二階段練習)己知平面向量3=(-1,2),S=(3,-l),c=(t,t).若伍+刃II1則及()

A-1C.】D.￡

【解題思路】先求出d+3的坐標，再由(d+1)||5列方程可求出亡的值.

【解答過程】因為答(-1,2),c=(tt),

所Ud+c=(-l+t,2+t),

因為正(五+式II3,

所以；=一,解得t=-J,

3-14

故選:C.

【變式43】(2022.甘肅.高三階段練習(文))已知向量a=(-l,3),5=(2,1),c=ka+b,若紅口則k=()

A.-5B.C.5D.1

【解題思路】首先求出而勺坐標，再由石J■冷可得。1=(),根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.

【解答過程】解:因為3=(-1,3),b=(2,1),所以F=kG+b=(2-k,3A+l).

因為族J_3所以?Y=2x(2-k)+3計1=0,解得A=-5.

故選：A.

【題型5向量坐標運算與平面幾何的交匯】

【方法點撥】

利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關的幾何問題，其解題的關鍵在于把其他語言轉化為向

量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐

標系，借助向量的坐標運算轉化為代數問題來解決.

[例5](2022?黑龍江?高三階段練習)如圖所示，梯形中，4B〃CD,且何=2AD=2CD=2CB=2,

點P在線段上運動，若而=無而+y而，則/+y2的最小值為()

D空

2=2x+

【解題思路】利用坐標法，設而=4就,(04/1W1),可得｛%g，進而可得/+/=

-A=-y

227

(I-1A)2+A2,然后利用二次函數的性質即得.

【解答過程】如圖建立平面直角坐標系,

則4(0,0),8(2,0),*片),。或務

，初=(2,0),AD=G，?)屈=(一消)，

設麗=痂,(0W/lw1),麗=痂=2(-渭)，

?,?而=AB+BP=(2-1A,yA),

又而=xAB+yAD=x(2,0)+y(py)=(2x+],當y),

2--A=2x+-yZ

.f22

?T6]6'

TA=vy

解得》=1-\^,y=A,

:,尸+y2=(1—1A)2+A2=.矛—a+1=—1)2+^>p

即f+外的最小值為《

故選:B.

【變式51](2022?全國?高一課時練習)如圖，在直角梯形AOCO中，AD//CD,^DAD=90°,AD=AD=4,

CD=1,動點P在邊BC上，且滿足麗=小肉+幾而Cm,〃均為正數)，則工+2■的最小值為()

mn

A.1B.-C.--D.

444

【解題思路】以A為原點，48所在直線為x軸，力。所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據向量的坐標

表示而可得m+：7i=1,再根據基本不等式求得工+工的最小值即可.

4mn

【解答過程】如圖，以A為原點，48所在直線為x軸，4D所在直線為），軸建立平面直角坐標系，

則4(0,0),8(4,0),"(0,4),C(l,4),

則通=(4,0),AD=(0,4),~BC=(-3,4),

設麗=ABC=(-32,42)(2GR),

則而=AB+BP=(4-3A,4A).

因為麗=mAB+nAD=(4?n,4n),

所以F二y[加，消去九得m+/=l,

t4A=4n4

因為m>0,n>0,所以L+!=(m+七九)+2)=1+牝+%+。NZ+2

mn\4/\mn/4mn44yj4mn4

當且僅當m=乎71時等號成立.

故工+2的最小值為乎.

mn4

故選：D.

【變式52](2022?全國?高一)在△力8c中，角力、8、C所對的邊分別為a、b、c,a=6=5,c=8,/是△4BC

內切圓的圓心，若箭=%35+y無，則x+y的值為()

A.空B.8C.?D.丫

33218

【解題思路】計算出的內切圓半徑，以直線為工軸，4B的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，

利用平面向量的坐標運算可求得心y的值，即可得解.

【解答過程】；a=b=5,c=8,所以，△71BC內切圓的圓心/在48邊高線OC上(也是48邊上的中線)，

...OA=OB=4,OC=>JBC2-OB2=V52-42=3,

以48直線為%軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，

則4(-4,0)、B(4,0)、C(0,3),

設A/18C的內切圓的半徑為r,根據等面積法可得：|aOC=1(a+b+c)r,

解得丁=5^=%即點/(0彳)，則而=(8,0)，AC=(4,3),萬=(4,》

(8x+4y=4；則、+y=得

因為萬二無而+y元，則3y=l，解得

故選:D.

【變式53】(2022.新疆?高三階段練習(文))在正方形A8CO中，M是3c的中點.若配=入赤+〃前,

則;!+〃的值為()

A.-B.-C.-D.2

338

【解題思路】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求解作答.

【解答過程】在正方形A儀;。中，以點A為原點，直線人從分別為x,y軸建立平面直角坐標系，如圖,

令|AB|=2,則8(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC=(2,2),麗=(2,1),筋=(-2,2),

入麗+〃麗=(24-2%/1+2〃)，因尼=4麗+〃前，

于是得2T二3解得2=/入+〃=：

I71十乙〃一LJJJ

所以;1+〃的值為:

故選：B.

【題型6向量坐標運算與三角函數的交匯】

【方法點撥】

先運用平面向量的坐標運算的相關知識將問題轉化為與三角函數有關的問題(如化簡、求值、證明等)，再

利用三角函數的相關知識求解即可.

[例6](2022?河南南陽?高一階段練習)己知向量方=(cosx,2sina+x/2sinx),b=(sinx,2coscr—V2cosx).

(1)若五疵,求x+a的值；

(2)若。=函數/(x)=Gi,求/。)的值域.

【解題思路】(1)根據向量平行的坐標運算公式，結合兩角和的余弦公式化簡即可；

(2)根據向量數量積的坐標運算公式，運用三角函數相關知識叱簡原函數后，換元求解即可.

【解答過程】(1)

因為石〃5,

所以cosx(2cosa-V2cosx)=sinx(2sina+V2sinx)?

整理得2(cosxcosa-sinxsina)=>/2(sin2x+cos2x),

所以2cos(%+a)=y/2f

即cos(x+a)=￥，

則％+a=2kn±-,kEZ.

4

(2)

因為a=3

4

所以/'(x)=a-5=sinxcosx+2(1+sinx)(l-cosx)

=-sinxcosx+2(sinx—cosx)+2

=-^[1—(sinx—cosx)2]+2(sinx—cosx)

=-(sinx-cosx)2+2(sinx—cosx)+

22

令t=sinx—cosx,貝比=V2sin(%—：)€[—A/2,V2].

設函數g(t)=1t2+2t+e[-42,y/2],

則C(t)在區(qū)間上單調遞增，

所以g(￡)min=g(-&)=:2或,g(t)max=9(魚)=g+2/，

所以/0)的值域為E-+26].

【變式61](2022?廣西河池?高一階段練習)已知向量麗=(sin仇四河-2sin6),CD=(1,2).

(1)已知。(3,4),求。點坐標：

(2)若麗_L而，求tan。的值.

【解題思路】根據向量坐標的定義即可求解；

根據向量垂直的運算規(guī)則即可求解.

【解答過程】(I)

設。點坐標為(%,y),

因為C(3,4),所以而二(x-3,y-4),

因為而=(1,2),所以解得號；：，

所以。點坐標為(4,6)；

⑵

因為而=(sin0,cos0-2sin0),而=(1,2),且而_L而,

所以sin。+2(cos8—2sin0)=0,

所以2cose=3sine,coseHO,tane=f^=|；

綜上，D(4,6),land=

3

【變式62](2022?浙江?高一期中圮知向量五=(1,V3),5=(m,0),(m<0)]=(2cos。,2sin8),。E[O,TT].

若七五十3與&-3族垂直.

(1)求771的值及五-3與G之間的夾角：

(2)設王=4G+求2+〃的取值范圍.

【解題思路】(1)由gd+B與益一3族垂直，可得66+與?(&-3，)=0,即可求出m的值；設&—B與&之間

的夾角為仇先求出益一族的坐標，再代入8$。=*罌，即可得出答案；

|a-b||a|

(2)將坐標代入i=+可表示出兒〃，再代入a+〃化簡結合三角函數的性質即可得出答案.

【解答過程】(1)由6d+??(,-3為=0化簡得：|a2-^d-S-3b2=0,

因為6=(1,V5),b=(m,0),所以Gi=m,\d\=2,\b\=\m\,

則:x