數(shù)學八年級上冊人教版第十八章分式

18.5分式方程（講義）

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1.理解分式方程的概念，能識別分式方程。

2.掌握解分式方程的基本思路和一般步驟，會解可化為一元一次方程的分

式方程。

3.理解解分式方程時可能產(chǎn)生增根的原因，并會檢驗一個數(shù)是不是分式方

程的增根。

華知便窟險遏宓筑雷窗

知識點一：分式方程的概念

1.定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

O講解：這是分式方程區(qū)別于整式方程的關鍵特征。整式方程的分母中不含有

未知數(shù)，而分式方程的分母中必須含有未知數(shù)。

O舉例：

■下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？

-（1）|=1（整式方程，分母為常數(shù)2,不含未知數(shù)）

■（2）j+2=0（分式方程，分母含有未知數(shù)x）

■（3）等=詈（整式方程，分母為常數(shù)3和4）

■（4）-^―=|（分式方程，分母含有未知數(shù)x）

X-13

知識點二：解分式方程的基本思路

1.基本思路：將分式方程轉化為整式方程。

。講解：因為我們已經(jīng)學過解整式方程（如一元一次方程），所以解分式方程的

核心思想就是“轉化”，通過一定的方法去掉分式方程中的分母，把它變成一個

整式方程來求解。

知識點三：解分式方程的一般步驟

1.去分母（關鍵步驟）；

O方法：方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程。

O講解：最簡公分母是指方程中所有分母的最簡公分母。這樣做的依據(jù)是等式

的基本性質(zhì)：等式兩邊同時乘以同一個不為零的整式，等式仍然成立。

o注意：方程兩邊的每一項都要乘以最簡公分母，不能漏乘不含分母的項。

2.解這個整式方程：

。講解：此時得到的是一個整式方程（通常是一元一次方程），按照解整式方程

的方法求出未知數(shù)的值。

3.檢驗：

。方法：將整式方程的解代入最簡公分母中，如果最簡公分母的值不為0,則

整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解（叫做增

根），原分式方程無解。

。講解：為什么會產(chǎn)生增根？因為在去分母的過程中，我們在方程兩邊同乘了

一個可能為零的整式（當未知數(shù)取某個值時，最簡公分母為零），這就可能導

致方程的解的范圍擴大，從而產(chǎn)生增根。因此，解分式方程必須檢驗。

例題講解（解分式方程的步驟演示）:

?例：解方程-=三

XX4-3

?解：

1.去分母：最簡公分母是x（x+3）。方程兩邊同乘工（%+3）,得：x（x4-3）-

工=%（x+3）?化簡，得：%+3=2%（這是一個整式方程）

2.解這個整式方程：移項，得3=2x-x,即》=3

3.檢驗：當％=3時，最簡公分母%（X+3）=3（3+3）=18W0。所以，%=

3是原分式方程的解。

知識點四：增根的概念

1.增根：在將分式方程化為整式方程的過程中，有時會產(chǎn)生不適合原分式方程的解

（或根），這種根叫做原分式方程的增根。

2.增根產(chǎn)生的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母的值為零，導致整式方程

的解使原分式方程的分母為零，分式無意義。

3.如何檢驗增根：如知識點三第3步所述，將整式方程的解代入最簡公分母，看其是

否為零。

知識點五：列分式方程解應用題的步驟（簡要提及，預習重點在解方程本身）

?（此部分在后續(xù)學習中會重點講解，預習階段可先了解思路）

?與列整式方程解應用題類似，步驟大致為：審、設、歹h解、驗、答。

?注意：這里的“驗''不僅要檢驗解是否為分式方程的增根，還要檢驗解是否符合實際

問題的意義。

0閡源盜息第

i.分式方程定義：分母中含有未知數(shù)的方程。

2.解分式方程的核心思想：轉化思想（分式方程T整式方程）。

3.解分式方程的一般步驟：

o去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，化為整式方程。（注意：每一項都要

乘?。?/p>

o解整式方程：按解整式方程的方法求解。

。檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，若不為。則是原方程的解；若為0

則是增根，原方程無解。

4.增根：去分母后所得整式方程的解，使原分式方程分母為零，這樣的解叫做增根。

解分式方程必須檢驗是否有增根。

如果每小時只安排I名打字員，那么按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務，共需（）。

A.13《小時B.13〉卜時C.1媒小時D.1*小時

oZoZ

6,若關于％的方程"黑=3+2無解，則a的值為（）

X>X

A.一彳或一5B.0或5C.一彳或5D.0或一5

7.某工廠計劃生產(chǎn)210個零件，由于采用新技術，實際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量是原計劃的1.5倍，因

此提前5天完成任務.設原計劃每天生產(chǎn)零件工個，依題意列方程為（）

A210210仁口210210「

x1.5xxx—1.5

「210210_n210，210

C-L54^--=5D.-5-=1.5+—

8.在成都至自貢高速鐵路的修建中，某工程隊要開挖一段長48米的隧道，開工后每天比原計劃多

挖2米，結果提前2天完成任務，若設原計劃每天挖x米，則所列方程正確的是（）

48484848

A.Dn-=

x^2~~xT-^2

C.4848D.相一罵=

x+2~Txx—2

9.已知關于x的分式方程f—4=百-的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（)

%—zz—X

A.-8VkV0B.k>-8月.k^-2

C.k>—8且k于2D.kV4且k工一2

10.下列關于x的方程是分式方程的是（

2+X3+XXXX13

3一D

--C-X

A.56B.237十X5

二、填空題

11.若分式方程與+2=會無解，則m的值為

12.由卜,表數(shù)據(jù)可知，a十力=.

.2

代數(shù)式Xx—1

x+2X

值ab2

13.為美化校園、某校安排甲、乙兩人種植花苗，已知甲種植40棵花苗所用時間是乙種植15棵花

苗所用時間的2倍，…，求甲、乙兩人每小時各種植多少棵花苗，設甲每小時種植x棵花苗，則可得

方程竺二孕交，根據(jù)此情景，即中用“…”衣示的缺失的條件應為.

14.已知關于x的分式方程上二竿一1=二的解是正數(shù)，則〃?的取值范圍是

15.若關于x的分式方程之：=3的解是負數(shù)，則字母m的取值范圍是.

人IX

16.如圖，點A,B在數(shù)軸上，它們所表示的數(shù)分別是-4,⑵，且點力到原點的距離是點8到原點

OXIX

的距離的2倍，則％=.

AB

____I___________I_____I____________、

%+3/

17.若關于x的一元一次不等式組~~4,至少有2個整數(shù)解，且關于y的分式方程三1+

2x-a>2V

達=2有非負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

18.因為新型冠狀病毒引起的新冠肺炎是一種傳染極強，傳播速度極快，死亡率極高的急性感染性

肺炎，所以政府號召市民保護好自己，勤洗手，戴口罩，市場上的口罩被一搶而空，為了緩解一罩

難求的局面，政府要求各口罩生產(chǎn)企業(yè)加大力度生產(chǎn)口罩，我市的某棉紡企業(yè)立即改造了A、B、C

三條生產(chǎn)線，加入到口罩生產(chǎn)的行列，第一周A、B、C三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的口罩數(shù)量之比為6；4：

7；第二周C生產(chǎn)線生產(chǎn)的口罩數(shù)量占第二周三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的口罩總數(shù)量的g,C生產(chǎn)線兩周生

產(chǎn)的口罩數(shù)量占三條生產(chǎn)線兩周生產(chǎn)的口罩總數(shù)量的,而這兩周A生產(chǎn)線生產(chǎn)的口置總量與B

生產(chǎn)線生產(chǎn)的口罩總量之比為24：17,那么B生產(chǎn)線兩周生產(chǎn)的口罩數(shù)量與A、B、C三條生產(chǎn)線

兩周生產(chǎn)口罩總數(shù)量之比為.

19.如圖，△ABC中，AB=AC,點D在BC上，BD=AB,B.Z.CAD=2ZFDE,過E作E/II8C,

EF交AD于點F,若力尸=4,CD=5,5.專會，則DF的長.

三、解答題

20.某校推行“新時代好少年?紅心向黨”主題教育讀書工程建設活動，原計劃投資10000元建設幾間

青少年黨史'讀書吧"，為J'保證"讀書吧''的建設的質(zhì)量，實際每間“讀書吧”的建設費用增加了10%,

實際總投資為15400元，并比原計劃多建設了2間黨史“讀書吧”.

（I）原計劃每間黨史“讀書吧''的建設費用是多少元？

（2）該校實際共建設了多少間青少年黨史“讀書吧”?

2L解分式方程：高一1=磊

22.科學中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學性質(zhì).現(xiàn)將

甲、乙兩種密度分別為P科P乙的液體混合（P伊〈P/）,研究混合物的密度（物體的密度二物體的質(zhì)

量的體積.假設混合前后液體的總體枳不變，令等體積的甲乙兩種液體的混合溶液密度為Pi，等質(zhì)

量的甲乙兩種液體的混合溶液的密度為P2.

（1）請用含。物P乙式子表示Pi；

（2）比較Pi，P2的大小，并通過運算說明理由;

（3）現(xiàn)有密度為1.2g/sn3的鹽水600g,加適量的水（密度為1.0g/c機3）進行稀釋，句：需要加

水多少g,才能使密度為Llg/ctn?的雞蛋懸浮在稀釋后的鹽水中？

23.某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》文件要求,

決定增設籃球，足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球.若購買籃球的數(shù)量是足球的2倍,

購買籃球用r6000兀，購買足球用r2000兀，籃球單價比足球單價貴30兀.

（|）求籃球和足球的單價分別是多少元：

（2）學校計劃采購籃球、足球共60個，并要求籃球多于40個，且總費用低于4900元.那么有

哪幾種購買方案？

24.已知點A（0,y）在y軸正半軸上，以OA為邊作等邊△OAB,其中y是方程西3+4=用

的解.

圖1圖2

<I）求點A的坐標;

（2）如圖1,點P在x軸正半軸上，以AP為邊在第一象限內(nèi)作等邊^(qū)APQ,連QB并延長交x

軸于點C,求證OOBC；

（3）如圖2,若點M為y軸正半軸上一動點，點M在點A的上邊，連MB,以MB為邊在第一

象限內(nèi)作等邊^(qū)MBN,連NA并延長交x軸于點D,當點M運動時，DN-AM的值是否發(fā)生變化？

若不變，求出其值；若變化，求出其變化的范圍.

25.某禮品店從文化用品市場批發(fā)甲、乙、丙三種禮品（每種禮品都有），各禮品的數(shù)量和批發(fā)單價列

表如下：

甲乙丙

數(shù)量（個）m3mn

a(l<m<10)

批發(fā)單價（元）b10

0.8a(m>10)

（I）當m=5時，若這三種禮品共批發(fā)35個，甲禮品的總價不低于丙禮品的總價，求a的最小

值.

（2）已知該店用1320元批發(fā)了這三種禮品,且a=5b.

①當M=25時，若批發(fā)這三種禮品的平均單價為11元/個，求b的值.

②當7VmV20時，若該店批發(fā)了20個丙禮品，且a為正整數(shù)，求a的值.

參考答案

1.B

2.A

3.C

4.D

5.C

6.A

7.A

8.B

9.B

10.C

11.1

12.0

13.兩人每小時共種植7顆花苗

14.m<4且mH3

15.m>-3,且m#-2.

16.-1

17.4

18.17：72

19.2

20.(I)2000

(2)7

21.解：方程兩邊都乘以3(%+1)>得：

3x—3(x+1)=2x,

解得：x=—?

經(jīng)檢驗，％=-，是原方程的解.

22.(1)解：由題意得機伊伊，加乙二/。乙,

川機尹Vp甲+Vp乙P甲+P乙

則%=匕〃+17/=1/4-1/2

甲乙

（2）解：設選取的甲、乙兩種溶液的質(zhì)量都是m,則

M伊+血乙_2m2P請乙

/乙西+篤P甲「乙

22

__P，廣P乙2P猛乙_9甲+PD_4p/乙_9甲-P/

P1~p2~-2P甲+P-一-2（p陰+P乙）--2s華+P乙）'

■:P甲<「乙，：?PLPz<0-?-PL<Pz

600+x11

（3）解：設需要加水xg,根據(jù)題意得：萼7=1」

去分母，得：1.1Q+500）=600+%,解這個整式方程，得x=500.

經(jīng)檢驗，x=500是分式方程的解.

答：需要加水500g

23.（1）解：設足球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，

由題意可得：鬻=2x逑，

人I。U人

解得，x=60,

經(jīng)檢驗x=60是所列方程的根，且符合題意，

此時％+30=90.

答：籃球的單價為90元，足球的單價為60元；

（2）解：設采購籃球m個，則采購足球為（60-根）個，

由題意得，90m+60（60-m）<4900,

解得：mV43號，

乂;籃球多于40個，

*'?40<m<43-1，

???m為整數(shù)，

???m的值可為41,42,43

???共有三種購買方案，

方案一：采購籃球41個，采購足球19個；

方案二：采購籃球42個，采購足球18個；

方案三：采購籃球43個，采購足球17個.

1