第11章三角形單元測(cè)試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A.平行四邊形B.三角形C.正方形D.長(zhǎng)方形

2.在△A3C中，NA:ZB：NC=2:3:4,則△ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.形狀無(wú)法確定

3.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和3,則第三邊的長(zhǎng)是（）

A.7B.4C.3D.3或7

4.如圖，在銳角△ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，且CD,BE相交于一點(diǎn)匕

若N4=50°,則N8PC'=（）

A.150°B.130°C.120°D.100°

5.如困，在中，AB=ACtZA=40°,AH的垂直平分線MN交4c于。點(diǎn)，則N

ORC的度數(shù)是（）

6.小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖擺放，其中NC=N/=90°,ZA=45°,

A.180°B.210°C.360°D.270°

7.如困，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下困形，其中NC=90°,

N8=45°,NE=30°,則N8尸。的度數(shù)是（）

8.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.在銳角三角形中，最大的銳角x的取值范圍是60°WxV90°

B.在△ABC中，銳角的個(gè)數(shù)最多

C.在△A3C中三個(gè)內(nèi)角a:p:y=l:3:5,這個(gè)三角形是直角三角形

D.一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)角是銳角

9.如圖，在△48C中，ZBAC=90°,AB=3fAC=4,BC=5tE尸垂直平分BC,點(diǎn)P

為直線￡尸上的任一點(diǎn)，貝比AP+3P的最小值是（）

C

A.3B.4C.5D.6

10.如圖，任意四邊形A8CD中，力。和30相交于點(diǎn)0,把△CQD、△AOD、ZUOB、△

SOC的面積分別記作Si、S2、S3、S4,則下列各式成立的是（)

A.Si+S3=Sz+S4B.S3-S2=S4-Sl

C.S1?S4=S2?SiD.S1?S3=S2?54

二、填空題（共10小題）.

11.在△4〃C中，NA=80°,NB=60°,則NC=度.

12.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

13.如圖，在△ABC中，AO是8c邊上的中線，△A3。的面積為6“序，則△ABC的面積

BDC

14.如國(guó)，。、E、戶分別是△?!〃（？三邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則ND+NE+N"+N1+N2+N3=

度.

15.如圖的△A5C的紙片中，NA=28°,E是AC上的點(diǎn)，將△A5C沿3E對(duì)折，使點(diǎn)A

落在￡處，A'B交EC于點(diǎn)D,再將△5CO沿A'B對(duì)折，使C點(diǎn)恰好落在BE邊上的

C處，此時(shí)NCO"=82°,則中的NC=度.

:'，E

，W

16.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片A6C。沿折疊后，點(diǎn)A落在C&邊上的A'處，點(diǎn)3落

在點(diǎn)夕處，若Nl=50°,則圖中N2的度數(shù)為.

AED

:4

L..￡^1

BF

B'

23.如圖，在中，〃是中點(diǎn)，求證：AM+BM>^（AB+AC）.

乙

24.如圖，60、CO分別平分NA6C和NAC3,

(1)若NA=60度，求NO;

(2)若NA=1()0°,120°,NO又是多少？

（3）由（1）、（2）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)NA的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？

（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）

25.已知，在△A3C中，NBVNC,AE為角平分線.

（1）如圖1,過(guò)4點(diǎn)作于O,若NB=x°,ZC=y°,請(qǐng)用含x,j的式子表

示NE4O的度數(shù)；

（2）如圖2,點(diǎn)尸是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)尸作尸&J_8C（或C8的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)O,

試探究NOEE,NB,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

26.已知△4BC的面積是60,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:

（1）如圖1,若A。是△ABC的〃C邊上的中線，則〃。的面積△AC。的面

積（填“V"或“=”）

（2）如圖2,若C。、分別是△A5C的A〃、AC邊上的中線，求四邊形AOOE的面

積可以用如下方法：連接AO,由AO=O5得："eo=Swo,同理：&CEO=S?￡O,

設(shè)SA1OO=X,SACEO=J,貝USa8/)o=x,SA4EO=_y由題意得：SZU8E=~^SA48C=30,S^ADC

乙

<

可列方程組為：，2x+y=30

=2SUBC=30,解得,通過(guò)解這個(gè)方程組可得

x+2y=30y

四邊形AOOE的面積為

(3)如圖3,AD:DB=\：3,CE:AE=1:2,請(qǐng)你計(jì)算四邊形ADOE的面積，并說(shuō)

27.(1)如圖1,AP,3P分別平分NCAO,NCBO,則有/P=[■(NC+NO),請(qǐng)說(shuō)明

乙

理由.

(2)如圖2,4尸，8尸分別平分NC4。的補(bǔ)角NC4M和NCRO.請(qǐng)直接寫出NP與NC,

NO的關(guān)系，不必說(shuō)明理由.

圖1圖2

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A.平行四邊形B.三角形C.正方形D.長(zhǎng)方形

解：三角形具有穩(wěn)定性；

故選：B.

2.在△ABC中，ZA:ZB:ZC=2:3:4,則△4AC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.形狀無(wú)法確定

解：ZBzNC=2:3:4,

???設(shè)NA=2x,N〃=3x,ZC=4x,

■:NA+N〃+NC=180°

.,.2x+3x+4x=180°

.,.x=20°

AZA=400,NB=60°,ZC=80°

是銳角三角形

故選：A.

3.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和3,則第三邊的長(zhǎng)是（）

A.7B.4C.3D.3或7

解：①7是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為7、7、3,

能組成三角形，

所以，第三邊為7；

②7是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、7,

???3+3=6V7,

???不能組成三角形，

綜上所述，第三邊為7.

故選：A.

4.如圖，在銳角△A8C'中，C〃，Eb.分別是AC邊上的高，且C。，用fc'相交于一點(diǎn)匕

若N4=50°,M'JZBPC=()

A.150°B.130°C.120°D.100°

解：BEA-ACtCDlABt

：.ZADC=ZAEB=^°,

：.ZBPC=ZDPE=l^°-50°=130°.

故選：B.

5.如圖，在△ABC中,AB=AC,NA=40°,AB的垂直平分線MN交AC于。點(diǎn)，則N

DBC的應(yīng)數(shù)是（)

B.30°D.50°

解：VAB=ACrNA=4O°,

AZABC=4(180°-NA)=5(180°-40°)=70°,

22

???MN垂直平分線AS,

：.AD=BDt

ZABD=ZA=40°,

/.ZDBC=ZABC-ZABD=70°-40°=30°.

故選：B.

6.小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖擺放，其中NC=N/=90°,NA=45°,

NO=30°,則Na+N0等于()

C

D

E

A.180°B.210°C.360°D.270°

解：Za=Zl+ZD,

Zp=Z4+ZF,

:.Za+Zp=Zl+ZD+Z4+ZF

=N2+N/）+N3+N尸

=N2+N3+30°+90°

=210°,

故選：B.

7.如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中NC=90°,

NV=45°,NE=30°,則NbFO的度數(shù)是（）

D.10°

解：???RtZkCDE中，ZC=90°,N￡=30°,

AZRDF=ZC+Z￡=90°+30°=120°,

?.?△BO尸中，，B=45°,ZBDF=120°,

???N8尸0=180°-45°-120°=15°.

故選：A.

8.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.在銳角三角形中，最大的銳角x的取值范圍是60°WxV90°

B.在△ABC中，銳角的個(gè)數(shù)最多

C.在△ABC中三個(gè)內(nèi)角a:p:y=l:3:5,這個(gè)三角形是直角三角形

D.一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)角是銳角

解：A、正確；

8、在△A5C中，至少有2個(gè)銳角，故正確；

C、在△A4C中三個(gè)內(nèi)角a：p：y=l：3:5,則a+0〈Y,y是鈍角，因而是鈍角三角形.故

錯(cuò)誤；

。、一個(gè)三角形中至多有3個(gè)角是銳角，至少有2個(gè)銳角，故正確.

故選：C.

9.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3tAC=4fBC=5tE尸垂直平分BC,點(diǎn)尸

為直線￡尸上的任一點(diǎn)，則AP+8P的最小值是（）

D.6

YE尸是的垂直平分線,

???BP=PC.

：.PA+BP=AP+PC.

工當(dāng)點(diǎn)A,P,C在一條直線上時(shí)，Q4+5尸有最小值，最小值=AC=4.

故選：B.

10.如國(guó)，任意四邊形A5C&中，4c和80相交于點(diǎn)0,把△COO、△405、△

BOC的面積分別記作Si、S2、S3、S4,則下列各式成立的是（）

三?

AR

B.S3-SF4-S1

A.SI+53=S2+S4

C.Si*Sa=Si?S3D.Si*S3=SA

【解答】解：如圖,這點(diǎn)。作OE_LAC于點(diǎn)心

則S1=1CO-DE,,Si=^AO-DE,

.￡L=CO

**s2AO'

同理可證:裝嚕

f

.豆

"ss?'

乙2O

Si*Ss=S??S4.

故選：o.

c

區(qū)

AR

二、填空題(每小題3分，共30分)

11.在△A5。中，NA=80°,N3=60°,則NC=4()度.

解：由于三角形內(nèi)角和為180°,故NA+ZB+ZC=180°,所以NC=180°

+60°)=40°.

12.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.

解：73600+30°=12,

???這個(gè)多邊形為十二邊形,

故答案為：12.

13.如圖，在△48C中，AO是邊上的中線，的面積為6C，〃2,則△A8。的面積

解：二?△ABC中，A0是SC邊上的中線，△A6O的面積為6cm2,

.?.△ABC的面積=6X2=12C62.

故答案為：12.

14.如圖，。、E、尸分別是△ABC三邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則NO+NE+N戶+Nl+N2+/3=

180度.

:.N￡>+NE+NF+Nl+N2+N3=NC4B+NAbC+N4cb=180°.

故填180.

15.如圖的△A3C的紙片中，N4=28°,E是AC上的點(diǎn)，將△A3C沿〃E對(duì)折，使點(diǎn)A

落在/T處，A'B交EC于點(diǎn)O,再將△ACO沿A'B對(duì)折，使C點(diǎn)恰好落在BE邊上的

C'處，此時(shí)NC&8=82°,則△ABC中的NC=72度.

解：如圖，由折疊可得，ZBDC=ZBDC/=82°,ZABE=ZAfBE=NA'BC,

VZBDC是△BOA是外角，

AZDBA=ZBDC-24=82°-28°=54°,

.??NA"E=NA'BE=Z1°,

：.ZABC=3X27°=81°,

.*.ZC=180°-28°-81°=72°,

故答案為：72.

16.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片A3CD沿Ek折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的A'處，點(diǎn)8落

在點(diǎn)〃'處，若Nl=50°,則圖中N2的度數(shù)為110°.

解：設(shè)“朋交"C于點(diǎn)G,如圖所示:

VZ1=5O°,

???NB'G尸=50°,

?.?NB'=N〃=90°,

???N3'FG=40°,

:.ZEFG=ZEFB1-NB，F(xiàn)G=ZEFB'-40°,

?：Z2=/EFIT,

：.ZEFG=Z2-40°,

VZ2+ZEFG=180°,

AZ2+Z2-400=180°,

Z2=U0°.

故答案為：110°.

17.如圖，△ABC中，ZA=15°,AB是定長(zhǎng).點(diǎn)O,￡分別在AB,AC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)

BE,ED.若〃￡+￡O的最小值是2,則46的長(zhǎng)是4.

C

E

1DB

【解答】解；作點(diǎn)〃關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)外,過(guò)8作8尸_LAZT,

：.ZB'AE=ZCAB=15°,

■:BF±AIT,

■:BF即為BE+ED的最小值，

即BF=2f

：.AB=4f

故答案為：4

18.如圖，在中，NC=40°,按圖中虛線將NC剪去后，N1+N2等于220°

ZA+ZB=1800-ZC=140°,

VZA+ZB+Z1+Z2=36O°,

Zl+Z2=360°-140°=220°,

故答案為：220°.

19.當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角0是另一個(gè)內(nèi)角a的,時(shí)，我們稱此三角形為”希望三角形“，

其中角a稱為”希望角如果一個(gè)”希望三角形“中有一個(gè)內(nèi)角為54。，那么這個(gè)”

希望三角形"的”希望角”度數(shù)為54°或84°或魂8°.

解：①54°角是a,見(jiàn)希望角度數(shù)為54°;

②54°角是0,貝i|$=0=54°,

所以，希望角a=108°；

③54°角既不是a也不是0,

則a+p+54°=180°,

所以，a+^a+540=180°,

解得a=84°,

綜上所述，希望角度數(shù)為54°或84°或108°.

故答案為：54°或84°或108°.

20.如圖，在△ABC中，ZA=a.NA8C與NAC&的平分線交于點(diǎn)Ai,得NAi：ZAiBC

與NACO的平分線相交于點(diǎn)A2,得NA2；…；N420193c與NA2019c。的平分線相交于

解：???N43C與N4CD的平分線交于點(diǎn)4,

???NAi=180°-2N/1C&-NAC5-2NA3C

22

=180°--(ZABC+ZA)-(1800-ZA-ZABC)--ZABC

22

1a

同理可得，NA2=WNAI=—亍,

22

a

N42020=202cl?

a

故答案是：于兩?

三、解答題（共40分）

21.如圖，已知鈍角△八5G請(qǐng)你畫出下列圖形:

(1)△A5C的高A&;

(2)ZkABC的角平分線〃E;

(3)△ABC的中線CT.

解：(1)如圖所示，40即為所求;

(2)如國(guó)所示，即為所求；

(3)如圖所示，C尸即為所求.

22.小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10股，向右轉(zhuǎn)36°然后繼續(xù)向前走10小，再向右轉(zhuǎn)36°,他以

同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回到點(diǎn)A時(shí)共走多少來(lái)？若不

能，寫出理由.

解：根據(jù)題意可知，360°+36°=10,

所以他需要轉(zhuǎn)10次才會(huì)回到起點(diǎn)，

它需要經(jīng)過(guò)10X10=10(0〃才能回到原地.

所以小華能回到點(diǎn)A.當(dāng)他走回到點(diǎn)A時(shí)，共走100，〃.

23.如圖，在AA6c中，M是8c中點(diǎn)，求證:AM+BM>—(AV+AC).

2

【解答】證明：?.?M是中點(diǎn),

?：AM+BM>ABtAM+CM>ACf

：.2(AM+BM)>AB+ACt

：.AM+BM>—(AB+AC).

2

24.如圖，BO、CO分別平分NA8C和NACB,

(1)若NA=60度，求NO：

(2)若NA=100°,120°,NO又是多少？

(3)由(1)、(2)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)Z4的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？

解：VBO、CO分別平分NA8C和NAC8,

AZ1=Z2,N3=N4.

(1)???NA=60°,

AZl+Z2+Z3+Z4=120°,

AZl+Z4=60°,

???/0=180°-60°=120°.

(2)若NC=100°,

AZl+Z2+Z3+Z4=80°,

AZl+Z4=40°,

???/0=140°.

若NA=120°,

Zl+Z2+Z3+Z4=60°,

/.Zl+Z4=30°,

AZ(7=150°.

(3)規(guī)律是NO=90°+0.5ZA,當(dāng)NA的度數(shù)發(fā)生變化后，結(jié)論仍成立.

25.已知，在△A3C中，ZB<ZC,A￡為角平分線.

(1)如圖1,過(guò)A點(diǎn)作于&,若N3=x°,ZC=y°,請(qǐng)用含x,y的式子表

示NE4O的度數(shù)；

(2)如困2,點(diǎn)尸是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)尸作尸〃_L8C(或的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)O,

試探究NO產(chǎn)E,NA,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

ZBAE=ZEAC=—ZBAC=—(180°-ZB-ZC)=90°-—(x+y)°,

222

?；AD工BC,

???NAOE=90°,

AZEAD=90°-ZAED=90°-x°-[90°-(r+j)°]=-i(j-x)0.

乙乙

(2)如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AH_L?C于H.

由(1)可知，(NC-N5),

VDF±BC,AH±BCf

：.Z.DFE=ZEAH=—(ZC-NB).

2

26.已知△ABC的面積是60,請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

(1)如圖1,若AD是△ABC的3C邊上的中線，則△480的面積的面

積(填“V”或“=”)

(2)如圖2,若C。、〃后分別是〃。的A8、AC邊上的中線，求四邊形AOO￡的面

積可以用如下方法：連接A。，由40=08得：SMDO=SNDO,同理：S&CEO=S?EO,

設(shè)SzkA/）O=X,S^CEO=y,貝U由題意得：SAABE=~S△4BC=30,SMDC

i2x_^v=30Ix=10

=4SA4BC=3O,可列方程組為：!》解得4,通過(guò)解這個(gè)方程組可

2x+2y=30—ly=10-

得四邊形ADOE的面積為2。.

(3)如圖3,AD:DB=1:3,CE:AE=1:2,請(qǐng)你計(jì)算四邊形4OOE的面積，并說(shuō)

明理由.

DC3

圖1

解：（1）如圖1,過(guò)4作A〃_L3C于〃,

?：AD是AABC的"C邊上的中線，

:?BD=CD,

**?^AABDSAACD="1<D'AH，

.*.SA4BD=SAACD,

故答案為：=

x=10

(2)解方程組得?

y=10r

S^AOD=S^BOD=10,

；?