必考點04全等三角形的性質(zhì)與判定

經(jīng)典必考題

?題型一利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算

★★1、利用全等三角形的性質(zhì)求角度

【例題1】（2021秋?重慶期末）如圖，點七在線段AC上，Nl=56。，則/八上。的大小

為（）

A.34°B.56°C.62°D.68°

【例題2】（2022秋?新羅區(qū)校級月考）如圖，已知△ABCg/XOBE,點。在AC上，BC與DE交于點、P.若

ZABE=160°,N。8c=30。，求NPOC的度數(shù).

★★2、利用全等三角形的性質(zhì)求線段長

【例題3】（2022春?峰城區(qū)期末）如圖，若八ABC出LDEF,BD=22,AE=3,則5E等于（

A.6B.7C.8D.10

【例題4】（2022秋?江油市月考）如圖，點A、。、C、8在同一條直線上，2ADF沼XBCE、ZB=33°,

Nb=27°,BC=5cm,CD=2cm.求：

（1）Z1的度數(shù).

（2）AC的長.

【解題技巧提煉】

?！蛉热切蔚男再|(zhì)

（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等

說明；①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等;

②全等三角形的周長相等，面積相等；

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

(2)關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意：

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對

邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角.

?題型二全等三角形的判定方法

★★1、方法一：“邊邊邊”

【例題5】如圖，。是8C上一點，AB=AD,BC=DE,AC=AE.求證:

(I)△ABC^/XADEx

(2)ZCDE=ZBAD.

【例題6】如圖，點A、D、。、廠在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(I)求證：AABC經(jīng)/\DEF；

(2)若/A=55。，ZB=88°,求NE的度數(shù).

★★2、方法二：“邊角邊”

【例題7】如圖，CE=CD,BC=AC,ZACB=ZDCE=90Q,點E在上.求證：△CDAdCEB.

【例題8】（2022?越秀區(qū)校級開學(xué)）如圖，△45C中，ZABC=45°,AOJ_8c于。，點石在AO上，且

DE=DC.求證：△BDEgAADC.

★★3、方法三：“角邊角”

【例題9】如圖，在aABC和中，AB=AD,NB=ND,Z1=Z2.

求證：^ABC^/XADE.

【例題10](2022?溫州模擬)如圖，以△A3C的兩邊AC,BC為邊分別向外作△AOC和^BEC,使得NBCD

=ZACE,CD=CE,ND=NE.

(1)求證：&ADCdBEC.

(2)若/CAD=60。，ZA/?E=110°,求N4C8的度數(shù).

★★4、方法四：“角角邊”

【例題11(2022秋?鼓樓區(qū)校級月考)如圖，AC//DF,AB=DE,ZD=ZA.求證：BE=CF.

/)

【例題12】（2022春?鋼城區(qū)期末）如圖，N8AC=90。，AO是/84C內(nèi)部一條射線，若44=AC,BEA.AD

于點E,CT_L4。于點尸.求證：

★★5、方法五：“斜邊、直角邊”直角三角形

【例題13］（2021秋?龍巖校級期中）已知：如圖人。為△A8C的高，E為AC上一點8七交,4。于F且有

BF=AC,FD=CD.求證：RtABFD^Rt^ACD.

BDC

【例題14]（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，已知NA=NO=90。，E、尸在線段8c上，與4戶交于

點。，且A8=C。，BE=CF.求證：RtADCE.

【解題技巧提煉】

1、全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS■■兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：4AS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

2、方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若己知兩邊

對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角

的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

?題型三利用三角形全等證明線段或角相等

★★1、利用三角形的全等證明線段線段

【例題15]（2021秋?南昌縣期中）如圖，點B,E,C,廠在一條直線上，AC//DF,BE=CF,Z4=ZD.求

證：AB=DE.

【例題16］（2021?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形48CO中，AB//CD,連接BD,點E在B。上，連

接CE,若N1=N2,AB=ED,求證：DB=CD.

★★2、利用三角形的全等證明角相等

【例題17］（2022?淮安）已知：如圖，點A、。、C、尸在一條直線上，目4Q=CRAB=DE,ZBAC=

ZEDF,求證：ZB=ZE.

【例題18］（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在AA8C和△ADE中，4B=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.

求證：ZABD=ZACE.

A

【解題技巧提煉】

全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是

選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

?題型四利用三角形全等證明兩直線的位置關(guān)系

★★1、證明平行關(guān)系

【例題19】（2022秋?泰山區(qū)校級月考）如圖所示，A8=CQ,BF=DE,E,尸是AC上兩點，且AE=CE請

你判斷與。E的位置關(guān)系，并說明理由.

【例題20］（2022秋?荊州月考）如圖，已知OA=OD,AE=DF.求證:

(1)OB=OC,(2)AB//CD.

★★2、證明垂直關(guān)系

【例題21］如圖，己知RtZkABC中，N4C3=90。，CA=CB,。是AC上一點，E在4c的延長線上，且

AE=BD,50的延長線與4E交于點F.試通過觀察、測量、猜想等方法來探索/""與AE有何特殊的

位置關(guān)系，并說明你猜想的正確性.

【例題22】（2021秋?東安區(qū)校級期中）如圖所示，NACB=NC8O=90。，點E在8c邊上，且CO=AE,

BD=CE.

（1）求證：AC=BC；

（2）求CO和AE的位置關(guān)系并說明理由.

【解題技巧提煉】

先根據(jù)全等三角形的判定方法得出兩個三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)得出兩直線的位置關(guān)系

（平行或垂直）.

?題型五全等三角形的性質(zhì)在圖形變換中的應(yīng)用

★★1、平移變換

【例題23］（2022春?安陸市期中）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將三角形A4C沿A3方向平移2

得到三角形OEF,CH=2,EF=4,下列結(jié)論：?BH//EF-,?AD=BEx③NC=NBHD；④陰影部分

的面積為6.其中正確的結(jié)論的序號是.

★★2、翻折變換

【例題24］如圖，將長方形ARC。沿4E折疊，使點。落在AC邊上的點尸處，如果NR4尸=6。。，那么

ND4E等于（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

★★3、旋轉(zhuǎn)變換

【例題25】（2021秋?新城區(qū)校級期中）如圖所示，將△A8c繞點4旋轉(zhuǎn)之后得△AOE,則下列結(jié)論不正

確的是（）

A.BC=DEB.NE=NCC.NEAC=NBADD.NB=NE

【解題技巧提煉】

根據(jù)把一個圖形進(jìn)行平移或翻折或旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等的，再利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.

?題型六全等三角形的開放探究題

【例題26］（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，已知/C=N8,AC=AD,增加下列條件：

①A8=AE：②BC=ED；③N1=N2；?ZB=ZE.其中能使△A8C出△AED的條件有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【例題27］（2021秋?錢塘區(qū)期末）問題：如圖，在和AQE尸中，B,E,C,尸在同一條直線上,

AB=DE,若■

求證：△ABC^^DEF.

在①4C=O產(chǎn)，②③這三個條件中選擇其中兩個，補(bǔ)充在上面的問題中，并完成

解答.

【解題技巧提煉】

全等三角形中的開放題，主要是根據(jù)全等三角形的判定方法添加適當(dāng)?shù)臈l件證明三角形全等。方法比較靈

活，答案不唯一,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

?題型七利用全等三角形解決實際問題

【例題28】（2022春?榆陽區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的A點處，正對他的S點停有一艘游艇.他想知

道這艘游艇距離他有多遠(yuǎn)，『是他沿堤岸走到電線桿8旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)。點.然

后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時他位于。點.小明測得C,。間的距

離為90”求在A點處小明與游艇的距離.

【例題29］（2022秋?任城區(qū)校級月考）用10塊高度相同長方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻人D、

BE,AD=9cm,BE=21c〃b兩木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC=BC,NACB=90。），

點C在OE上，點A和8分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離.

B

【解題技巧提煉】

全等三角形在實際問題中的應(yīng)用：一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中,

畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

對點變式練

??題型-利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算

1.（2021秋?公安縣期末）如圖，點從C,E在同一條直線上，AABCgABDE,AC=7,CE=2,則?！?/p>

的長為（）

A.2B.5C.7D.9

2.（2021秋?祁江區(qū)期末）如圖，XABCW/XADE,ZDAC=90°,N84E=140。，BC、DE交于點F,則

ZDAB=()

A.25°B.20°C.15°D.30°

3.（2022秋?天門校級月考）點C為8。上一點，△ABCmXCDE,AB=\,DE=2,ZB=110°.

（I）求40的長；（2）求NACE的度數(shù).

??題型二全等三角形的判定方法

4.（2022秋?新羅區(qū)校級月考）給出四組條件①4B=OE,BC=EF,AC=DF；?AB=DE,AC=EF,

NB=NE：③NB=/E,AB=DF,NC=NF；?AB=DE,AC=DF,ZA=ZD.其中，能確定

△ABC和^DEF全等的條件共有（）

A.1mB.2組C.3組D.4組

5.（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）如圖，F(xiàn),C是AO上兩點，且AF=CD,點E,F,G在同一直線上，且4C〃GF,

BC=EF.求證：△ABC^ADEF.

B

G

6.（2021秋?高具期中）如圖,已知點A,B,C,。在同一條直線卜.EALAR,FDLAD,AB=CD,若

用“”L”證明RQ4EC也△口△。/B,需添加什么條件？并寫出你的證明過程.

7.（2021秋?松桃縣期末）如圖①：△A8C中，AC=BC,延長AC到￡,過點E作所_LA8交A3的延長

線于點尸，延長C3到G,過點G作GH_L43交A3的延長線于從且EF=GH.

（I）求證：4AE尸也△BG"；

（2）如圖②，連接EG與F”相交于點。，若A8=4,求?！钡拈L.

??題型三利用三角形全等證明線段或角相等

8.（2020秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，C3為NACE的平分線，F(xiàn)是線段C3上一點，CA=CF,NB=

ZE,延長E尸與線段AC相交于點D.

(I)求證：AB=FE；

(2)若ED_L4C,AB//CE,求/A的度數(shù).

9.如圖，AB=AC,BD=CD.

(1)求證：NB=/C

(2)若NA=2/B,求證：NBDC=4NC.

D

B

??題型四利用三角形全等證明兩直線的位置關(guān)系

10.（2022?仙居縣校級開學(xué)）已知，如圖，點8、F、C、E在同一條直線上，NA=NO,AB//DE,

求證：（1）△48。出△￡>￡：〃；（2）AC//DF.

11、（2021秋?費縣校級月考）如圖，△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,NAO8=NCOO=90°,

AC、8。交于點M.求證：AC與8。的數(shù)量與位置關(guān)系并說明理由；

??題型五全等三角形的性質(zhì)在圖形變換中的應(yīng)用

12.（2020秋?萊州市期木）如圖，AASC沿邊BC所在直線向右平移得到△?！?，下列結(jié)論：

①△ABC絲△￡）￡/：②/DEF=/B；?AC=DF,?EC=CF.正確的有（只填序號）.

AD

B

13.（2021秋?澄邁縣期中）如圖，4ABE和4ACD是AABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的,

若NBAC=140°,則。的度數(shù)為度.

14.如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)至△4QE的位置，使點E落在BC邊上,則對于結(jié)論：①OE=BC?ZEAC

=/D48；③EA平分NOEC；?gDE//AC,則NDEB=60。：其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.2D.1

??題型六全等三角形的開放探究題

15.（2021秋?高淳區(qū)校級月考）如圖，在AABC與△AOC中，已知N84C=NOAC,在不添加任何輔助

線的前提卜，要使△A3C0△AQC,

（1）若以“S4尸為依據(jù)，則需添加一個條件是.

（2）若以"AS"，為依據(jù)，則需添加一個條件是.

（3）若以“AS4”為依據(jù)，則需添加一個條件是.

B

??題型七利用全等三角形解決實際問題

17.（2021秋?上思縣期中）如圖，海岸上有A,8兩個觀測點，點B在點A的正東方向，海島C在觀測

點A的正北方向，海島。在觀測點8的正北方向，如果從觀測點A看海島C,。的視角/CA。與從觀

測點B看海島C,D的視角ZCBD相等，那么海島C到觀測點A與海島D到觀測點B所在海岸的距離

相等，為什么？

18.（2021春?秦都區(qū)期末）如圖，小剛站在河邊的4點處，在河的對面（小剛的正北方向）的B處有一

電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了30步到達(dá)一棵樹。處，接著再向前走了

30步到達(dá)。處，然后他左轉(zhuǎn)90。直行，當(dāng)小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時，他

從。點走了80步到達(dá)￡處.如果小剛一步大約50厘米，估計小剛在點A處時他與電線塔的距離，并

說明理由.

變式綜合練

1.（2022秋?夏津縣校級月考）如圖，點D,E在8C上，且△ABE絲/XACD,對于結(jié)論：?AB=AC,②NB4D

=ZCAE,③BE=CD,@AD=DE,其中正確的個數(shù)是（）

RDE

A.1B.2C.3D.4

2.（2022春?開江縣期末）如圖所示，△EBgADCB,BE的延長線與CD的延長線交于點A,CE與BD

相交于點O.則下列結(jié)論：①AOEBWAODC；?AE=ADX③5。平分NA8C,CE平分/4CB；?OB

=OC,其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（2022春?泰興市期末）如圖，△ABC中，BC=10,點D、E在8C上，DE=4,若

則8E=（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

4.（2022秋?聊城月考）如圖，在△ABC中，/B=NC,BF=CD,BD=CE,ZFDE=a,則下列結(jié)論正

確的是（)

A

A.2a+ZA=180°B.a+NA=90。C.2a+ZA=90°D.a+ZA=180°

5.(2022秋?宜興市月考)如圖，△AOBgZXAOC,點8和點C是對應(yīng)頂點，/0=/。=90。，記NO4。

=a,NABO=B，ZABC=ZACB,當(dāng)8C〃OA時，a與0之間的數(shù)量關(guān)系為()

C.a+p=90°D.a+2P=180°

6.已知A(0,1),8(3,1),C(4,3),如果在平面直角坐標(biāo)系中存在一點。，使得△4班)與△ABC

全等，那么點。的坐標(biāo)為.

7.(2022秋?袁州區(qū)月考)如圖，B,C,。三點在同一條直線上，N5=NQ=90。，△ABC^ACDE,

A8=5,BC=\2,CE=\3.

(1)求△A3C的周長.(2)求△ACE的面積.

8.（2022春?余江區(qū)期末）如圖，A,E,。三點在同一直線上，且△AAC且△D4E.

（I）線段。E,CE,BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）請你猜想aAOE滿足什么條件時，DEHBC,并證明.

9.（2022秋?紅花崗區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABC。