專題4.4三角恒等變換（能力提升卷）

考試時間：120分鐘；滿分：150分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材,

細分題組，精選一年好題，兩年真題，繪基礎，提能力！

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（2023?高一課時練習）已知tana=2,則交"生理=（）

sina-cosa

A.-2B.3C.6D.7

【答案】D

【分析】利用商數(shù)關系化弦為切切可得出答案.

【詳解】因為tana=2,

所以2sina+3cosa_2tana+3_2x2+3_7

sina-cosatana-12-1

故選：D.

2.（2023春?安徽六安?高一六安市裕安區(qū)新安中學?？茧A段練習）sinl6（TcoslO。+cos2（Tsinl（r的值是（）

A.二B.-1C.一更D.叵

2222

【答案】A

【分析】由誘導公式和逆用正弦和角公式求出答案.

【詳解】由誘導公式得到:sinl60°=sin20°,

故sinl60°cosl0°+cos20°sinl0°=sin20°cosl0°+cos20°sinl0c=sin（20°+10°）=sin30°=

故選:A

3.（2023春?廣西柳州?高一統(tǒng)考期末）已知tanx=2,則丁拿的值是（）.

J2coszx-3sin2x-l

】

AA.-Bc.-2Cc.—2Dc.-2

151553

【答案】B

【分析】化簡所求的表達式為正切函數(shù)的表達式，代入求解即可.

■、斗sin2x+2cos2x2sinxcosx+2cos2x-2sin2x

【詳解】丁

；2―cosz5~x-3sFin2~x-7l=-2~cosz7x~-6-si-n-x--c-o--s-x--s-i-n--z-x---c--o-s-i,:x

2sinxcosx+2cos2x-2sinzx2tanx+2-2tanzx2

cos2x_6sinxcosx-sin2xl-6tanx-tan2x15'

故選:B.

4.(2022秋?吉林?高三統(tǒng)考階段練習)若a€[0,;r],且cos2a+3sin2a=1,則sina=()

A.晅B.亞C.回或0D.西或。

10101010

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的關系化簡即可求解.

【詳解】因為cos2a+3sin2a=1,

由二倍角公式可得:cos2a—sin2a+6sinacosa=1=cos2a+sin2a,

化簡整理可得：sina(sina-3cosa)=0,

因為ae[0,TT|,所以sina=0或sina=3cosa,

當sina=3cosa時，由sin?。+co$2。=i可得：sina=^7^.

所以sina=0或sina=等

故選：D.

5.(2023春?海南省直轄縣級單位?高一文昌中學?？计谥?函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值為()

A.5B.1C.；D.3

22

【答案】A

【分析】利用二倍角公式將函數(shù)轉化為關于sin%的二次函數(shù)，令「二4聯(lián)，tW[-1,1],結合二次函數(shù)的性質

計算可得；

【詳解】解：y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx?

令sinx=t,tW[—1,1],則y=—2仔+2t+1=—2(t—J+,/￡[—1/]，

所以當￡=，寸Wax=I，SPsinX=:時ymax=|；

故選：A.

6.(2023?全國?模擬預測)已知Q,0為銳角，tana=cos(a+/?)=-噂，則tan(a-0)的值為()

【答案】B

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關系求出sin(a+￡),tan(a+￡),再由二倍角公式求出tan2a,最后由

tan(a-/?)=tan[2a—(a+0)]計算可得.

【詳解】因為a,/?為銳角且cos(a+6)=—詈，所以+

所以sin(a+B)=J1-cos2(a+/?)=

sin(a+/?)

所以tan(a+/?)=一3,

cos(a+0)

又2

tan2a-tan(a+。)_477

所以tan(a-/?)=tan[2a—(a+-)]=

l+tan2atan(a+/?)241

故選:B

7.(2022秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習)已知2(cosa-sina)sin(0-a)=sinO+cosG,則tan(2a—O')=()

A.-1B.1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)。=8-a+a,代入sine+cos?利用兩角和的正余弦公式展開，與等式的左邊合并整理，逆

用兩角和與差的正余弦公式化簡整理，得到-sin(2a-6>)=cos(2a-8),兩邊同除cos(2a-6)整理即可得

到答案.

【詳解】因為8=8-a+a,

所以sin。+cosO=sin(6—a+a)+cos(G-a+a)

=sin(0—a)cosa+cos(0—a)sina+cos(9—a)cosa—sin(6—a)sina

=(cosa-sina)sin(0—a)+(sina+cosa)cos(0—a)

又因為2(cosa-sina)sin(0-a)=sin。+cosO,

所以(cosa-sina)sin(0-a)=(sina+cosa)cos(0-a),

對等式兩邊去括號，并移項整理得，

cosasin(0-a)-sinacos(0-a)=cosacos(0-a)+sinasin(0-c),

所以sin(6-a-a)=cos[a-(8—a)],

所以sin(6—2a)=cos(2a—8),

即一sin(2a-8)=cos(2a—6),

所以tan(2a—8)=—1.

故選：A.

8.(2023春?四川成都?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=2百sin仔一三)+2cosj,函數(shù)g(x)=/(x)-m在

【答案】ABD

【分析】結合誘導公式及正余弦的和差角公式分別進行化簡，即可求解

【詳解】解：對于A,|sinl50-yCoslS0=sinl5°cos60°-sin60°cosl5°=sin(15°-60°)=sin(-45°)=

故正確；

對于B,sin20°cosl00-cosl60°sinl0°=sin20°cosl0°+cos20°sinl0°=sin(20°+10°)=sin30°=正

確；

對于C,sin-^-x/3cos-^=2(sin7^cos-sincos=2sin(-^-^)=2sin=-V2?錯誤；

對于D,sinl05°=sin(60°+45。)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=—X—+-X—="+四,正確.

'/22224

故選：ABD

10.(2023春?山東淄博?高一校考階段練習)已知。W(OR),sin6?-cos6>=則下列結論正確的是()

A.0G(*)B.tan0

2424

C.s\n20=—D.cos20=—

2525

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的正負判斷角的范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關系和商數(shù)關系，二倍角公式計

算即可.

【詳解】解：已知sin。-cosO=則(sin。—cos0)2=1—2sin?cos。=1—sin2。=—,

525

解得sin20=最C選項正確；

因為6e(0,n),2sin0cos0>0,所以sin。>0,cosd>0,

而sin6_cos?=，，則sin?>cos。，所以6WA選項正確：

由于(sin?+cos0)2=1+sin20=1+=^,則sind+cos3=g

聯(lián)立sinS-cosH=g,解得sin?=g,cos。=|,

則tane="|=jB選項正確；

cosO3

cos20=2cos2?！猯=2x——1=——,D選項錯誤；

故選：ABC.

11.(2022?高一課時練習)設。的終邊在第二象限，則書嗎的值可能為()

cos-sinj

A.1B.1C.2D.2

【答案】AB

【分析】先求得T的范圍，由此進行分類討論，結合二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，化簡求得所

求表達式的值.

【詳解】朋的終邊在第二象限，

回2m+廣e<25+mkb,

喏+；/若+會kez,

2

_Jsin21+cos21-2sin|cos|_J(sinf-cos|)_|sin|-cos||

6~~-o~~-e~~e—-e~~e~'

cosT-sin-cos--sin-cos-sin-cos--sin-

22222222

故當+V2/cn+jk￡Z時，

422

.88、門Vl-sin0sinf-cosf

sm--cos->0,-g—-g=g,g=-1

'/cos--sin-cos--sin-

2222

當2kn+4Vg<2/nr+g,kWZ時，

.e.e

.ee,c“一sin。___cos--sin-

sin--cos-<0,-5—5=—J—-f=1.

￡/cos-sin-cos-sin-

故選：AB

12.(2022秋?四川?高三四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥?已知函數(shù)f(%)=|cos%|+cos2x,則下

列結論中正確的是()

A./Xx)的最小正周期為2B.〃乃在邑與上單調遞增

C./(%)的圖象關于直線％對稱D./'(%)的值域為

【答案】BD

【分析】通過周期函數(shù)的定義求出/(%)的最小正周期即可判斷A,對B選項設t=cosx,利用復合函數(shù)單調

性的判定方法即可判斷，對C舉一組反例即可判斷，對D,通過換元法，分類討論并結合二次函數(shù)值域即可

得到函數(shù)的值域.

［詳解】因為f6)=|cosQ)|+cos26)=-1,

/(0)=2HfC),故A錯誤,

當5WXw§時，令￡=cosxG

2

f(x)=2cos2%—cosx—1,即gQ)=2t2-—l=2(t—，—g

而函數(shù)g(t)=2t2-t-1在卜IQ］上單調遞減，

t=cosx在上單調遞減，因此在K期上單調遞增，故B正確，

因為/(0)=2/6)=一1,

即/(為圖象上的點(0,2)關于直線x對稱點(表2)不在f(x)的圖象上，

故C不正確，

當一1<COSX<0時，令t=cosx,

2

則。(￡)=21_()_￡

此時g(t)w(g(0),g(-i)］，

即g(t)《(-1,2］,

當0<cosx<1時，令t=cosx,

f(?)=2cos2%+cosx-1,

則/；(￡)=2(￡+?￡

則［h(0),MD］，

即MO€［-1,2］,

綜上，/(x)的值城為

故選：BD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(2023春?安徽?高一校聯(lián)考階段練習)若函數(shù)y=2(:。$2(5：+9(3>0)的最小正周期為"則

【答案】1

【分析】利用二倍角的余弦公式和周期公式求解.

【詳解】因為y=2cos2（3X+*）=cos（23無+；）+1,

因為最小正周期為n,所以T=F=TT解得3=1,

2a)

故答案為:1.

14.(2023?全國?高三專題練習)tan42°+tan18°+百tan42，anl8°的值是.

【答案】V3

【分析】由tan60。=tan(18。+42。)==再進行轉化,可得答案.

l-tanl8tan420

【詳解】解：由tan60。=tan(18°+42°)=「丁鬻皿二=0

l-tanl8°tan42°

.?.tanl8°+tan42°=V3(l-tanl8°?tan42°)

tanl8°+tan42°+V3tanl8°?tan42°=V3

故答案為：V3.

15.(2022秋?甘肅定西?高三?？茧A段練習)已知a,/?均為銳角，cosacos/?=3cos(a+￡),則tan(a+3)的最小

值是.

【答案】2V6

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式億簡后由同角三角函數(shù)的基本關系得出tanatan/?=],再由均值不等式求解

即可.

【詳解】因為cosacos/?=3cos(a+0),所以cosacos/?=3cosacos/5—3sinasin/?,

2

所以tanatan/?=1,

由a/均為銳角，.^11(0：+/?)=二3(tana+tan/?)Z6jtanatan/?=2V5,

當且僅當tana=tan/?=￥時，等號成立.

故答案為：2V6

16.(2023?陜西咸陽?陜西咸陽中學?？寄M預測)函數(shù)/(切=cos2x+|cosx|的值域是.

【答案】[一1,2]

【分析】利用二倍角公式表示cos2x,配方，結合|cos出的范圍進行求解.

【詳解】因為/(%)=2cos2%+|cosx|-1=2|cosx|2+|cosx|-1=2(|cosx|+[)2~1

又因為0<|cosx|<1,

所以當|cos%|=0時/(%)取得最小值1,

當IcosH=1時取得最大值2,故/(%)的值域是

故答案為：[-1,2]

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（2023?高一課時練習）己知tana=—；，tan/?=—：，且?<aV乃，—n</?<0??求2a+/7的值.

【答案】?

4

【分析】先用倍角公式求出tan2a,再利用兩角和的公式求tan（2a+0）,最后根據(jù)角的范圍即可確定角的大

【詳解】因為2<a<兀，tana=—2，所以迎VaVzr.

234

因為一yr</?<0,tan/?=—:月,以一彳</?<0.

于是斗<2a+p<2n.

又tan2a=若耍

l-tan^a

所以2a+/?二拳

18.（2023春?廣東深圳?高一?？茧A段練習）已知a,/?為銳角，cosa=cos（a+/?）=-^.

⑴求苦苦％值;

⑵求COS0的值.

【答案】（1）竽

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得sina=殍，再用誘導公式化簡即可求解;

（2）利用余弦的兩角差公式計算即可.

【詳解】(1)因為a為銳角，

所以sina>0,sina=71—cos2a—Jl—(之)=竽，

cos(a+^)cos(a-n)-sina(-cosa)4>/3

-----7—3n\---=----------=sina=——?

sin(a-)cosa7

(2)因為a,6為銳角,所以0Va+/?<n,sin(a+S)>0,

所以cos/?=cos(a4-/?-a)=cos(a+/?)cosa+sin(a4-/?)sina

iii.5V34V3i

=----x-H-----x——=

1471472

19.(2023?全國?高一專題練習)已知sina=|V5,cosG-/?)=彳表，且均為銳角

(1)求sin(2a+2)的值；

6

(2)求a+夕的值.

【答案】(1)也：(2)-7T.

104

【分析】(1)根據(jù)已知求出a,夕的正余弦值，結合二倍角的正弦公式及兩角和的正弦公式即可求解:

(2)根據(jù)a邛均為銳角，得a+/?e(0,yr),利用兩角和的余弦公式即可求解.

【詳解】解:(1)vsina=G(0,^)

V5

:.cosa=—

4

???sin2a=2sinacosa=-

J

93

cos2a=2cos/a—1=--

7TTCTC

???sin(2a4--)=sin2acos-+cosZasin—

666

4V3/3\1

=5XT+(-5)X2

4V3-3

10

(2)vcos(^-sin/?=

兀x

G—

(o,2一z

九Sn

2一JE(°，5)，???a+￡W[0,it)

cos(a4-/?)=cosacosp-sinasin/?

縣V102后3V10

=~sx~ioI-10

V2

-----

???a+/?=-7T.

20.（2023春例川內江?高一威遠中學校?？计谥校┮阎猚osa=（.

/D

（1）求tan（a+：）的值;

（2）若0<0</且cos（a+/?）=—（求sin/7的值.

【答案】（1）一7；（2）喑.

【分析】（1）先根據(jù)平方關系求出sina二，從而得到tana=：,再利用兩角和的正切公式即可求出;

55

（2）由平方關系求出sin（a+0）=再根據(jù)sin/?=sin［（a+2）-a］展開即可求出.

【詳解】⑴因為0<a<￡,cosa=故sina=：,所以tana=：.

4

（,n\tana+11+5?

tan（a+-=--------=—|=-7.

\4/l-tana1--

3

（2）因為OVa0</?<^,所以OVa+AVm

又因為cos（a+夕）=一$所以sin（a+夕）=

sin/?=sin[(a+/?)-a]

=sin(a+6)cosa-cos(a+0)sina

25\2/510

21.(2022秋?廣東汕頭?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)/'(%)=cos2x-2AJ(cosy十cos^)2十(sin獲一sin),xtR.

⑴當4=2時，求函數(shù)/"(%)的最小值；

⑵若函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,自上的最小值是-1，求實數(shù)4的值.

【答案】(1)-7

明

【分析】(1)當4=2時，/(X)=2(|cosx|-Z)2-9,當|COSX|二I時，函數(shù)/'(X)的值最小，求解即可；

(2)由于/'(;<)=2(|cosx|-A)2-2A2-1,分440,0<A<1,2>1三種情況討論，再結合題意，可得

實數(shù);I的值.

【詳解】(1)解：依題意得/(%)=cos2x-2AV2+2cos2x=cos2x-2Ax2|cosx|=cos2x-4A|cosx|

=2(|cosx|)2—4A|cosx|-1=2(|cosx|-A)2—2A2—1

若2=2,則/(%)=2(|cosx|-2)2—9

又xER,所以y=|cos刈的值域為[0,1]

所以當|cosX|=1時，f(x)取得最小值為2x(1-2)2-9=-7

(2)解：G[0,j]BcosxG[0,1]

所以f(%)=2(cosx-A)2-2乃-1

22

當4W0時，/(x)min=2(0-A)-2A-1=-1*-1,所以/IWO,不符合題意

當0VAW1時，/(X)min=-2下一1二一去解得4=1

當2>1時，/(x)=2(1-A)2-2A2-1=-4A+1=-1,得;I=I，不符合題意

min28

綜上所述，實數(shù)a的值為:

22.(2023春?上海奉賢?高一上海市奉賢中學校考期中)已知函數(shù)丫二八%),若存在實數(shù)小、k(m^O),

使得對于定義域內的任意實數(shù)x,均有mf(x)=/(x+k)+f(z-k)成立，則稱函數(shù)/"(%)為“可平衡〃函數(shù);

有序數(shù)對(m,k)稱為函數(shù)/Xx)的“平衡”數(shù)對.

⑴若/(幻=x2,求函數(shù)/(%)的“平衡〃數(shù)對；

⑵若〃?=1,判斷/(切=sin無是否為“可平衡〃函數(shù)，并說明理由：

⑶若mi、m2eR,且(g弓)、(巾2，；)均為函數(shù)/(%)=cos?%(0VxW的"平衡"數(shù)對，求+TH：的取值

范圍.

【答案】(1)(2,0)

⑵是

⑶(1,8]

【分析】(1)根據(jù)“平衡數(shù)對"定義建立方程，根據(jù)恒成立求解即可；

(2)m=1時,判斷是否存在k使等式恒成立，利用三角函數(shù)化簡求解即可；

⑶根據(jù)“平衡數(shù)對”的定義將啊即2用關于m