14.2三角形全等的判定（全等的性質(zhì)和HL綜合）跟蹤練習(xí)

2025?2026學(xué)年上期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)

一、單選題

1.如圖，ECJLBD,垂足為C,A是EC上一一點(diǎn)，且AC=CD,AB=DE.若AC=3.5,BD=9,則

AE的長(zhǎng)為（）

B

A.2B.2.5C.3D.5.5

2.如圖所示，BELAC,CF1AB,若BE=CF,則圖中全等三角形有（）

A

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

3.如圖，在VABC和.COE中，ZACB=/C、瓦）二90。，AB=CD,BC=DE,則下列結(jié)論不一定成

立的是O

d

cEB

A.△ABgACDEB.CE=BE

C.ABiCDD.ZCAB=ZECD

4.如圖，在V/仍C中，A。是8C邊上的高，ZBA￡>=30°,BD=DF,點(diǎn)、E在AB上,CE交A。于

點(diǎn)F,AB=CF,則NAEC的度數(shù)為（）

A

A.140°B.130>C.125°D.120°

5.如圖，C、。兩點(diǎn)分別在射線OAO4上，點(diǎn)。在/AO3的內(nèi)部，且CP=DP,PM工OA,PN1.OB,

A.1()B.13C.15D.17

6.如圖，RtZ\A8C中，ZACB=90°,CD上AB于點(diǎn)D,￡F_LA3于點(diǎn)月交AC于點(diǎn)E,BC=BF,

連接跖交CO于點(diǎn)G.下列結(jié)論：①CE=EF；②CG=EF；③NBGC=NAEB.其中正確的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.如圖，在aABC中，NAC6=90。，已知AABCN&AE/7,延長(zhǎng)4c交EF于點(diǎn)。，若4。=5,BC=

4,則。石長(zhǎng)是（）

A.2B.5C.4D.3

8.如圖，在VA8C中，點(diǎn)。、E在8C邊上，點(diǎn)廠在AC邊上，將△A8O沿著A￡>翻折，使點(diǎn)8和點(diǎn)

E重合，將ACEF沿著EF翻折，點(diǎn)C'怡與點(diǎn)A重合.結(jié)論：①N3AC=90。；②DE=EF;③NB=2NC；

④=其中正確的有（）

A

A.????B.??C.①②④D.①②③

二、填空題

9.如圖，已知￡為AC上一點(diǎn)，BC1CA,ED上AB,垂足分別為C、D,BD=BC,AE=8cm,

DE=6cm,則AC等于cm.

10.將V/WC和以）"'如圖所示放置，已知44=/。=90。,力"=。月，若利用“HL”證明

LABC學(xué)乙DEF,則需要添加的條件是.

11.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度。尸相等，兩個(gè)

滑梯的傾斜角/八BC和N力正的數(shù)量關(guān)系是.

12.如圖，在四邊形A8CO中，AC、4。為對(duì)角線，且AC=/W,ZACD="BD,AEJLBO于點(diǎn)E.若

BD=3,CD=2,則。E的長(zhǎng)度為

AB

D

A

⑴若C4平分NBC/),求證：CE=2AB.

⑵求N1MC的度數(shù).

17.如圖，在V4BC中，AB=AC,OE是過(guò)點(diǎn)4的直線，8OJ.DE于。，CEtDE于點(diǎn)E；

(1)若4、。在OE的同側(cè)(如圖I所示)且AO=CE.求證：ABJ.AC,

⑵若8、。在OE的兩側(cè)(如圖2所示)，且AP=CE,其他條件不變，A8與AC仍垂直嗎？若是

請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.如圖，點(diǎn)8在線段AC上，點(diǎn)E在線段B。上，ZABD=/DBC,EB=BC,AE=DC,點(diǎn)、M,

N分別在線段4E,CO邊上，且滿足NM8N=90。，猜測(cè)與BN的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

19.如圖，在VAAC中，ZC=90°,4。是NB4C的角平分線交BC于點(diǎn)。，過(guò)。作?！阓L84于點(diǎn)E,

點(diǎn)廠在AC上，且BD=DF.

(1)求證：AC=AE；

（2）求證：ZZMC+ZroB=l80°；

參考答案

題號(hào)12345678

答案ACBDBDDB

1.A

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，利用直角三角形全等的判定定理得到

Rt,RSRt一BAC(HL),求Li相關(guān)線段長(zhǎng)度，由圖中線段關(guān)系表示出叢=反?-AC=AC,代

值求解即可得到答案，熟練掌握兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：AC=3.5,

CD=AC=3.5,

EC1BD,

/ECD=/BCA,

在RlNDC和Rl.B4C中，

AC=CD

AB=ED

RtEDC^RtAAC(HL),

EC=BC?

??BC=BD-CD=BD-AC=9-3.5=5.5,

EA=EC-AC=I3C-AC=55-3.5=2,

故選：A.

2.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，利用HL證得RtBEgRlCFB,可得BF=CE,

再利用AAS可證得△切足和△4E8且△AFC,進(jìn)而可求解，熟練掌握全等三角形的判定及

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：

;"CFB=/BEC=90P,

BE=CF,BC=CB（公共邊），

Rt^BECgRt^Cra（HL）；

BF=CE,

4FDB=/EDC(對(duì)頂角)，

:?FDBAEDC(AAS),

-BEA.AC,CFLAB.

:"CFB=/BEC=90。,

?;BE=CF,NA=NA(公共角)，

.…AE6』APAAS),

綜上所述，圖中全等三角形有3對(duì)，

故選C.

3.B

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于

基礎(chǔ)題.

首先證明推出CE=AC；/O=/8,ZCAB=ZECD,由NO+N7)CE=90。，推出

ZB+ZDCE=90°,推出C。148,即可——判斷.

【詳解】解：在RABCRtCDE中，

AB=CD

BC=DE

：y/ABC^/CDE,

..CE=AC,ZD=ZB,ZCAB=ZECDf

QZD+ZDCE=90°,

ZB+ZDCE=90°,

:.CDLAB,

故A、C、D正確，

故選:B.

4.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明Rt/8OgRtaC*Q(HL),

由全等三角形的性質(zhì)得出/BAD=ZDCF=30°,由三角形外角的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】解：〈AO是8。邊上的高，

...AD±BC,

.?ZO4=ZADC=90。，

在RtAABD和RUCFD中,

AB=CF

BD=DF'

Rt工BDgRt^Cro(HL),

.?.NB4O=/"戶=30。，

:.ZAFC=ZADC+4DCF=90°+30°=120°,

故選：D.

5.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明RtPCM^RtHW(HL)得到

PM=PN,CM=DN=3,則QM=CO+CM=10,進(jìn)一步證明RtZ\OPgRtZ\OPN(HL)得到

ON=OM=10,則Z)O=QV+ON=13.

【詳解】解：PM上OAPN上OB,

：.NPMC=ZPND=90°,

?:CP=DP,CM=DN,

RtPCM絲RlPDN(HL),

:?PM=PN,CM=DN=3,

：.OM=CO+CM=\0,

'：PM=PN,OP=OP,

RtAOPC^RtAOPN(HL),

.\ON=OM=10,

/.DO=ON+DN=\3,

故選B.

6.D

【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，先根據(jù)3c=4尸，班：=6E,

證明ABE產(chǎn)絲△8EC,得到NCBE=/FBE,NBEC=NBEF,結(jié)合CD工AB,EhAB,

繼而得到跖CD,得/DGB=NBEF=NCGE,判斷即可.

【詳解】?:BC=BF,BE=BE,

???BEF"BEC(HL),

：.CE=EF,4CBE=/FBE,4BEC=/BEF,

???CO_LA8,EFLAB,

...EFCD,

：?4DGB=4BEF=4CGE,ZAEF=ZACD,

，/CEG=NCGE,

:.CG=CE,

:,CG=EF,

???/BGC=/BEC+ZACD,^AEB=NBEF+AAEF

/./BGC=幺EB,

故①?③都正確.

故選D.

7.D

【分析】連接AO.證明放Zk/l。尸也即△A。。(”L),推出DF=OC=1,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接A。.

,?AABC=AAEF,

：,AF=AC,

在心△4。尸和心△AOC中,

AD=AD

AF=AC'

/./?/△ADF^RIAADC(HL)

：.DF=DC,

?:BD=5,BC=4,

：,CD=DF=5-4=\t

?:EF=BC=4,

：.DE=EF-DF=4-\=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考杳旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形

解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

8.B

【分析】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知

識(shí)，解題的關(guān)健是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.將△加力沿著4)翻折，可得A8=AE,ZB=ZAEB,

將ACEF沿著所翻折，可得AE=CE,ZC=/CAE,進(jìn)而得到AB=CE,ZAEB=ZC+ZCAE=2ZC,

從而判斷①②正確，再假設(shè)③④成立，得到與題干條件矛盾，從而判斷①②不一定正確.

【詳解】解：???將△A3。沿著AO翻折，使點(diǎn)8和點(diǎn)E重合，

AAB=AE,ZB=ZAEB,

???將△CM沿著￡尸翻折，點(diǎn)C恰與點(diǎn)A重合，

AAE=CE,NC=NCAE,

AAB=CE,???④正確；

,/ZAEB=ZC+ZCAE=2ZC,

???NB=2NC,故③正確；

當(dāng)NB4C=90°,WiJZB+ZC=3ZC=90o,

AZC=30°,4=60。，

???二A/組為等邊三角形，與題干條件矛盾，故①不準(zhǔn)確，

同理：當(dāng)DE=EF,而ZA￡>E=ZAFE=90°,

則莊(HL),

,ZBAD=ZE4D=ZE4C,

結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得：ZBAC=90°,與題干條件矛盾，故②不準(zhǔn)確，

故選:B.

9.14

【分析】首先根據(jù)題意證明出RtVB。峰RtVBCE(HL),然后得到OE=CE=6cm,進(jìn)而求解即可.

【詳解】???8C_LC4,EDA.AB

在RgBDE和Ri▲小CE中

BD=BC

BE=BE

.??RtVBDE^RiV5CE(HL)

DE=CE=6cm

AE=8cm

AC=AE+CE=14cm.

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

10.BC=EF

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.用“HL”判定AABC四△?￡尸，只需要滿足一條直角邊

對(duì)應(yīng)線段，斜邊對(duì)應(yīng)相等即可.

【詳解】解：添加的條件是：BC=EF.

NA=4)=90°,

???在Rtz^ABC和RtADEF中，

BC=EF

AB=DE'

???Rt”8(WRj￡)硝HL).

故答案為：BC=EF.

11.ZABC+ZDFE=90°

【分析】由條件信息可得，VA3C與一￡)￡戶均是直角三角形，由己知可根據(jù)HL判定兩三角形全等，

再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，不難求解.

【詳解】解：ZABC+ZDFE=90°,證明如下：

由題意可得：VABC與J)E?溝是直角三角形，且8C=EEAC=。廠.

在RlZSABC和RtADEF中，

BC=EF

AC=DF'

：.RtA8CWRtDEF(HL),

:.ZABC=ZDEF,

■:NDEF+NDFE=90。,

???NABC十ZDFE=900.

故答案為：ZABC+ZDFE=90°

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用.做題時(shí)要注意找已知條件，根據(jù)已知選擇方法得出全等三角

形是解題關(guān)鍵.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作A/_LCD交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,根據(jù)AAS證明△AFCgZVlfB,得到A/=AE,

CF=BE,再根據(jù)HL證明Rt一八OgRjA。，得至最后根據(jù)線段的和差即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作A/JLC。交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

：///^\\AZAFC=90O,

AB

AEO

ZAFC=ZAED=ZAEB=90°,

在..AW和工AE8中，

ZAFC=Z4E^=90°

ZABE=ZACD,

AC=AB

：..AFC^AEB(AAS),

AAF=AE,CF=BE,

在RtzXAFD和RtZSAED中，

AF=AE

AZ)=A。'

/.Rt.AFDgRtAED(HL),

;.DF=DE,

CF=CD+DF,BE=HD-DE,CF=BE,

.\CD+DF=BD-DEf

；.2DE=BD-CD,

BD=3,6=2,

；.2DE=1,

:.DE=~,

2

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

13.5或12

【分析】NQAE=NCB4=90。，所以點(diǎn)A與點(diǎn)8對(duì)應(yīng)，分兩種情況，：若AE=BC=5,則AO=4笈，

則.71￡度-8C4(SAS).若A￡=AB=12,則AO=8C,貝i].AO￡絲一8cA(SAS).

［詳解］解：???ZZMF=NCBA=90°

工點(diǎn)A與點(diǎn)8對(duì)應(yīng).

若AE=BC=5,則ADMJM-AS=JAC'-BC?=A3,

_A￡度-8cA(SAS).

若AE=AB=12,則AD=J/-AE?=JAC」-6=BC，

：.ADE^^BCA(SAS).

綜上，AE■的長(zhǎng)為5或12.

故答案為：5或12.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定性質(zhì)，勾股定理；掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

14.①②③⑤

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，證明

△人用運(yùn)/\KC。是解答木題的美鍵.根據(jù)HL可證明八八。店Aa。?？膳袛啖伲呵蟪?/4/方=90?？?/p>

判斷②；利用全等三角形的性質(zhì)可判斷③；無(wú)法判斷④正確；利用三角形的面積公式可判斷⑤.

【詳解】解：如圖，

〈ZABE=/BCD=900,BE=CD,AE=DB=6,

：.ABE^.BCD(HL),故①正確；

???NBAE=/CBD,

???ZCBD+ZABF=90°,

/.ZBAE+Z4BF=90°,

???ZAFB=180°-90°=90°,

AAE±BD,故②正確；

???△ABE^ABCD,

/.AB=BC,

,?BC=BE+CE,

：?AB=CD+CE,故③正確：

無(wú)法證明NB4E=45。，故④不正確;

VAE±BD,AE=DB=6

???四邊形ABED的面積=S?+SAI）E

=-AEBF+-AEDF

22

=-AEBD

2

=^-x6x6=18,故⑤正確.

2

故答案為：①②③⑤.

15.（1）14

（2）33

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，證明三角形

全等是解此題的關(guān)鍵.

（1）先根據(jù)“SAS”證明△ABCgAAOE,再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出答案：

（2）作AH_L8C,再根據(jù)（1）得出△ABCgZXADE,進(jìn)而證明.A"C/.AGE,然后證明

=

^AHF=￡,AGF,即可得出S四速形八WESAHC+SACF+SAFC=SAHF+SAFC=2SAFC,代入數(shù)值計(jì)算得

出答案.

【詳解】（1）解：vZBAD=ZE4C,

，ZBAD+ZCAD=^EAC+ZCADf

即NBAC=NDAE,

在VABC和VAOE中，

AB=AD

?NBAC=^DAE,

AC=AE

：.ABC^.ADE（SAS）,

:.K=DE=\2.

?:CF=2,

:,BF=BC+CF=12+2=\4.

故答案為：14；

（2）解：作A”_LBC,交8c于點(diǎn)H,

由（1）得△ABCgZXAOE,

AC=AE,AH=AG,

：.RtAHC^RiAGE,RtAHF^Rt^AGF,

=

?二S四邊形ACFESAHC+SACF+SAFG=SAHF+SAFG=25AFG,

*.*FG=—,AG=6,

2

:，S四邊形AbE=2x|xyx6=33?

故答案為：33.

16.⑴見(jiàn)解析

(2)45°

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)即角平分線性質(zhì)，

(1)延長(zhǎng)明，CD交于點(diǎn)、F,由題意得&C43空AC4￡,有AB=AE,由垂直得NO8E=NDCE,

證得，BDfV-CDE,有4〃=CE即可證明結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)。分別作ON18產(chǎn)于點(diǎn)N,OM上AC于點(diǎn)M,有△O8N0△OCM,得到。N=OM,

可得"MN/工DW,即可求得角度.

【詳解】(I)證明：延長(zhǎng)B4,CD交于點(diǎn)F,如圖，

Z^C4=ZFC4,CA=CA,NC48=NC4"=90。,

.-4.C4B^..C4F（ASA）,

..AB=AFf

:.BF=2AB.

NOBF+/尸=90°,ZDCE+ZF=90°,

;"DBF=NDCE.

4BDF=/CDE=yf,BD=CD,

:.；BDF"_CDE（ASA）,

:BF=CE,

：.CE=2AB.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。分別作Z)N_L8尸于點(diǎn)N,OM/AC于點(diǎn)M,如圖,

?;/DBN=/DCM,BD=CD,

.DBN^DCM(AAS),

：.DN=DM,

*/DA=DA,

??.一DAA-DW(HL),

NDAC=ZDAF=-2FAC=45°.

2

17.(1)見(jiàn)解析

(2)ABIAC,見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì).

(1)通過(guò)證明Rt^ABD紇RtZXCAE,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，即可求證；

(2)用和(1)相同的方法證明RtZ\AQ絲RtZkCAE,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，即可求證.

【詳解】(1)證明：???8r>_LOE,CELDE,

???ZADB=ZAEC=90°,

在和RtACE中，

??[AB=AC

?\AD=CE'

???RtA88RtCAE(HL).

/.ZDBA=ZEAC

???NOAB+NORA=90。，

???/DABIN2C=90°.

???Na4C=180O-(ND45+NE4C)=90。.

AB1AC.

(2)解：ABJ.AC.理由如下：

VBDA.DE,CEA.DE,

，ZADB=ZAEC=90°,

在Rl/SABD和RtACE中，

??[AB=AC

?\AD=CE"

：.RtABD^RtCAE[HL).

/DAB=NECA,

:ZE4C+ZEC4=90°.

，44C+4MB=90°,BPZfiAC=90°,

，AB1AC.

18.BM=BN,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明Rt4但Rt.OBC(HL),進(jìn)而證明

/MAB=/NDB,證明即可得證.

【詳解】解：BM=BN,

證明：???點(diǎn)8在線段AC上，ZABD=NDBC,

ZABE=NDBC=90。,

在Rt一AKE,Rl_OAC中，

AE=DC

EB=BC

ARtABE^Rt08c(HL)

：?AB=DB,/EAB=/CDB

又,:NMBN=90。

，ZABM=90°-AMBE=ZDBN

又NEAB=NCDB,^ZMAB=ZNDB

在-AMB-DNB中,

Z1ABM=DBN

AB=DB

NMAB=NNDB

:..AM噲DNBgA),

???BM=BN.

19.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)證“COAED(A