1.1探索勾股定理北師大版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：12（）分考試時間：120分鐘；命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.如圖，AB是。。的直徑，弦CD交48于點P,AP=2,BP=6,^APC=30°,

則CO的長為（）

A.<15

B.2c

C.2^fT5

D.8

2.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，點力、B在格點上，要找一個格點C,使2MBe是等腰三角形G4B是

其中一腰），則圖中符合條件的格點有（）

B.3個C.4個D.5個

3.如圖，在中，ZF=90°,分別以48、4c為斜邊向外作等腰直角三角形，它們的面積分別

52=25,則BC的長為（）

B.6C.8D.10

4.如圖，有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一個蘆葦力B生長在它的中央，高出水面部分8C

為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳?恰好碰到岸邊的則這根

蘆葦?shù)拈L度是（）

A.10尺

B.HR

C.12尺

D.13尺

5.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點B在第一象限，點力在工軸的正半軸上，Z-AOB=ZF=30°,OA=2,

將^A08繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點8的對應(yīng)點夕的坐標(biāo)是（）.

A.（-1,2+C）B.（一口3）CS2+C）D.（-3,C）

6.如圖，。力為。。的半徑，弦BCJ.0力于P點.若。4=5,AP=2,則弦8。的長為（）

7.將一根橡皮筋兩端固定在點4B處，拉展成線段48,拉動橡皮筋上的一點P,當(dāng)代針8是頂先為120。

的等腰三角形時，已知AB=6cm,則橡皮筋被拉長了（）

A.2cmB.4cmC.(473-6)cmD.(4-2xT3)C7n

8.如圖，在口48（7。中，用直尺和圓規(guī)作得4E,若8尸=6,AB=5,貝必E"的長為（）

B.6C.7D.8

9.如圖，已知菱形4?。。的邊長為2,對角線力C,8。相交于點。，M,N分別是邊BC,CO上的動點,

^BAC=^MAN=60°,連接MN,0M.以下四個結(jié)論正確的是（）

①Zk/IMN是等邊三角形；

②MN的最小值是C；

③當(dāng)MN最小時="第碗而

④當(dāng)0M_L8C時，OA2=DNAB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

10.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如

圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角一:角形和一個小正方形拼成的一個大正

方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面

積為25,則小正方形的邊長為（）

A.9B.6C.4D.3

11.如圖，在△力3C中，AB=BC=y/~3r/-BAC=30°,分另J以點4。為圓心,

AC的長為半徑作弧，兩弧交于點。，連接D4DC,則四邊形48。。的面積為（）

A.6c

B.9

C.6

D.3c

12.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3d7九、2dm,A和8是這個臺階兩

個相對的端點，4點有一只螞蟻，想到B點去吃食物，則螞蟻沿著臺階面爬到8點的最短路程為（）

20

B

18.（本小題8分）

如圖，在團4BC中，為銳角，AB=3y/~2,AC=5,sinf=|,求BC的長.

19.（本小題8分）

如圖，在RtAABC中，ZC=99°,AB=lOczn,4c=8cm.點P從點A出發(fā)沿邊AC以1cm/s的速度向

點C運動，同時點Q從點C出發(fā)沿邊CB以lcm/s的速度向點B運動，當(dāng)一個點運動到終點時，該點停止

運動，另?個點繼續(xù)運動.當(dāng)兩個點都到達(dá)終點時停止運動.

（1）經(jīng)過多少秒，△?！福?的面積為/?14力8。面積的：？

（2）填空：

①經(jīng)過s,點P在線段48的垂直平分線上；

②經(jīng)過s,點Q在4BAC的平分線上.

20.（本小題8分）

如圖，點、B,C,D共線，zC=Z-ABE=z.D=90°,BC=DE.

(1)求證：AB=BE；

(2)連接4E,設(shè)BC=Q,AC=b,48=c.求證：a2+b2=c2.

21.(本小題8分)

如圖，在四邊形力BCC中，，B=90°,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24.

求四邊形48CD的面積.

I)

c

22.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，zC=90o,4。平分乙B4C交8c于點。，過點。作DE148于點￡

(1)求證：△4EOMZi4C0；

(2)當(dāng)4c=6,BC=8,求CD的長.

23.(本小題8分)

如圖，矩形A8C0中，AB=6,BC=4,過對角線8。中點。的直線分別交力B,CD邊于點、E,F.

(1)求證：四邊形8E。f是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BED戶是菱形時，求EF的長.

24.(本小題8分)

某T.程隊準(zhǔn)備從4到B修建一條隧道,測量員在直線4B的同一側(cè)選定G。兩個觀測點,如圖.測得4U長

為號km,Q9長為80長為|七%Z,ACD=60°,/CDB=135。(力、B、C、。在同

一水平面內(nèi)).

(1)求4、。兩點之間的距離；

(2)求隧道的長度.

AB

25.(本小題8分)

如圖，在矩形4BCD的BC邊上取一點E,連接力E,使得力E=EC,在力。邊上取一點廣，使得所=8E,

連接CF.過點。作DG14E于G.

(1)求證：四邊形4ECF是菱形:

(2)若48=4,BE=3,求DG的長.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了垂徑定理.也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性質(zhì).

作OH1CD于H,連結(jié)。C,如圖，根據(jù)垂徑定理由OH1CO得到HC=HD,再利用4P=2,BP=6可

計算出半徑04=4,則OP=0A-AP=2,接著在Rt△0PH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計算

出?！?；。。=1,然后在中利用勾股定理計算出CH=C5，即CD=2CH=2。豆

【解答】

解：作0HleD于H,連結(jié)。C,如圖，

--------

VOH1CD,

HC=HD,

???AP=2,BP=6,

???AB=8,

0A=4,

:.OP=OA-AP=2,

在RtaOPH中，

v乙OPH=Z.APC=30°,

二OH=g0P=1,

在RMOHC中，

???0C=4,OH=1,

CH=7OC2-OH2=xHl5

:.CD=2CH=2/^5

故選C.

2.【答案】0

【解析】首先山勾股定理可求得的長，然后分別從48=BC,AB=AC,4C=8C去分析求解即可

求得答案.

【解答】解:如圖所示：

由勾股定理得：AB=V12+22=

①若/18=BC,則符合要求的有：。2,。3共4個點;

②若力8=4C,則符合要求的有：C4,C5共2個點；

若AC=8C,則不存在這樣格點.

.??這樣的C點有5個.

3.【答案】B

2

【解析】由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形面積求出力。2=32,AE=50,則人戶=力以+BDz=64,

AC2=AE2CE2=100,再由勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖，???△力80和44"是等腰直角三角形，ZD=ZE=90%

???AD=BD,AE=CE,

11o211o2

...Si=±AD?BD=^AD=16,S2=^AE?CE=^AE=25,

.'.AD2=32,AE2=50,

:.AB2=AD2+BD2=64,AC2=AE2+CE2=100,

v乙48c=90°,

BC=VAC2-AB2=V100-64=6,

故選8.

4.【答案】0

【解析】解；設(shè)蘆葦長/8=力夕="尺，則水深/C=(x1)尺,

因為邊長為10尺的正方形，所以夕C=5尺

在RtMB'C中，52+(x-l)2=x2,

解之得X=13,

即水深12尺,蘆葦長13尺.

故選：D.

我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何冕形，可知邊長為10尺的正方形，則=5尺，設(shè)出48=AB'=%尺，

表示出水深4C,根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深.

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

如圖，作夕HLy軸于從由含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出片”，由勾股定理求出夕”，進(jìn)而得出OH

即可得出答案.

【解答】

由題意得：。/=48=2,△OABOArB',

OA'=OA=A'B'=AB=2,乙B'AH=Z.A'OB'+/.OB'A'=/.AOB+乙OBA=60°,

乙A'B'H=30°,

A'H=g/1'夕=1，B'H=VA'B^-A'H2=<3，

???OH=。4'+A”=3,

:.*（一口3）,

故選B.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查r垂徑定理，利用勾股定理得出BP的長是解題關(guān)鍵，又利用r垂徑定理.

根據(jù)勾股定理，可得3P,根據(jù)垂徑定理，可得答案.

【解答】

解：連接。氏

OB=OA=5,OP=OA-AP=3,

由勾股定理，得

BP=VOB2-OP2=4，

由垂徑定理，得

BC=2BP=8,

故選：B.

7.【答案】C

【解析】解：如圖，過點P作PC1AB于點C,

???△APB是等腰三角形，且乙4PB=120°,

Z-APC=120°4-2=60°,4c=6+2=3cm,AP=BP,

4c3___

.?.在中，4P=缶dp=2Em，

2

???橡皮筋被拉長了：2cx2-6=(4/2-6)cm.

故選：C.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

過點P作于點C,先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙APC,AC,再在RtZk/lPC中，利用銳角三角

函數(shù)求出4P長，進(jìn)而可求出橡皮筋被拉長的長度.

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考杳勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，本題屬于基礎(chǔ)題型.

由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積與中間

小正方形面積的和列出等式，即可求出小正方形的邊長.

【解答】

解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,

???每一個直角三角形的面積為：lab=1x8=4,

二4xgab+(a-b)2=25,

???(a-b)2=25—16=9,

a>h.

.??a-b=3,即中間小正方形的邊長為3.

故選。.

11.【答案】D

【解析】解：連接80交力。于0,

80垂直平分AC,

:.BD1AC,AO=CO,

vAB=BC,

Z-ACB=4BAC=30°,

vAC=AD=CD,

.??△ACD是等邊三角形,

...Z.DAC=LDCA=60°,

乙BAD=Z.BCD=90°,乙ADB=乙CDB=30°,

,:AB=BC=

BD=2<3，

由勾股定理可得4。=CD=3,

二四邊形/BCD的面積=2x1x3x/^=3口,

故選：D.

本題考查了含30。角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

連接8。交4。于。，根據(jù)已知條件得到8。垂直平分力C,求得8014C,AO=CO,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到"C8=MAC=30。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到44。=/。。4=60。，推出48人。=

ZFCD=90°,求得4D=C0=3,于是得到結(jié)論.

12.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查平面展開-最短路徑問題，勾股定理有關(guān)知識.

先將圖形平面展開，再由勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答.

【解答】

解：臺階展開如圖，則4c=20dm,80=3x3+2x3=15(dm),

在△48c中，AB=>JAC2-VBC2=V202+152=25(dm).

所以螞蟻所走的最短路線長度為25dm.

A

故選。

13.【答案】10或8

【解析】解：此題有兩種情況：(1)當(dāng)兩直角邊是6和8時，由勾股定理得：AB=:

VAC2+BC2=V62+82=10,\

此時外接圓的半徑是5,直徑是10；1\

(2)當(dāng)一個直角邊是6,斜邊是8時，

此時外接圓的半徑是4,直徑是8.

故答案為：10或8.

有兩種情況：(1)當(dāng)兩直角邊是6和8時，求出斜邊長即可得到答案；(2)當(dāng)一條直角邊是6,斜邊是8時,

即可得出答案.

本題主要考查三角形的外接圓和外心，勾股定理等知識點，解此題的關(guān)鍵是知道直角三角形的外接圓

的直徑等于斜邊的長，求出斜邊長即可，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想.

14.【答案】12m

【解析】根據(jù)題意，畫出圖形，可將該問題抽象為直角三角形問題，該直角三角形的斜邊比其中一條

直角邊多1m,而另一條直角邊長為5m,可以根據(jù)勾股定理列方程求出斜邊的長，即為旗繩的長.

【解答】解：如圖，旗桿繩AC垂到地面8處時多出1m,乙A8C=90。，把繩子斜拉直時，繩子底端距

離旗桿底部5m,

可知AC比4B多l(xiāng)m,BC=5m.

設(shè)4c=xm,

則718=(x—1)7H,

vAB2+BC2=AC2,

(x-I)2+5?=xz,

解得x=13,

AC=13m,

.'.AB=13-1=12(771)

故答案為：127人

15.【答案】20

【解析】由“SAS”可證Zi/IB。會ACDE,得4C=CE,乙4cB=NCED,再證〃CE=90°,然后由

勾股定理可求AC的長，即可求解.

【解答】解：在ZL48c和1CDE中，

AB=CD

乙B=乙D,

BC=DE

AAABC=ACDE{SAS),

AC=CE,Z-ACB=Z-CED,

???上CEDI乙ECD=90%

.??△ACB+4ECD=90°,

:.Z.ACE=90°,

v乙B=90°,AB=2,BC=6,

.'.AC=VAB2+BC2=722+62=2<T0,

:.CE=

AS&ACE=\ACxCE=Ix2CUx2/^0=20,

故答案為：20.

16.【答案】16

【解析】首先利用勾股定理求得力B邊的長度，然后由三角形的面積公式和正方形的面積公式解答.

【解答】解：如圖，Rt△力BC中，24cB=90°,BC=4,AC=2,

由勾股定理知，AB=VAC2-^BC2=V22+42=2^.

故S陰影-S正方形ABDE—S4ABC-(2V-5)2-1x2x4=20-4=16.

故答案為：16.

17.【答案】解：設(shè)在Rt團力C8和Rt團408中，?,?乙C=30°,乙ADB=45°,CD=80m,

???DB=xm,AC=2xm,BC=yj(2x)2—%2=\T^xm.vCD=BC-BD=80m,AV-3X-x=80,

x=40(V-3+1)%109.3(m).

答：該大原的高度是109.3m.

【解析】略

Q

18.【答案】解：作力。J.BC,垂足為點。，二乙力。8=乙4。(?=90°.；力(？=5,sinf=AAD=AC-

sinC=3.在/?￡自力(70中，CD=VAC2-AD2=4.?:AB=.??在Rt@48。中，BD=

VAB2-AD2=3,BC=BD+CD=7.

【解析】略

19.【答案】【小題1】

解：設(shè)經(jīng)過xs,△CPQ的面積為面積的:.在/?￡△力BC中，由勾股定理，得BC=7102—82=

O

6(czn).由條件可知，點P運動的時間為8+1=8(5),點Q運動的時間為6+1=6(s).當(dāng)0V%W6時,

1x(8-x)=^x|x8x6,解得/=4-x=4+(舍去)；當(dāng)6V%W8時，1x6x(8-

ZoZ2Z

x)=lx1x8x6,解得x=7.綜上所述，經(jīng)過(4-CU)s或7s,△CPQ的面積為Rt△4BC面積的

oZ

1

8,

【小題2】

25

4~

8

3

【解析】1.略

2.

①提示：連接P。，設(shè)經(jīng)過ys.點P在線段4。的垂直平分線上.則此時。4=。。=了的/出八?！爸校?/p>

由勾股定理，得PB?=PC2+BC2,即y2=(8-y)2+62,解得y=今

②提示：連接AQ,過點Q作QD148于點D.設(shè)經(jīng)過ts,點Q在乙8AC的平分線.匕則Q0=QC=tcm,

BQ=(6—t)cm.易證AD=AC=8cm.所以8。=2cm.在RtA8DQ中，由勾股定理，^BQ2—QD2=

BD2,即(6-t)2-尸=22,解得t=*

20.【答案】【小題1】

證明：vLABE=90°

乙ABC+Z.EBD=90°

?.?在△48。中，4c=90°

KABC+^A=90°

Z.EBD=Z.A,

在與ABED中，

Z.EBD=Z.A

{zC=zD=90°,

BC=DE

：.^ABCBED(AAS),

:.AB=BE；

【小題2】

證明：由(1)可得△力8cMABED,

???AC=BD=b,BC=DE=a,AB=BE=c,

由面積法可知：S梯形ACDE=SMBC+SgDE+=助+gc?,

S相磔皿=QC+DE)(BC+BD)=*a+以,

:.ab4-1c2="(a+b)2,

:，a2+b2=c2.

【解析】L

根據(jù)/US證明△ABC=△BED即可得結(jié)論；

2.

[t|AABC=△BED,可得AC=8。=b,BC=DE=a,AB=BE=c,再根據(jù)三角形的等面積法即

可得結(jié)論.

21.【答案】解：連接4C,

在△4BC中，=90°,由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,/,4

-AB=20,BC=15,//

???AC2=202+152=625,//

??.AC=25(負(fù)數(shù)舍去)，AB

vCD=7,AD=24,AC=25,

CD2+AD2=72+242=49+576=625,AC2=252=625,

ACD2+AD2=AC2,

??.△AC。是直角三角形，即乙D=90°,

A

S西邊形ABCD

—S4ABe+SAACD

11

=2x/BxBC+2x/OxCD

11一

=x20x15+5x24x7

=234.

【解析】連接4C,根據(jù)勾股定理求出4C,求出/C2+CD2=,4。2,根據(jù)勾股定理的逆定理得出△4）。

是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

22.【答案】【小題1】

證明；?.?4D平分/B4C,

???/.BAD=Z.CAD,

vDE1AB,

Z-AED=90°,

:.Z.AED=zC?

在△力EO與A4co中，

Z-AED=Z-C

{/.BAD=/.CAD,

AD=AD

???△AED=^ACD(AAS),

【小題2】

解：設(shè)CD=x,則3。=BC-C。=8-x,

由(1)可知△/IE。=^ACD,

:.AC=AE=6,CD=DE=x,

???Z-C=90。，

AB2=AC2+BC2=62+82=100,

嘰48=10,

BE=AB-AE=10-6=4,

在RtaBE。中，由勾股定理得，

即42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

即CD=3.

【解析】1.

利用Th4s直接證明；

2.

設(shè)CO=x,則8D=8C-C0=8-x,BE=AB-AE=4,在中，利用勾股定理列方程即

可得出答案.

23.【答案】(1)證明：?.?四邊形"CD是矩形，。是80的中點，

AB//DC,OB=0D,

???乙OBE=乙ODF,

在ABOE和△0。“中，

(△OBE=乙ODF

。8=。。，

{/-BOE=乙DOF

.^BOE^ADOF(ASA^

:.EO=FO,

???四邊形BED尸是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)四邊形BED尸是菱形時，BD1EF,

設(shè)=貝iJOE=x,AE=6-x,

在R￡△//)￡1中，DE2=AD2^AE2,

.../=42+(6-x)2,

解得：”

22

???BD=VAD+AB=2ATI35

...OB=\BD=>m,

???BD1EF,

EO=VBE2-OB2=^5，

4J-T5

EF=2E0=

【解析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形48。。的性質(zhì)，判定△BOE^LDOF(ASA),得出四邊形BEDF的對角線互相平分，

進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)在Rt△40E中，由勾股定理得出方程，解方程求出8E,由勾股定理求出得出。氏再由勾股

定理求出E0,即可得出的長.

24.【答案】解：(1)過力作4EJ.CD于￡如圖所示：

則匕力EC=^AED=90°,

v乙ACD=60°,

:.乙CAE=90°-60°=30°,

CE=^AC=^yj~2k