第1頁（共1頁）2025年黑龍江省哈爾濱市劍橋三中中考數(shù)學四模試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）﹣3的絕對值是（）A．3 B． C． D．﹣32．（3分）下列運算不一定正確的是（）A．x2?x3＝x5 B．（﹣2x）2＝﹣4x2 C．（x2）3＝x6 D．5x﹣2x＝3x3．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）青花瓷又稱白地青花瓷，屬釉下彩瓷，是用含氧化鈷的鈷礦為原料，再罩上一層透明釉，經(jīng)高溫還原焰一次燒成．下面四個瓷器中（）A． B． C． D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，如圖，，則cot30°的值為（）A． B． C． D．6．（3分）中國象棋紅方棋子按兵種不同分布如下：1個帥，5個兵，“士、象、馬、車、炮”各2個，任取一個恰好是兵或帥的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點B為圓心，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，F(xiàn)為圓心，以大于，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P，作射線BP，交CD的延長線于點H．若AB＝8，GD＝6（）A．16 B．14 C．12 D．108．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，將其折疊，使點D與點B重合，則CF的長為（）A．4 B．5 C． D．3.59．（3分）在某一電路中，保持電壓不變，電流I（A）（Ω）成反比例函數(shù)關系，當電阻R＝5Ω時，則I與R的函數(shù)表達式為（）A． B． C． D．10．（3分）今年“五一”節(jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中（分鐘），所走的路程為s（米），s與t之間的函數(shù)關系如圖所示．下列說法錯誤的是（）A．小明中途休息用了20分鐘 B．小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米 C．小明在上述過程中所走的路程為6600米 D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度二、填空題（每題3分，共30分）11．（3分）據(jù)統(tǒng)計，第26屆哈爾濱冰雪大世界園區(qū)接待游客量超過356萬人次，同比增長31%．12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）把多項式4ax2﹣9ay2分解因式的結(jié)果是．14．（3分）觀察下列等式：，，第10個式子可表示為．15．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的頂點坐標是．16．（3分）某城鎮(zhèn)2022年的出生人口為5萬人，連續(xù)兩年下降，2024年的出生人口為3.2萬人．17．（3分）折扇是南京著名的傳統(tǒng)手工藝制品之一、某折扇展開后，扇形的半徑為30cm，面積為360πcm2，則此扇形的圓心角為度．18．（3分）已知，△ABC中，AB＝AC，交AC所在直線于P，若∠APE＝54°．19．（3分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖1）．某數(shù)學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：△ABC為等邊三角形，AD、BE、CF圍成的△DEF也是等邊三角形．已知點D、E、F分別是BE、CF、AD的中點，則△DEF的面積是．20．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AD＝AE，CD＝3，2∠AEC+∠B＝180°，則AB的長為．三、解答題21．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2cos60°+sin45°．22．（9分）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小格的頂點叫做格點，點A，B，C，D均在小正方形格點上；（1）將線段AB先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到線段EF（A的對應點為E）；（2）將線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QD；（3）在線段EF上畫出點P，使得BP+QP的值最小，并直接寫出PQ的長．23．（9分）為了參加市舉辦“創(chuàng)新人才”知識競賽活動，我區(qū)開展了預賽，400名學生參加此次比賽分組頻數(shù)頻率50.5﹣60.540.0860.5﹣70.5670.5﹣80.5160.3280.5﹣90.590.5﹣100.580.16合計1.00（1）一共抽取了多少名學生？（2）補全頻數(shù)分布直方圖，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第組（填范圍）；（3）若90分以上成績?yōu)閮?yōu)秀，估計我區(qū)獲得優(yōu)秀學生約有多少名？24．（9分）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C，DE∥AC，CE和DE交于點E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當OD＝1，時，求sin∠AED的值．25．（9分）某中學組織學生去福利院慰問，在準備禮品時發(fā)現(xiàn)，購買1個甲禮品比購買1個乙禮品多花40元（1）求甲、乙兩種禮品的單價各為多少元？（2）學校準備購買甲、乙兩種禮品共30個送給福利院的老人，要求購買禮品的總費用不超過2000元，那么最多可購買多少個甲禮品？26．（9分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圓，點E在上，連接BE、DE上連接BF、DF，BF與DE、DA分別交于點G、點H（1）如圖1，求證：∠CBE＝∠DHG；（2）如圖2，在線段AH上取一點N（點N不與點A、點H重合），連接BN交DE于點L，過點E作EP⊥BN，垂足為點P，求證：BE＝HK；（3）如圖3，在（2）的條件下，當3HF＝2DF時，連接BR，若△BER的面積與△DHK的面積的差為27．（9分）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝a（x+5）（x﹣8）（a≠0），交y軸于點C，．（1）如圖1，求拋物線解析式；（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PE⊥BC于點E，設PE的長為d，點P的橫坐標為t（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點P作PD⊥x軸于點D，G為PB的中點，點H在GD的延長線上，若，四邊形PDHF的面積等于，求PE的長．

2025年黑龍江省哈爾濱市劍橋三中中考數(shù)學四模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABCDDCBACC一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）﹣3的絕對值是（）A．3 B． C． D．﹣3【解答】解：|﹣3|＝3，故選：A．2．（3分）下列運算不一定正確的是（）A．x2?x3＝x5 B．（﹣2x）2＝﹣4x2 C．（x2）3＝x6 D．5x﹣2x＝3x【解答】解：x2?x3＝x6，故選項A運算正確；（﹣2x）2＝（﹣4）2?x2＝8x2≠﹣4x7，故選項B運算錯誤；（x2）3＝x5，故選項C運算正確；5x﹣2x＝3x，故選項D運算正確；綜上，運算不正確的是B．故選：B．3．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A不符合題意；B、是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、是軸對稱圖形，故C符合題意；D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意，所以既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是C，故選：C．4．（3分）青花瓷又稱白地青花瓷，屬釉下彩瓷，是用含氧化鈷的鈷礦為原料，再罩上一層透明釉，經(jīng)高溫還原焰一次燒成．下面四個瓷器中（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C的主視圖與左視圖都相同．故選：D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，如圖，，則cot30°的值為（）A． B． C． D．【解答】解：設BC＝a，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝2BC＝2a，由勾股定理得：AC＝＝＝，∴cotA＝＝＝，∴cot30°＝．故選：D．6．（3分）中國象棋紅方棋子按兵種不同分布如下：1個帥，5個兵，“士、象、馬、車、炮”各2個，任取一個恰好是兵或帥的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵中國象棋紅方棋子按兵種不同分布如下：1個帥，5個兵、象、馬、車、炮”各6個，∴共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好是兵或帥的結(jié)果有6種，∴任取一個恰好是兵或帥的概率是，故選：C．7．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點B為圓心，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，F(xiàn)為圓心，以大于，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P，作射線BP，交CD的延長線于點H．若AB＝8，GD＝6（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：∵以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，BC于點E，F(xiàn)，F(xiàn)為圓心長為半徑作弧，作射線BP，∴BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝8，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABH＝∠CHB，∠CBH＝∠DGH，∴∠CBH＝∠CHB，∠DGH＝∠CHB，∴GD＝DH＝6，∴CH＝CD+DH＝8+3＝14，故選：B．8．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，將其折疊，使點D與點B重合，則CF的長為（）A．4 B．5 C． D．3.5【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折的性質(zhì)可知，DE＝BE，∴∠BFE＝∠BEF，∴BF＝BE＝DE，設BF＝BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，∵BE2＝AB2+AE2，∴x2＝33+（9﹣x）2，解得x＝8，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝9﹣6＝4，故選：A．9．（3分）在某一電路中，保持電壓不變，電流I（A）（Ω）成反比例函數(shù)關系，當電阻R＝5Ω時，則I與R的函數(shù)表達式為（）A． B． C． D．【解答】解：設，∵電阻R＝5Ω時，電流I＝2A，∴，∴k＝10，∴，故選：C．10．（3分）今年“五一”節(jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中（分鐘），所走的路程為s（米），s與t之間的函數(shù)關系如圖所示．下列說法錯誤的是（）A．小明中途休息用了20分鐘 B．小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米 C．小明在上述過程中所走的路程為6600米 D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度【解答】解：A、根據(jù)圖象可知，路程沒有發(fā)生變化，故正確；B、根據(jù)圖象可知，s＝2800，故B正確；C、根據(jù)圖象可知，故錯誤；D、小明休息后的爬山的平均速度為：（3800﹣2800）÷（100﹣60）＝25（米/分），70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度；故選：C．二、填空題（每題3分，共30分）11．（3分）據(jù)統(tǒng)計，第26屆哈爾濱冰雪大世界園區(qū)接待游客量超過356萬人次，同比增長31%3.56×106．【解答】解：356萬＝3560000＝3.56×106．故答案為：2.56×106．12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≠﹣．【解答】解：由題意得，2x+3≠8，解得x≠﹣．故答案為：x≠﹣．13．（3分）把多項式4ax2﹣9ay2分解因式的結(jié)果是a（2x+3y）（2x﹣3y）．【解答】解：原式＝a（4x2﹣8y2）＝a（2x+5y）（2x﹣3y），故答案為：a（7x+3y）（2x﹣3y）14．（3分）觀察下列等式：，，第10個式子可表示為．【解答】解：根據(jù)所給的等式可知：第n個式子為，∴第10個式子為，故答案為：．15．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的頂點坐標是（2，﹣1）．【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)為y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2﹣4，∴其頂點為（2，﹣1）．故答案為：（7，﹣1）．16．（3分）某城鎮(zhèn)2022年的出生人口為5萬人，連續(xù)兩年下降，2024年的出生人口為3.2萬人20%．【解答】解：設年平均下降率是x，根據(jù)題意列一元二次方程得：5（1﹣x）5＝3.2，整理得，7x2﹣10x+1.2＝0，解得：x1＝2.8（不合題意，舍去），x2＝2.2＝20%，故答案為：20%．17．（3分）折扇是南京著名的傳統(tǒng)手工藝制品之一、某折扇展開后，扇形的半徑為30cm，面積為360πcm2，則此扇形的圓心角為144度．【解答】解：設扇形的圓心角為n°，∵該扇形的半徑為30cm，面積為360πcm2，∴，解得：n＝144，故答案為：144．18．（3分）已知，△ABC中，AB＝AC，交AC所在直線于P，若∠APE＝54°72°或18°．【解答】解：分為兩種情況：①如圖1，∵PE是AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，∴∠A＝∠ABP＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝72°；②如圖2，∵PE是AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∴∠PAB＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，∴∠PAB＝∠ABP＝36°，∴∠BAC＝144°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝18°，故答案為：72°或18°．19．（3分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖1）．某數(shù)學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：△ABC為等邊三角形，AD、BE、CF圍成的△DEF也是等邊三角形．已知點D、E、F分別是BE、CF、AD的中點，則△DEF的面積是2．【解答】解：連接BF，∵點D、E、F分別是BE、AD的中點，∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF（等底同高的兩個三角形面積相等），∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠DEF＝∠EFD＝60°（等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°），AB＝BC＝AC，∴∠ADB＝∠BEC＝∠AFC＝120°，∵∠ABD+∠BAD＝∠ABD+∠EBC＝∠ECB+∠FCA＝∠ECB+∠EBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC＝∠FCA，∴△ABD≌△BCD≌△CAF（AAS），∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC（全等三角形的面積相等），∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△ED＝7S△DEF，∵S△ABC＝14，∴S△DEF＝4，故答案為：2．20．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AD＝AE，CD＝3，2∠AEC+∠B＝180°，則AB的長為．【解答】解：如圖所示，過點A作AG⊥BC于G，連接AC，∵∠BCD＝90°，則四邊形AGCT是矩形，∴∠GAT＝90°，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠EAG＝∠TAD＝90°﹣∠DAG，在△AEG與△ADT中，，∴△AEG≌△ADT（AAS），∴AG＝AT，∴四邊形AGCT是正方形，∴∠ACG＝∠ACT＝45°，CG＝CT，如圖所示，在CE上取一點H，連接AH，又∵AC＝AC，∴△ACH≌△ACD（SAS），∴AH＝AD，∴AE＝AH，∴，∴AG＝CG＝CH+HG＝6，設∠B＝2m，∵2∠AEC+∠B＝180°，∴，∴∠BAH＝180°﹣∠B﹣∠ABH＝90°﹣m，∴∠BAH＝∠AHB，∴AB＝BH，設BE＝x，則AB＝BH＝x+6，在Rt△ABG中，由勾股定理得AB3＝AG2+BG2，即（x+8）2＝63+（x+3）2，解得，∴，故答案為：．三、解答題21．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2cos60°+sin45°．【解答】解：＝＝＝＝，∵x＝2cos60°+sin45°＝4+，∴原式＝．22．（9分）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小格的頂點叫做格點，點A，B，C，D均在小正方形格點上；（1）將線段AB先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到線段EF（A的對應點為E）；（2）將線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QD；（3）在線段EF上畫出點P，使得BP+QP的值最小，并直接寫出PQ的長．【解答】解：（1）如圖，線段EF即為所求．（2）如圖，線段QD即為所求．（3）如圖，連接BQ交線段EF于點P，則點P即為所求．由勾股定理得，，取格點G，H，∵PG∥HQ，∴△BGP∽△BHQ，∴，∴，∴．23．（9分）為了參加市舉辦“創(chuàng)新人才”知識競賽活動，我區(qū)開展了預賽，400名學生參加此次比賽分組頻數(shù)頻率50.5﹣60.540.0860.5﹣70.5670.5﹣80.5160.3280.5﹣90.590.5﹣100.580.16合計1.00（1）一共抽取了多少名學生？（2）補全頻數(shù)分布直方圖，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第70.5～80.5組（填范圍）；（3）若90分以上成績?yōu)閮?yōu)秀，估計我區(qū)獲得優(yōu)秀學生約有多少名？【解答】解：（1）∵4÷0.08＝50，∴一共抽取的學生人數(shù)為50名；（2）80.8～90.5這組的頻數(shù)為：50﹣4﹣4﹣16﹣8＝16，補全頻數(shù)分布直方圖如圖，∵共抽取的學生人數(shù)為50名，中位數(shù)應為第25名與26名學生成績的平均數(shù)，由表可知前三組人數(shù)和為26，故中位數(shù)落在第3組，即分數(shù)在70.7～80.5范圍內(nèi)；故答案為：70.5～80.2；（3）400×0.16＝64（名），答：估計我區(qū)獲得優(yōu)秀學生約有64名．24．（9分）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C，DE∥AC，CE和DE交于點E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當OD＝1，時，求sin∠AED的值．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形ODEC是平行四邊形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四邊形ODEC是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝，AC⊥BD，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝5，∵四邊形ODEC是矩形，∴CE＝OD＝1，∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝，∵AC∥DE，∴∠AED＝∠CAE，∴sin∠AED＝sin∠CAE＝＝＝．25．（9分）某中學組織學生去福利院慰問，在準備禮品時發(fā)現(xiàn)，購買1個甲禮品比購買1個乙禮品多花40元（1）求甲、乙兩種禮品的單價各為多少元？（2）學校準備購買甲、乙兩種禮品共30個送給福利院的老人，要求購買禮品的總費用不超過2000元，那么最多可購買多少個甲禮品？【解答】解：（1）設購買一個乙禮品需要x元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗x＝60是原方程的根，∴x+40＝100．答：甲禮品100元，乙禮品60元；（2）設總費用不超過2000元，可購買m個甲禮品，根據(jù)題意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5．答：最多可購買5個甲禮品．26．（9分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圓，點E在上，連接BE、DE上連接BF、DF，BF與DE、DA分別交于點G、點H（1）如圖1，求證：∠CBE＝∠DHG；（2）如圖2，在線段AH上取一點N（點N不與點A、點H重合），連接BN交DE于點L，過點E作EP⊥BN，垂足為點P，求證：BE＝HK；（3）如圖3，在（2）的條件下，當3HF＝2DF時，連接BR，若△BER的面積與△DHK的面積的差為【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵∠F＝∠A＝90°，∴∠F＝∠ABC，∵DA平分∠EDF，∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ABE＝∠ADF，∵∠CBE＝∠ABC+∠ABE，∠DHG＝∠F+∠ADF，∴∠CBE＝∠DHG；（2）如圖2，過H作HM⊥KD，∵∠F＝90°，∴HF⊥FD，∵DA平分∠EDF，∴HM＝FH，∵FH＝BP，∴HM＝BP，∵KH∥BN，∴∠DKH＝∠DLN，∴∠ELP＝∠DLN，∴∠DKH＝∠ELP，∵∠BED＝∠A＝90°，∴∠BEP+∠LEP＝90°，∵EP⊥BN，∴∠BPE＝∠EPL＝90°，∴∠LEP+∠ELP＝90°，∴∠BEP＝∠ELP＝∠DKH，∵HM⊥KD，∴∠KMH＝∠BPE＝90°，∴△BEP≌△HKM，∴BE＝HK；（3）解：如圖4，連接BD，∵3HF＝2DF，BP＝FH，∴設HF＝3a，DF＝3a，∴BP＝FH＝2a，由（2）得：HM＝BP，∠HMD＝90°，∵∠F＝∠A＝90°，∴tan∠HDM＝tan∠FDH，∴＝＝，∴DM＝3a，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠ABF＝∠ADF＝∠ADE，∠DBF＝45°﹣∠ABF，∴∠DBF＝∠BDE，∵∠BED＝∠F，BD＝BD，∴△BED≌△DFB，∴BE＝FD＝2a，過H作HS⊥BD，垂足為S，∵tan∠ABH＝tan∠ADE＝＝，∴設AB＝4m，AH＝2m，∴BD＝AB＝6mm，∵sin∠ADB＝＝，∴HS＝m，∴DS＝＝m，∴BS＝BD﹣DS＝5m，∴tan∠BDE＝tan∠DBF＝＝，∵∠BDE＝∠BRE，∴tan∠BRE＝＝，∵BP＝FH＝2a，∴RP＝10a，在ER上截取ET＝DK，連接BT，∴△BET≌△HKD，∴∠BTE＝∠KDH，∴tan∠BTE＝tan∠KDH，∴＝，即PT＝3a，∴TR＝RP﹣PT＝7a，∵S△BER﹣S△DHK＝，∴BP?ER﹣，∴BP?（ER﹣DK）＝，∴×2a×7a＝，解得：a＝（負值舍去），∴BP＝1，PR＝5，則BR＝＝．27．（9分）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝a（x+5）（x﹣8）（a≠0），交y軸于點C，．（1）如圖1，求拋物線解析式；（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PE⊥BC于點E，設PE的長為d，點P的橫坐標為t（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點