2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)分形理論初步試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）分形理論的創(chuàng)始人是（）A.愛因斯坦B.本華·曼德博C.牛頓D.歐拉下列圖形中，不屬于分形幾何研究對(duì)象的是（）A.科赫曲線B.正方形C.謝爾賓斯基地毯D.海岸線輪廓分形的核心特征是（）A.對(duì)稱性B.自相似性C.光滑性D.周期性科赫曲線的生成過程中，每次迭代將線段中間的1/3部分替換為（）A.等邊三角形的兩條邊B.正方形的三條邊C.圓弧D.線段若一個(gè)分形圖形經(jīng)過n次迭代后，線段總數(shù)為3?，則該分形的迭代規(guī)則可能是（）A.每次將線段分為2段B.每次將線段分為3段并保留2段C.每次將線段分為4段并保留3段D.每次將線段分為5段并保留4段謝爾賓斯基地毯的初始圖形是一個(gè)正方形，第1次迭代將其分成9個(gè)小正方形并挖去中心1個(gè)，第2次迭代對(duì)剩余8個(gè)小正方形重復(fù)上述操作。經(jīng)過3次迭代后，保留的小正方形數(shù)量為（）A.8B.64C.512D.4096分形的“分?jǐn)?shù)維度”是指（）A.維度為負(fù)數(shù)B.維度為小數(shù)或無理數(shù)C.維度隨時(shí)間變化D.維度等于拓?fù)渚S度英國海岸線的分形維數(shù)約為1.26，這意味著它的復(fù)雜程度（）A.低于直線（1維）B.介于直線（1維）和平面（2維）之間C.高于平面（2維）D.等于空間（3維）下列自然現(xiàn)象中，不具有分形特征的是（）A.雪花的結(jié)晶結(jié)構(gòu)B.山脈的輪廓線C.鐘乳石的生長形態(tài)D.平靜湖面的波紋若某個(gè)分形圖形的迭代公式為“每次將線段長度縮小為原來的1/3，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍”，則其分形維數(shù)D滿足的方程是（）A.3?=4B.4?=3C.2?=3D.3?=2二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）分形理論中，“自相似性”是指圖形的______與______在結(jié)構(gòu)上具有相似性?？低袪柸旨臉?gòu)造過程是：從區(qū)間[0,1]開始，每次去掉中間1/3的開區(qū)間。經(jīng)過2次迭代后，剩余區(qū)間的總長度為______?？坪涨€經(jīng)過第1次迭代后，線段總長度是初始長度的______倍；經(jīng)過第n次迭代后，總長度為初始長度的______倍（用含n的代數(shù)式表示）。分形維數(shù)的計(jì)算公式為D=lnK/lnL，其中L是圖形的放大倍數(shù)，K是對(duì)應(yīng)部分的數(shù)量。若一個(gè)分形的L=2，K=3，則其分形維數(shù)D≈______（精確到0.01）。自然界中的分形可以分為“有規(guī)分形”和“無規(guī)分形”，例如科赫曲線屬于______，云朵輪廓屬于______。若將一個(gè)等邊三角形作為初始圖形，每次迭代將每條邊替換為“中間1/3處向外凸起的等邊三角形”，則經(jīng)過3次迭代后，該圖形的邊數(shù)為______。三、解答題（本大題共5小題，共46分）17.（8分）簡述科赫曲線的生成步驟，并畫出其前3次迭代的圖形。18.（10分）謝爾賓斯基地毯的迭代規(guī)則如下：初始圖形：邊長為1的正方形（面積S?=1）。第1次迭代：將正方形分成3×3的網(wǎng)格，挖去中心1個(gè)小正方形，剩余8個(gè)小正方形（每個(gè)邊長為1/3）。第2次迭代：對(duì)剩余的每個(gè)小正方形重復(fù)上述操作。（1）計(jì)算第2次迭代后剩余圖形的總面積S?；（2）寫出第n次迭代后剩余圖形總面積S?的表達(dá)式，并說明當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，S?的變化趨勢(shì)。19.（10分）分形藝術(shù)家用迭代法設(shè)計(jì)了一種“樹枝分形”：第0代：1條長度為L的線段（樹干）。第1代：將樹干頂端分為2條支線，每條支線長度為樹干的1/2，與樹干夾角為60°。第2代：對(duì)每條支線重復(fù)第1代的操作。（1）計(jì)算第3代分形的支線總數(shù)量；（2）若樹干初始長度L=1米，求第3代分形的所有支線總長度。20.（8分）用分形維數(shù)公式D=lnK/lnL計(jì)算以下圖形的分形維數(shù)：圖形A：每次迭代將線段分為4段，每段長度為原線段的1/3，保留所有4段。圖形B：每次迭代將線段分為5段，每段長度為原線段的1/2，保留其中3段。（注：ln2≈0.693，ln3≈1.098，ln4≈1.386，ln5≈1.609，結(jié)果精確到0.01）21.（10分）閱讀以下材料，回答問題：材料：自然界中的雪花具有典型的分形特征。當(dāng)水蒸氣在云層中結(jié)晶時(shí)，冰晶會(huì)以“分叉生長”的方式形成雪花，每個(gè)分叉又會(huì)按照相似的規(guī)則繼續(xù)分叉，最終形成復(fù)雜的六角形結(jié)構(gòu)。（1）雪花的分形生長體現(xiàn)了分形的什么特征？（2）若一片雪花的初始冰晶長度為0.1mm，每次分叉后新生成的小冰晶長度為原冰晶的1/3，且每條冰晶在生長過程中會(huì)分叉出2條新冰晶。經(jīng)過4次分叉后，這片雪花的冰晶總數(shù)量是多少？總長度是多少？四、探究題（本大題共1小題，共20分）22.分形圖案的創(chuàng)意設(shè)計(jì)與計(jì)算某數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃設(shè)計(jì)一個(gè)“分形花朵”圖案，規(guī)則如下：初始圖形（第0代）：一個(gè)正五邊形，邊長為a。迭代規(guī)則：將每條邊三等分，以中間1/3的線段為底邊，向外作一個(gè)新的正五邊形（不重疊）；去掉每條邊中間的1/3線段，保留新正五邊形的兩條邊與原邊的剩余部分。（1）（4分）畫出第1代分形花朵的示意圖（只需標(biāo)注關(guān)鍵結(jié)構(gòu)）；（2）（6分）計(jì)算第1代分形花朵的總邊數(shù)；（3）（10分）若初始正五邊形邊長a=3cm，計(jì)算第2代分形花朵的周長（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）。