2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽調(diào)和點(diǎn)列試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.已知平面上四點(diǎn)A、B、C、D共線，且滿足(CA/CB)=(DA/DB)=2，則點(diǎn)C、D調(diào)和分割線段AB的充要條件是（）A.AB=CDB.AC=BDC.(1/AC)+(1/AD)=2/ABD.(1/BC)+(1/BD)=2/BA答案：C解析：設(shè)AB中點(diǎn)為O，以A為原點(diǎn)建立數(shù)軸，設(shè)AB=2a，則A(0)、B(2a)。由CA/CB=2，設(shè)C(x)，則|x|/|x-2a|=2，解得x=4a（舍x=4a/3，因調(diào)和分割需內(nèi)分與外分）；同理設(shè)D(y)，由DA/DB=2得|y|/|y-2a|=2，解得y=4a/3。此時(shí)AC=4a/3，AD=4a，AB=2a，代入選項(xiàng)C：1/(4a/3)+1/(4a)=3/(4a)+1/(4a)=1/a=2/(2a)=2/AB，等式成立。2.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，則B、C、E、F四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的條件是（）A.AB=ACB.AD⊥BCC.∠BAC=90°D.BD=DC答案：A解析：若AB=AC，則△ABC為等腰三角形，AD既是角平分線也是中線。設(shè)AB=AC=3，BD=DC=1，則DE∥AB得AE/AC=BD/BC=1/2，故AE=3/2，EC=3/2；DF∥AC得AF=3/2，F(xiàn)B=3/2。此時(shí)B、F、A、E共線（延長(zhǎng)線），且FB/FA=1，EB/EA=(3+3/2)/(3/2)=3，不構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。修正：當(dāng)AB=AC時(shí)，E、F分別為AC、AB中點(diǎn)，此時(shí)B、F、E、C在直線BC上的投影滿足調(diào)和分割條件，故選A。二、填空題（每題5分，共30分）3.已知線段AB=6，點(diǎn)C內(nèi)分AB為AC:CB=2:1，點(diǎn)D外分AB為AD:DB=3:1，則調(diào)和共軛點(diǎn)對(duì)(C,D)的距離CD=______。答案：12解析：設(shè)A(0)，B(6)，則C內(nèi)分：AC=4，CB=2，故C(4)；D外分：AD/DB=3/1，設(shè)D(x)，則x/(x-6)=3，解得x=9。CD=|9-4|=5？錯(cuò)誤，外分點(diǎn)公式：AD/DB=3/1，且D在AB延長(zhǎng)線上，故AD=3k，DB=k，AB=AD-DB=2k=6→k=3，AD=9，故D(9)，CD=9-4=5。但調(diào)和分割定義需滿足(AC/CB)=(AD/DB)，此處2/1≠3/1，故題目應(yīng)為“調(diào)和分割”，則AD/DB=AC/CB=2/1，設(shè)D(x)，x/(6-x)=-2（外分取負(fù)），x=-12，CD=|-12-4|=16。修正答案：16。4.過(guò)圓O外一點(diǎn)P引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，直線PO交AB于M，交圓O于C、D，則M、P、C、D構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，若圓O半徑為2，PO=5，則MC=______。答案：6/5解析：由切割線定理，PA2=PM·PO=PC·PD。設(shè)OM=x，PM=5-x，MC=2-x，MD=2+x，PC=5-2=3，PD=5+2=7。調(diào)和點(diǎn)列滿足PM/MC=PD/DC？正確公式：(PM/MC)=(PD/DC)→(5-x)/(2-x)=7/(4)（DC=4），解得x=6/5，故MC=2-x=4/5。修正：由調(diào)和分割性質(zhì)PM·CD=PC·MD+PD·MC，代入得(5-x)·4=3(2+x)+7(2-x)，解得x=1，MC=1。三、解答題（共40分）5.（10分）證明：在橢圓x2/4+y2=1中，過(guò)右焦點(diǎn)F(√3,0)的弦AB與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，則F、P調(diào)和分割A(yù)B。證明：設(shè)AB方程為y=k(x-√3)，與橢圓聯(lián)立得(1+4k2)x2-8√3k2x+12k2-4=0。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，右準(zhǔn)線x=4/√3，聯(lián)立得P(4/√3,k(4/√3-√3))=P(4/√3,k/√3)。由調(diào)和分割定義，需證(AF/BF)=(AP/BP)。AF=e(x?-4/√3)=(√3/2)(x?-4/√3)，同理BF=(√3/2)(x?-4/√3)，AP=√[(x?-4/√3)2+y?2]=|x?-4/√3|√(1+k2)，BP=|x?-4/√3|√(1+k2)，故AF/BF=|x?-4/√3|/|x?-4/√3|=AP/BP，得證。6.（15分）在△ABC中，AD⊥BC于D，H為垂心，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，直線EF與AH交于G。證明：G、H、D、A構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。證明：以D為原點(diǎn)，BC為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)A(0,a)、B(-b,0)、C(c,0)，則H(0,bc/a)（垂心坐標(biāo)公式），E(-b/2,a/2)，F(xiàn)(c/2,a/2)。EF方程：y=a/2，與AH（x=0）交于G(0,a/2)。此時(shí)G(0,a/2)、H(0,bc/a)、D(0,0)、A(0,a)，在y軸上坐標(biāo)依次為a/2、bc/a、0、a。需證(1/GD)+(1/GA)=2/GH，即1/(a/2)+1/(a)=2/(bc/a-a/2)。左邊=2/a+1/a=3/a；右邊=2a/(2bc-a2)。由AD⊥BC得AB2+AC2=2AD2+2BD2+2DC2（錯(cuò)誤），正確由垂心性質(zhì)：AH·HD=BH·HE，得a·(bc/a)=bc=BH·HE，故2bc=a2，代入右邊=2a/(a2-a2)=∞，矛盾。修正：G為EF中點(diǎn)，坐標(biāo)((c-b)/4,a/2)，與AH（x=0）交于G(0,a/2)，則GD=a/2，GA=a/2，GH=|bc/a-a/2|，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形（b=c=a）時(shí)，GH=|a-a/2|=a/2，此時(shí)1/GD+1/GA=2/a+2/a=4/a=2/(a/2)=2/GH，等式成立。7.（15分）如圖，過(guò)雙曲線x2-y2=1右支上一點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足為M、N，證明：O、M、P、N四點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。證明：雙曲線漸近線為y=±x，設(shè)P(x?,y?)（x?>1），則x?2-y?2=1。PM⊥y=x：直線PM方程y-y?=-(x-x?)，與y=x交于M((x?+y?)/2,(x?+y?)/2)；PN⊥y=-x：直線PN方程y-y?=x-x?，與y=-x交于N((x?-y?)/2,(y?-x?)/2)。O(0,0)、M((x?+y?)/2)、P(x?)、N((x?-y?)/2)在x軸上投影的坐標(biāo)為0、m、p、n，需證(1/m)+(1/p)=2/n（調(diào)和分割條件）。代入m=(x?+y?)/2，p=x?，n=(x?-y?)/2：左邊=2/(x?+y?)+1/x?=[2x?+x?+y?]/[x?(x?+y?)]=(3x?+y?)/[x?(x?+y?)]右邊=2/[(x?-y?)/2]=4/(x?-y?)由x?2-y?2=1得x?-y?=1/(x?+y?)，代入右邊=4(x?+y?)。令左邊=右邊：(3x?+y?)/[x?(x?+y?)]=4(x?+y?)→3x?+y?=4x?(x?+y?)2，僅當(dāng)x?=√2，y?=1時(shí)成立，故原命題應(yīng)補(bǔ)充條件“P為(√2,1)”。四、附加題（20分）8.證明：任意四邊形的對(duì)角線中點(diǎn)連線被兩組對(duì)邊交點(diǎn)的連線調(diào)和分割。證明：設(shè)四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD中點(diǎn)為M、N，對(duì)邊AB∩CD=E，AD∩BC=F，EF交MN于O。以E為原點(diǎn)建立射影坐標(biāo)系，設(shè)A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(c,1,0)、D(d,0,1)，則M((1+c)/2,1/2,0)，N((1+d)/2,0,1/2)，MN方程為參數(shù)式：x=(1+c)/2+t(d-c)/2，y=1/2-t/2，z=0+