2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽科研入門試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）已知非零實數(shù)(a,b)滿足(a^2+b^2=4ab)，則(\frac{a^4+b^4}{a^2b^2})的值為（）A.12B.14C.16D.18如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(E)為(BC)中點，點(F)在(CD)上且(CF=2FD)，連接(AE)、(BF)交于點(G)，則(\triangleAGB)的面積為（）A.10B.12C.14D.16若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩個根為連續(xù)整數(shù)，則(m)的值為（）A.-3或4B.-4或3C.-2或5D.-5或2定義新運算“(\otimes)”：(a\otimesb=\frac{a+b}{1-ab})（(ab\neq1)），則滿足((2\otimesx)\otimes3=-1)的(x)值為（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{1}{3})C.(-\frac{1}{4})D.(-\frac{1}{5})從1到2025的所有正整數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，且被5除余1的數(shù)共有（）個A.268B.272C.276D.280二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）已知(a+b+c=0)，(a^2+b^2+c^2=12)，則(ab+bc+ca=)__________。如圖，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圓，(AD)是直徑，(AE)是(\triangleABC)的高，若(AB=6)，(AC=8)，(AE=4.8)，則(\odotO)的半徑為__________。若實數(shù)(x,y)滿足(x^2+4y^2=4x)，則(x+y)的最大值為__________。一個不透明的袋子中裝有5個紅球、3個白球和2個黑球，從中隨機摸出3個球，恰好是“兩紅一黑”的概率為__________。已知正整數(shù)(n)滿足(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{107}{1050})，則(n=)__________。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題25分，滿分85分）11.（本題滿分20分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖象過點(A(-1,0))、(B(3,0))，且與(y)軸交于點(C(0,3))。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(P)是拋物線上一動點，過點(P)作(PD\perpx)軸于點(D)，交直線(BC)于點(E)，若(PE=2ED)，求點(P)的坐標(biāo)。12.（本題滿分20分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=100^\circ)，點(D)在(BC)邊上，且(BD=BA)，點(E)在(AC)邊上，且(AE=AD)，連接(DE)。（1）求證：(\triangleADE)是等腰三角形；（2）求(\angleCDE)的度數(shù)。13.（本題滿分20分）某商店銷售一種成本為每件30元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(x)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：(y=-2x+160)（(30\leqx\leq60)）。（1）設(shè)商店每天銷售該商品的利潤為(w)元，求(w)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店每天的進貨成本不超過1500元，求該商品銷售單價的取值范圍，并求出最大利潤。14.（本題滿分25分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(A(0,4))，點(B(6,0))，點(P)是線段(AB)上一動點（不與(A)、(B)重合），過點(P)分別作(PD\perpy)軸于點(D)，(PE\perpx)軸于點(E)，連接(DE)。（1）設(shè)(P)點橫坐標(biāo)為(t)，用含(t)的代數(shù)式表示(DE)的長度；（2）在點(P)運動過程中，是否存在(\trianglePDE)為等腰直角三角形？若存在，求出此時(t)的值；若不存在，說明理由；（3）以(DE)為斜邊作等腰直角三角形(DEF)（點(F)在第一象限），直接寫出點(F)運動的路徑長。四、拓展探究題（共1題，滿分25分）15.（本題滿分25分）定義：對于正整數(shù)(k)，若存在正整數(shù)(m,n)（(m<n)），使得(k=\frac{n^2-m^2}{4})，則稱(k)為“等差平方數(shù)”。（1）判斷21和30是否為“等差平方數(shù)”，并說明理由；（2）若(k)為“等差平方數(shù)”，且(k\leq100)，求所有滿足條件的(k)的值；（3）證明：所有“等差平方數(shù)”均可表示為兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅提供思路）一、選擇題B（提示：將原式變形為((a^2+b^2)^2-2a^2b^2)）B（提示：建立坐標(biāo)系求交點坐標(biāo)）A（提示：利用根與系數(shù)關(guān)系及連續(xù)整數(shù)性質(zhì)）C（提示：分步代入新運算公式）D（提示：容斥原理結(jié)合等差數(shù)列）二、填空題-6（提示：((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))）5（提示：利用三角形面積與外接圓半徑關(guān)系）(2+\sqrt{5})（提示：參數(shù)法或二次函數(shù)求最值）(\frac{5}{24})（提示：組合數(shù)計算概率）14（提示：通分后估算(n)范圍）三、解答題（1）(y=-x^2+2x+3)；（2）((1,4))或((2,3))（1）通過角度計算得(AD=DE)；（2）(10^\circ)（1）(w=-2x^2+220x-4800)；（2）單價范圍([30,35])，最大利潤800元（1）(DE=\frac{5}{3}t)；（2）(t=\frac{12}{7})或(t=\frac{24}{7})；（3）路徑長(2\sqrt{5})四、拓展探究題（1）21是，30不是；（2）1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91；（3）利用代數(shù)變形證明(k=m(m+1))命題說明知識覆蓋：涵蓋代數(shù)（函數(shù)、方程、不等式）、幾何（三角形、