2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)班試卷一、選擇題（共6小題，每題5分，共30分）已知正整數(shù)(a)、(b)滿足(a+b=2025)，且(\gcd(a,b)=45)，則(\text{lcm}(a,b))的值為（）A.45×44×46B.45×45×45C.45×44×45D.45×46×46若關(guān)于(x)的方程(x^2+(m+2)x+m+5=0)的兩根均為正數(shù)，則(m)的取值范圍是（）A.(m\leq-4)B.(-5<m\leq-4)C.(m\geq4)D.(-5\leqm\leq-4)在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(O)為(\triangleABC)的外心，則(OA)的長(zhǎng)度為（）A.(\frac{25}{8})B.(\frac{15}{4})C.(\frac{25}{6})D.(\frac{125}{24})函數(shù)(y=|x-1|+|x-2|+|x-3|)的最小值為（）A.1B.2C.3D.4從1到2025的所有正整數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.810B.972C.1020D.1134將數(shù)字1~9填入3×3的方格中，使每行、每列及兩條對(duì)角線的和均相等，則中心格的數(shù)字為（）A.3B.5C.7D.9二、填空題（共4小題，每題6分，共24分）已知(a+\frac{1}{a}=3)，則(a^4+\frac{1}{a^4}=)________。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(diǎn)(E)、(F)分別在(BC)、(CD)上，且(BE=2)，(DF=3)，則(\triangleAEF)的面積為________。滿足(2x+3y=2025)的正整數(shù)解((x,y))的組數(shù)為________。在不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，則至少有1個(gè)紅球的概率為________。三、解答題（共5小題，共96分）11.（18分）已知關(guān)于(x)的二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的圖像過點(diǎn)((1,2))、((-1,6))，且與(x)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（1）求(a)、(b)滿足的關(guān)系式；（2）若(a)為正整數(shù)，求函數(shù)圖像頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值。12.（20分）如圖，(\odotO)為(\triangleABC)的外接圓，(AD)平分(\angleBAC)交(\odotO)于點(diǎn)(D)，(DE\perpAB)于點(diǎn)(E)，(DF\perpAC)于點(diǎn)(F)。（1）求證：(BE=CF)；（2）若(AB=7)，(AC=5)，(BC=6)，求(DE)的長(zhǎng)度。13.（20分）（1）證明：任意三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積必能被6整除；（2）求所有正整數(shù)(n)，使得(n^2+2n+3)能被7整除。14.（20分）某商店銷售(A)、(B)兩種商品，已知每件(A)商品的利潤(rùn)率為50%，每件(B)商品的利潤(rùn)率為30%。若售出(A)商品(x)件，(B)商品(y)件，總利潤(rùn)為2100元，且(x)、(y)均為正整數(shù)。（1）若(A)商品的進(jìn)價(jià)為100元/件，(B)商品的進(jìn)價(jià)為50元/件，求(x)、(y)的所有可能取值；（2）若(A)商品的售價(jià)是(B)商品售價(jià)的2倍，且總進(jìn)價(jià)不超過5000元，求(x)的最大值。15.（18分）（1）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))、(B(0,1))，點(diǎn)(P)在直線(y=x)上，求(|PA|+|PB|)的最小值；（2）在1~2025的正整數(shù)中，任取(k)個(gè)數(shù)，使得其中必有兩個(gè)數(shù)的差為5，求(k)的最小值。附加題（共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知(a)、(b)、(c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，求證：(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9)，并指出等號(hào)成立的條件。在(Rt\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，點(diǎn)(P)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且(PA=2PC)，求(PB)的最小值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）選擇題：1.A2.B3.D4.B5.B6.B填空題：7.478.209.33710.(\frac{11}{12})解答題11：（1）(b=-2)，(a+c=4)；（2）頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值為(-\frac{1}{3})。解答題