2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則∠EDF的度數(shù)為（）A.70°B.110°C.130°D.140°如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為（）A.50°B.80°C.100°D.130°下列命題中正確的是（）A.三角形的外心到三邊距離相等B.菱形的對(duì)角線相等且互相垂直C.矩形的對(duì)角線互相垂直平分D.等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與斜邊AB有唯一公共點(diǎn)，則r的取值范圍是（）A.r=2.4B.3<r≤4C.r=2.4或3<r≤4D.2.4≤r≤4如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A'、D'處，則陰影部分的面積為（）A.12B.15C.18D.24二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，則△ABC的面積為_(kāi)_______。一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于30°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是________度。如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC=________。如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠APB=60°，PA=4，則⊙O的半徑為_(kāi)_______。如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF。在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF的面積保持不變；③AD=DC；④EF的長(zhǎng)度的最小值為2。其中正確的結(jié)論有________（填序號(hào)）。三、解答題（共4小題，第11、12題每題15分，第13、14題每題20分，滿分70分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：四邊形BCED是等腰梯形。證明：∵AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A+∠B+∠C=180°∴∠ADE=∠B∴DE∥BC∵AB=AC，AD=AE∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE∵BD=CE且DE∥BC∴四邊形BCED是等腰梯形如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，BD=DF。求證：CF=EB。證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE，∠C=∠DEB=90°在Rt△DCF和Rt△DEB中∵DF=BD，DC=DE∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）∴CF=EB如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠BAC=120°，AB=8，求DE的長(zhǎng)。（1）證明：連接OD∵AB=AC∴∠B=∠C∵OB=OD∴∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半徑∴DE是⊙O的切線（2）解：連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∵AB=AC=8，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，BD=CD在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=8×sin30°=4BD=AB·cosB=8×cos30°=4√3∴BC=2BD=8√3∵S△ABC=1/2·BC·AD=1/2·AC·DE∴1/2×8√3×4=1/2×8×DE解得DE=4√3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿y軸負(fù)方向向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿x軸正方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）用含t的代數(shù)式表示線段OP、CQ的長(zhǎng)度；（2）連接PQ，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求t的值；（3）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）∵點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（8，0）∴OA=6，OB=8∵P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒∴AP=t，BQ=t∴OP=OA-AP=6-tCQ=BQ=t（當(dāng)t≤8時(shí)）或CQ=t-8（當(dāng)t>8時(shí)）（2）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△OPQ∽△OAB∴OP/OA=OQ/OB∵OQ=OB+BQ=8+t∴(6-t)/6=(8+t)/8解得t=24/7（3）存在最小值∵OP=6-t，OQ=8+t∴PQ=√[OP2+OQ2]=√[(6-t)2+(8+t)2]=√(t2-12t+36+t2+16t+64)