2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽同余應(yīng)用試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）若正整數(shù)a,b滿足a≡3(mod4)，b≡2(mod4)，則ab的個(gè)位數(shù)字是（）A.2B.4C.6D.8已知2025≡x(mod7)，則x的值為（）A.1B.2C.3D.4滿足方程2x≡1(mod5)的最小正整數(shù)解是（）A.2B.3C.4D.5今天是星期六，再過(guò)2025天是星期（）A.一B.三C.五D.日若整數(shù)a滿足a≡1(mod3)且a≡2(mod5)，則a的最小值是（）A.7B.8C.11D.13二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）20252除以9的余數(shù)是________。若3?≡1(mod7)，則正整數(shù)n的最小值是________。滿足1≤x≤2025且x≡3(mod11)的整數(shù)x共有________個(gè)。已知a≡5(mod8)，b≡3(mod8)，則a2+b2≡________(mod8)。一個(gè)兩位數(shù)，它除以5余3，除以7余2，則這個(gè)兩位數(shù)是________。三、解答題（共4小題，滿分60分）（14分）解同余方程組：[\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases}]（14分）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，n?-n能被5整除。（16分）某數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求滿足條件的最小正整數(shù)。（16分）現(xiàn)有2025個(gè)球，按1,2,3,...,2025編號(hào)。甲乙兩人輪流取球，每次取球數(shù)量必須是當(dāng)前球數(shù)除以5的余數(shù)加1。如果甲先取，誰(shuí)有必勝策略？說(shuō)明理由。四、綜合題（共2小題，滿分30分）（15分）證明：若a,b都是整數(shù)，則a3+b3+c3-3abc能被(a+b+c)整除。（15分）設(shè)n是正整數(shù)，證明：11??2+122??1能被133整除。五、拓展題（共2小題，滿分20分）（10分）求所有正整數(shù)n，使得2?≡n2(mod5)。（10分）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，10?+18?-1能被13整除。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.D3.B4.A5.B二、填空題07.68.1849.210.23三、解答題解：設(shè)x=3k+2，代入第二個(gè)方程得3k+2≡3(mod5)，即3k≡1(mod5)，解得k≡2(mod5)，令k=5m+2，則x=3(5m+2)+2=15m+8。再代入第三個(gè)方程得15m+8≡4(mod7)，即15m≡-4≡3(mod7)，因?yàn)?5≡1(mod7)，所以m≡3(mod7)，令m=7n+3，則x=15(7n+3)+8=105n+53。所以最小正整數(shù)解為53，通解為x=105n+53(n為非負(fù)整數(shù))。證明：根據(jù)費(fèi)馬小定理，對(duì)于任意整數(shù)n，n?≡n(mod5)，所以n?-n≡n-n≡0(mod5)，即n?-n能被5整除。解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意得：[\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases}]由第一個(gè)方程設(shè)x=3k+2，代入第二個(gè)方程得3k+2≡3(mod5)，解得k≡2(mod5)，令k=5m+2，則x=15m+8。代入第三個(gè)方程得15m+8≡4(mod7)，解得m≡3(mod7)，令m=7n+3，則x=105n+53。所以最小正整數(shù)解為53。解：2025除以5的余數(shù)為0，所以第一次取球數(shù)量為0+1=1個(gè)，甲取走1個(gè)后剩2024個(gè)。2024除以5余4，乙取4+1=5個(gè)，剩2019個(gè)。2019除以5余4，甲取5個(gè)，剩2014個(gè)...以此類推，每次兩人共取6個(gè)球。2025÷6=337...3，最后3個(gè)球由甲取走，所以甲有必勝策略。四、綜合題證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以能被(a+b+c)整除。證明：當(dāng)n=1時(shí)，113+123=1331+1728=3059，3059÷133=23，能被133整除。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，11??2+122??1能被133整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，11??3+122??3=11×11??2+144×122??1=11×11??2+11×122??1+133×122??1=11×(11??2+122??1)+133×122??1，因?yàn)?1??2+122??1能被133整除，133×122??1也能被133整除，所以11??3+122??3能被133整除。由數(shù)學(xué)歸納法知，原命題成立。五、拓展題解：當(dāng)n=1時(shí)，21=2，12=1，2≡1(mod5)不成立；n=2時(shí)，4≡4(mod5)成立；n=3時(shí)，8≡9(mod5)即3≡4(mod5)不成立；n=4時(shí)，16≡16(mod5)即1≡1(mod5)成立；n=5時(shí)，32≡25(mod5)即2≡0(mod5)不成立；n=6時(shí)，64≡36(mod5)即4≡1(mod5)不成立；n=7時(shí)，128≡49(mod5)即3≡4(mod5)不成立；n=8時(shí)，256≡64(mod5)即1≡4(mod5)不成立；n=9時(shí)，512≡81(mod5)即2≡1(mod5)不成立；n=10時(shí)，1024≡100(mod5)即4≡0(mod5)不成立；n=11時(shí)，2048≡121(mod5)即3≡1(mod5)不成立；n=12時(shí)，4096≡144(mod5)即1≡4(mod5)不成立；n=13時(shí)，8192≡169(mod5)即2≡4(mod5)不成立；n=14時(shí)，16384≡196(mod5)即4≡1(mod5)不成立；n=15時(shí)，32768≡225(mod5)即3≡0(mod5)不成立；n=16時(shí)，65536≡256(mod5)即1≡1(mod5)成立。觀察發(fā)現(xiàn)n=2,4,16時(shí)成立，推測(cè)當(dāng)n=2??、n=2???2時(shí)成立，所以所有正整數(shù)n為n=2,4,16,32,...證明：當(dāng)n=1時(shí)，10+18-1=27，27≡1(mod13)不成立；n=2時(shí)，100+324-1=423，423÷13=32.538...不成立；n=3時(shí)，1000+5832-1=6831，6831÷13=525.461...不成立；n=4時(shí)，10000+104976-1=114975，114975÷13=8844.230...不成立；n=5時(shí)，100000+1889568-1=1989567，1989567÷13=153043.615...不成立；n=6時(shí)，1000000+34012224-1=35012223，35012223÷13=2693247.923...不成立；n=7時(shí)，10000000+612219936-1=622219935，622219935÷13=47863071.923...不成立；n=8時(shí)，100000000+10919958848-1=11019