2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽冬令營試卷一、一試（共8題，滿分120分）（一）選擇題（本題共6小題，每小題8分，滿分48分）已知函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+2\cos^2x)，則(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值為（）A.(\frac{5}{2})B.(\frac{3+\sqrt{2}}{2})C.3D.(\frac{3+\sqrt{5}}{2})已知正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，其外接球的表面積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)設(shè)復(fù)數(shù)(z)滿足(|z|=1)，且(\text{Re}(z^3)=\frac{1}{2})，則(\text{Im}(z))的取值范圍是（）A.([-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}])B.([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])C.([-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}])D.([-1,1])已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+2})，則(a_{2025}=)（）A.(\frac{4049}{2025})B.(\frac{4051}{2026})C.2025D.2026設(shè)集合(A={1,2,3,4,5})，映射(f:A\toA)滿足(f(f(f(x)))=x)對任意(x\inA)成立，則這樣的映射(f)的個數(shù)為（）A.10B.26C.60D.120已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|FB|)，且(\cos\angleAFB=\frac{3}{5})，則橢圓的離心率為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{2}}{2})C.(\frac{\sqrt{3}}{3})D.(\frac{\sqrt{5}}{5})（二）填空題（本題共6小題，每小題8分，滿分48分）7.若(x,y,z>0)，且(x+y+z=1)，則(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})的最小值為________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，則方程(f(x)=f(-x))的實(shí)根個數(shù)為________。在四面體(ABCD)中，(AB=CD=2)，(AC=BD=3)，(AD=BC=4)，則四面體的體積為________。設(shè)(n)為正整數(shù)，若((1+x)^n)的展開式中，含(x^2)項(xiàng)的系數(shù)與含(x^5)項(xiàng)的系數(shù)相等，則(n=)________。已知正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，則這樣的三元組((a,b,c))的個數(shù)為________。設(shè)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且(f(x+2)=f(x))，當(dāng)(x\in[0,1])時，(f(x)=x^3)，則方程(f(x)=\frac{1}{4})在區(qū)間([-2025,2025])上的解的個數(shù)為________。（三）解答題（本題共2小題，每小題12分，滿分24分）13.已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_1=1)，(S_{n+1}=4a_n+2)。（1）證明：數(shù)列({a_{n+1}-2a_n})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式。已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(M)在拋物線的準(zhǔn)線上，且(\angleAMB=90^\circ)。（1）證明：直線(AB)過定點(diǎn)；（2）求(\triangleABM)面積的最小值。二、二試（共4題，滿分180分）（一）幾何（本題滿分40分）15.如圖，在銳角(\triangleABC)中，(AB>AC)，(O)為外心，(H)為垂心，(AD)為高，(M)為(BC)的中點(diǎn)。延長(OH)交(BC)于點(diǎn)(E)，若(AE=AM)，證明：(\angleBAC=60^\circ)。（二）代數(shù)（本題滿分40分）16.設(shè)(x_1,x_2,\cdots,x_n)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且(x_1+x_2+\cdots+x_n=1)，記(S=\sum_{i=1}^nx_i^3)，(T=\sum_{1\leqi<j\leqn}x_ix_j(x_i+x_j))。證明：(S+T\geq\frac{1}{n^2})，并求等號成立的條件。（三）數(shù)論（本題滿分50分）17.求所有正整數(shù)(n)，使得存在正整數(shù)(a,b)，滿足(n=a+b)，且(a^2+b^2)是(ab+1)的倍數(shù)。（四）組合（本題滿分50分）18.給定正整數(shù)(n\geq2)，在一個(n\timesn)的方格表中，每個格子內(nèi)填入(0)或(1)。若任意兩個相鄰格子（有公共邊）內(nèi)的數(shù)字不同，則稱該方格表為“交替表”。求交替表中，所有行的數(shù)字之和均相等的概率。參考答案一、一試D2.C3.A4.B5.B6.A(\frac{1}{2})8.39.(\sqrt{14})10.711.34222512.2025（1）略；（2）(a_n=(3n-1)\cdot2^{n-2})（1）定點(diǎn)((1,0))；（2）最小值為8二、二試15.提示：利用外心、垂心的性質(zhì)及向量法證明。16.提示：通過不等式放縮或構(gòu)造函數(shù)證明，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(x_