2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽模擬試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx}$是定義在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$上的奇函數(shù)，則$f(\frac{\pi}{12})$的值為_(kāi)________。若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$且$\text{Re}(z)\geq0$，則$|z+1|$的取值范圍是_________。設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n^2}$，則$\sum_{k=1}^{2025}\frac{1}{a_k^2-1}$的值為_(kāi)________。在三棱錐$P-ABC$中，$PA=PB=PC=2$，$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=30^\circ$，一只螞蟻從$A$點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)恰好一次后回到$A$點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為_(kāi)________。已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦點(diǎn)為$F$，右頂點(diǎn)為$A$，上頂點(diǎn)為$B$，若$\triangleFAB$的外接圓半徑為$\frac{\sqrt{10}}{2}c$（其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$），則橢圓的離心率為_(kāi)________。設(shè)$x,y,z$為正實(shí)數(shù)，滿足$x+y+z=1$，則$\frac{x^4}{y(1-y)}+\frac{y^4}{z(1-z)}+\frac{z^4}{x(1-x)}$的最小值為_(kāi)________。用數(shù)字$1,2,3,4,5$組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中滿足"任意兩個(gè)相鄰數(shù)字的差的絕對(duì)值不小于2"的五位數(shù)共有_________個(gè)。已知集合$M={1,2,\cdots,2025}$，$A$是$M$的子集，且滿足對(duì)任意$x,y\inA$，若$x\neqy$，則$x+y$不是$3$的倍數(shù)，則集合$A$的元素個(gè)數(shù)的最大值為_(kāi)________。二、解答題（本大題共3小題，滿分56分）9.（本題滿分16分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。（1）若$a=0$，$b=1$，證明：當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)\geq0$；（2）若$f(x)$在$x=0$處取得極小值，求$a+b$的取值范圍。10.（本題滿分20分）已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，右焦點(diǎn)為$F$，過(guò)$F$的直線$l$與雙曲線$C$交于$A,B$兩點(diǎn)（點(diǎn)$A$在第一象限）。（1）若$l$的斜率為$\sqrt{2}$，且$|AB|=4\sqrt{6}$，求雙曲線$C$的方程；（2）設(shè)點(diǎn)$A$關(guān)于原點(diǎn)$O$的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為$A'$，點(diǎn)$B$關(guān)于$x$軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為$B'$，若$A',B',F$三點(diǎn)共線，求直線$l$的斜率。11.（本題滿分20分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n+\frac{1}{n}$，$n\in\mathbb{N}^*$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{n+1}$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，證明：$\frac{n}{2(n+1)}<S_n<\frac{n}{n+1}$；（3）設(shè)$c_n=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列${c_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。三、加試（本大題共4小題，每小題50分，滿分200分）1.（本題滿分50分）如圖，在銳角$\triangleABC$中，$AB>AC$，$O$為外心，$H$為垂心，$AD$為$BC$邊上的高，$M$為$BC$的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)$H$作$AD$的垂線，垂足為$P$。若$OH\parallelAP$，證明：$OD=PH$。2.（本題滿分50分）設(shè)正整數(shù)$n\geq2$，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是正實(shí)數(shù)，滿足$a_1+a_2+\cdots+a_n=1$。證明：$$\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{1-a_i}\geq\frac{1}{n-1}$$并說(shuō)明等號(hào)成立的條件。3.（本題滿分50分）求所有正整數(shù)$m,n$，使得$m^2+1$是$n$的倍數(shù)，且$n^2+1$是$m$的倍數(shù)。4.（本題滿分50分）設(shè)$S={1,2,\cdots,2025}$，對(duì)任意$a,b\inS$，定義$ab$為$ab$除以$2025$的余數(shù)。設(shè)$A$是$S$的子集，滿足：（1）對(duì)任意$a\inA$，存在$b\inA$，使得$ab=1$；（2）對(duì)任意$a,b\inA$，有$a*b\inA$。求集合$A$的元素個(gè)數(shù)的所有可能值。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、填空題$\sqrt{3}$$[\sqrt{2},2\sqrt{3}]$$-\frac{2024}{2025}$$2\sqrt{2+2\cos30^\circ}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{8}$141351二、解答題（部分提示）9.（1）當(dāng)$a=0,b=1$時(shí)，$f(x)=e^x-x-1$，求導(dǎo)得$f'(x)=e^x-1$，當(dāng)$x\geq0$時(shí)$f'(x)\geq0$，所以$f(x)\geqf(0)=0$。（2）$f'(x)=e^x-2ax-b$，由$f'(0)=1-b=0$得$b=1$，再由$f''(0)=1-2a\geq0$得$a\leq\frac{1}{2}$，所以$a+b\leq\frac{3}{2}$。10.（1）由離心率$e=\sqrt{3}$得$c=\sqrt{3}a$，$b^2=2a^2$，設(shè)直線$l:y=\sqrt{2}(x-\sqrt{3}a)$，代入雙曲線方程得$x^2-4\sqrt{6}ax+9a^2=0$，由弦長(zhǎng)公式得$|AB|=4\sqrt{6}a=4\sqrt{6}$，所以$a=1$，雙曲線方程為$x^2-\frac{y^2}{2}=1$。11.（1）由遞推關(guān)系得$na_{n+1}=(n+1)a_n+1$，即$\f