2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)游戲競(jìng)賽試卷一試（80分鐘滿分120分）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）若函數(shù)$f(x)=\log_3(9x)$，$\log_9(27x)$，$\log_{27}(3x)$成等差數(shù)列，則正數(shù)$x$的值為________。設(shè)集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2a\mida\inA}$，則$A\cupB$的元素個(gè)數(shù)為________。已知橢圓$C:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{144}=1$的左右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓上，線段$PF_1$交橢圓于另一點(diǎn)$Q$。若$\triangleF_2PQ$的周長為8，則線段$F_1Q$的長度為________。設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$為奇函數(shù)，$h(x)=f(x)+x$為偶函數(shù)，則$f(x)$的最大值為________。若正整數(shù)$k$滿足$\frac{\sin20^\circ}{\cos25^\circ}+\frac{\sin25^\circ}{\cos20^\circ}=k$，則$k$的最小值為________。在四棱柱的12條棱中隨機(jī)選取兩條不同的棱，記事件$M$為“這兩條棱所在直線異面”，則$P(M)=$________。設(shè)等比數(shù)列${a_n}$的公比$q>0$，前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_5=31$，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_5}=$________。已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則其外接球的表面積為________。二、解答題（本大題共3小題，滿分56分）9.（16分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+2\cos^2x$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。（1）求$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$f(x)=m$有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。10.（20分）已知拋物線$E:y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A,B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$C$在拋物線的準(zhǔn)線上，且$BC\parallelx$軸。（1）證明：直線$AC$過原點(diǎn)$O$；（2）設(shè)$\triangleAOB$的面積為$S$，求$S$的最小值。11.（20分）設(shè)$a,b,c$為正實(shí)數(shù)，且滿足$a+b+c=3$。證明：（1）$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3$；（2）$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq\frac{3}{2}$。加試（170分鐘滿分180分）一、（本題滿分40分）如圖，在$\triangleABC$中，$D$為邊$BC$的中點(diǎn)，延長$AD$交$\triangleABC$的外接圓于點(diǎn)$P$。過點(diǎn)$B,P$作圓與邊$AC$相切于點(diǎn)$E$，過點(diǎn)$C,P$作圓與邊$AB$相切于點(diǎn)$F$。證明：$AD,BE,CF$三線共點(diǎn)。（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）二、（本題滿分40分）設(shè)$m,n,k$為正整數(shù)，$m\geq2$，$n\geqk\geq2$，實(shí)數(shù)$x_1\geqx_2\geq\cdots\geqx_n\geq0$滿足：（1）$x_1^m+x_2^m+\cdots+x_n^m\geq1$；（2）$x_1+x_2+\cdots+x_n\leqk$。證明：$x_1+x_2+\cdots+x_k\geq1$。三、（本題滿分50分）求所有正整數(shù)$n$，使得存在$n$的倍數(shù)$N$，滿足：（1）$N$的十進(jìn)制表示中不含數(shù)碼0，但含有1,2,…,9中的每個(gè)數(shù)碼；（2）對(duì)任意$i\in{1,2,\cdots,9}$，刪去$N$中的一個(gè)數(shù)碼$i$后所得的數(shù)仍是$n$的倍數(shù)。四、（本題滿分50分）給定整數(shù)$t>10000$，甲乙兩人玩猜數(shù)游戲：乙想一個(gè)滿足$\tau(N)\leq2^{\lfloor\sqrt{t}\rfloor}+100$的正整數(shù)$N$（$\tau(N)$表示$N$的正約數(shù)個(gè)數(shù)），甲確定正整數(shù)$k$后，乙需告知$\tau(N)$的值，并給出$N$的$k$個(gè)不同正約數(shù)（若$\tau(N)\leqk$則給出全部約數(shù)）。求最小的$k$，使