2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與分形幾何試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）分形幾何的核心特征是（）A.嚴(yán)格的對稱性B.自相似性C.有限迭代性D.整數(shù)維數(shù)科赫曲線的第n次迭代后，線段總長度的計算公式為（）A.(L_n=L_0\times\left(\frac{4}{3}\right)^n)B.(L_n=L_0\times\left(\frac{3}{4}\right)^n)C.(L_n=L_0\times2^n)D.(L_n=L_0\times3^n)謝爾賓斯基三角形的豪斯多夫維數(shù)為（）A.1B.(\log_23\approx1.585)C.2D.(\log_32\approx0.631)下列自然現(xiàn)象中，不具有分形特征的是（）A.海岸線B.晶體結(jié)構(gòu)C.葉脈分支D.云層邊界盒計數(shù)維數(shù)的計算公式為(D=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\logN(\epsilon)}{\log(1/\epsilon)})，其中(N(\epsilon))表示（）A.迭代次數(shù)B.自相似副本數(shù)C.覆蓋圖形所需邊長為(\epsilon)的盒子數(shù)D.縮放因子曼德勃羅集由復(fù)二次多項式(f_c(z)=z^2+c)迭代生成，若初始值(z_0=0)，當(dāng)(c=0)時，迭代結(jié)果會（）A.趨于無窮大B.收斂于0C.在有限值間周期震蕩D.隨機(jī)波動某分形圖形每次迭代將每個基本單元分為5個相似副本，縮放因子為2，則其豪斯多夫維數(shù)為（）A.(\log_52)B.(\log_25\approx2.322)C.(\frac{5}{2})D.(\frac{2}{5})分形維數(shù)(D)與傳統(tǒng)幾何維度(d)的關(guān)系是（）A.(D=d)B.(D<d)C.(D>d)D.不確定，可能小于或大于下列分形集合中，邊界具有無限復(fù)雜度的是（）A.科赫曲線B.康托爾集C.曼德勃羅集D.謝爾賓斯基地毯若將一條長度為1的線段進(jìn)行3次科赫曲線迭代，總長度為（）A.(\frac{4}{3})B.(\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9})C.(\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27})D.4二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）分形幾何中，“自相似性”是指局部與整體在________或________意義上的相似。英國海岸線的豪斯多夫維數(shù)約為1.25，這意味著它比普通的1維曲線更________（填“稀疏”或“致密”），但無法填滿2維平面。朱利亞集與曼德勃羅集的區(qū)別在于：朱利亞集固定參數(shù)________，而曼德勃羅集的參數(shù)________隨點(diǎn)的位置變化?？坪昭┗ǖ拿娣e在無限迭代后會趨于一個________值（填“有限”或“無限”），而周長趨于________。某分形樹形圖的迭代規(guī)則為：1個白圈生成2個白圈和1個黑圈，1個黑圈生成1個白圈和2個黑圈。若初始狀態(tài)為1個白圈（第1行），則第4行的白圈數(shù)為________。三、解答題（本大題共4小題，共70分）16.（15分）（1）簡述豪斯多夫測度與豪斯多夫維數(shù)的關(guān)系；（2）計算康托爾集的豪斯多夫維數(shù)（已知康托爾集每次迭代將線段三等分并去除中間段，最終保留的集合由2個長度為原線段1/3的副本組成）。17.（20分）科赫曲線的生成過程如下：初始圖形（0次迭代）為長度為(L_0)的線段；第1次迭代：將線段三等分，中間段替換為等邊三角形的兩邊，得到4條長度為(L_0/3)的線段；第2次迭代：對每條線段重復(fù)上述操作，得到16條長度為(L_0/9)的線段；以此類推。（1）求第3次迭代后科赫曲線的總長度；（2）證明當(dāng)?shù)螖?shù)(n\to\infty)時，科赫曲線的長度趨于無窮大；（3）若初始線段長度(L_0=3)，計算第2次迭代后曲線所圍圖形的面積（結(jié)果保留根號）。18.（15分）某分形圖形的迭代規(guī)則為：初始圖形（0級）是邊長為1的正方形；1級圖形：將正方形每條邊三等分，在每條邊的中間段向外作邊長為1/3的小正方形，形成“十字”形突起；2級圖形：對每個小正方形的邊重復(fù)上述操作。（1）畫出該分形圖形的0級、1級示意圖；（2）計算1級圖形的周長與面積；（3）推測該分形圖形的豪斯多夫維數(shù)（提示：分析自相似副本數(shù)與縮放因子的關(guān)系）。19.（20分）分形幾何在計算機(jī)圖形學(xué)中可用于生成自然景觀。現(xiàn)有一地形模型采用分形噪聲算法生成，其高度值(h(x,y))滿足標(biāo)度不變性：(h(kx,ky)=k^Dh(x,y))，其中(D)為分形維數(shù)，(k)為縮放因子。（1）若某區(qū)域地形在縮放因子(k=2)時，高度值變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{2})倍，求該地形的分形維數(shù)(D)；（2）若要生成更“粗糙”的地形（即細(xì)節(jié)更豐富），應(yīng)增大還是減小(D)？說明理由；（3）簡述分形幾何在生物學(xué)中的一個應(yīng)用實(shí)例（如血管分支、肺支氣管結(jié)構(gòu)等），并分析其分形特征如何提高生理功能效率。附加題（本大題共2小題，每小題10分，不計入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）曼德勃羅集的邊界具有無限復(fù)雜度，若用邊長為(\epsilon)的正方形覆蓋其邊界，當(dāng)(\epsilon)從1減小到0.1時，覆蓋所需的正方形數(shù)量從100增加到10000，估算其邊界的盒計數(shù)維數(shù)。證明：任意海岸線的長度在測量尺度趨于0時趨于無窮大（提示：利用分形的自相似性與無限迭代性）。（全卷共150分，考試時間120分鐘）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.A3.B4.B5.C6.B7.B8.D9.C10.C二、填空題統(tǒng)計；精確12.致密13.(c)；(c)14.有限；無窮大15.5三、解答題（要點(diǎn)）（2）康托爾集的豪斯多夫維數(shù)(D=\log_32\approx0.631