人教版部編版八年級下冊數(shù)學(xué)期末試卷培優(yōu)測試卷一、選擇題1．已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知的三邊長分別為，，，由下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A． B．C． D．3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BCC．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC4．若、、的平均數(shù)為，則、、的平均數(shù)為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，，點D在邊上，，，垂足為點F，交于點E，則的長為（）A．2 B． C． D．6．如圖所示，是將長方形紙片沿折疊得到的，圖中（包括實線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形（）對A．2 B．3 C．4 D．57．如圖，在平行四邊形中，為對角線，點是的中點，且，，四邊形的周長為10，則平行四邊形的周長為（）A．10 B．12 C．15 D．208．對于實數(shù)，定義符號其意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：，若關(guān)于的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題9．代數(shù)式中，字母x的取值范圍是____________．10．已知菱形的邊長與一條對角線的長分別為和，則它的面積是______．11．如圖一根竹子長為8米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端4米處，折斷處離地面高度是________米．12．如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O．若AE=5，BF=3，則AO的長為________．13．一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象平行且經(jīng)過點，則_______．14．如圖，矩形ABCD中，對角線AC=8cm，rAOB是等邊三角形，則AD的長為______cm．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，都在軸正半軸上，點，都在直線上，，，都是等邊三角形，且，則點的橫坐標(biāo)是_______．16．如圖，的周長為，中位線，中位線，則中位線的長為______．三、解答題17．計算：（1）（2）（3）18．如圖，在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處，發(fā)現(xiàn)B在O的南偏東45°的方向上．問：此時快艇航行了多少米（即AB的長）？19．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，點均在格點上．（1）直接寫出的長為___________，的面積為_____；（2）請在所給的網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺作出邊上的高，并保留作圖痕跡．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點M為AD的中點，過點M作交CD延長線于點N．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）請直接寫出當(dāng)四邊形ABCD的邊AB與BD滿足什么關(guān)系時，四邊形分別是菱形、矩形、正方形．21．閱讀，并回答下列問題：公元3世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先將看成，利用近似公式得到，再將看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值會越來越精確.（2）按照上述取近似值的方法，當(dāng)取近似值時，求近似公式中的和的值.22．某市對居民用水按“階梯水價”方式進行收費，人均月生活用水收費標(biāo)準(zhǔn)如圖所示．圖中表示人均月生活用水的噸數(shù)，表示收取的人均月生活用水費（元），請根據(jù)圖象信息，回答下列問題：（1）該市人均月生活用水的收費標(biāo)準(zhǔn)是：不超過5噸，每噸按______元收取；超過5噸的部分，每噸按______元收??；（2）請寫出與的函數(shù)關(guān)系式．23．定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（提出問題）（1）如圖①，四邊形與四邊形都是正方形，，求證：四邊形是“等垂四邊形”；（類比探究）（2）如圖②，四邊形是“等垂四邊形”，，連接，點，，分別是，，的中點，連接，，．試判定的形狀，并證明；（綜合運用）（3）如圖③，四邊形是“等垂四邊形”，，，則邊長的最小值為________．24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋3m交x軸，y軸于A，E兩點，m＞0，過點E的直線l2交x軸正半軸于點B（4m，0），如圖1所示．（1）求直線l2的函數(shù)解析式；（2）△AEB按角的大小分類為；（3）以點A，B為基礎(chǔ)，在x軸上方構(gòu)建矩形ABCD，點E在邊CD上，過原點的直線l3：y＝mx交直線CD于點P交直線AE，BE于點G，H．①若直線l3把矩形ABCD的周長平分，求m的值；②是否存在一個合適的m，使S△BOH＝S△AOG，若存在，求m的值；若不存在，則說明理由．25．如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在軸上，A點在軸上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直線EF折疊，點B落在AD邊上的G處，E、F分別在BC、AB邊上且F(1，4)．(1)求G點坐標(biāo)(2)求直線EF解析式(3)點N在坐標(biāo)軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由26．如圖，已知點A（a，0），點C（0，b），其中a、b滿足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四邊形OABC為長方形，將長方形OABC沿直線AC對折，點B與點B′對應(yīng)，連接點C交x軸于點D．（1）求點A、C的坐標(biāo)；（2）求OD的長；（3）E是直線AC上一個動點，F(xiàn)是y軸上一個動點，求△DEF周長的最小值．【參考答案】一、選擇題1．C解析：C【分析】因為是整數(shù)，且，則6n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為6．【詳解】解：，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即6n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為6．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)乘除法則和二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件時被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答2．A解析：A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，即可判斷選項A；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，即可判斷選項B；根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項C和選項D即可．【詳解】設(shè)△ABC中，∠A的對邊是a，∠B的對邊是b，∠C的對邊是c，A.

∠A

=

2∠B

=

3∠C，∠A

+∠B

+

∠C=

180°，，解得：

，△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意；B.∠A

=

∠C-∠B，∠A

+∠B

=

∠C，∠A+∠B

+

∠C=

180°，2∠C=

180°，∠C=

90°，△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；C.，a-

5

=

0，b

-

12

=

0，

c

-

13

=

0，a

=

5，b=

12，c=

13，，∠C=

90°，△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；D.，，即，∠B

=

90°，△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，能熟記勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形，三角形的內(nèi)角和等于180°．3．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．4．C解析：C【解析】【分析】根據(jù)、、的平均數(shù)為可得，再列出計算、、的平均數(shù)的代數(shù)式，整理即可得出答案．【詳解】解：∵、、的平均數(shù)為，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查計算平均數(shù)．掌握平均數(shù)的計算公式是解題關(guān)鍵．5．B解析：B【分析】連接DE，首先利用等腰三角形的性質(zhì)，證明AE垂直平分BD，得出再證明得出設(shè)則在Rt中利用勾股定理列方程即可求得BE的長．【詳解】解：連接DE，如圖，∵∴AE垂直平分BD，∴在和中，∵∴∴在Rt中，∴設(shè)則在Rt中，∵∴解得，，故選：B．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定SSS，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)確定相等的線段，再根據(jù)勾股定理列方程是解決本題的關(guān)鍵．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點，到線段兩個端點的距離相等．6．C解析：C【解析】【分析】從最簡單的開始找，因為圖形對折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四邊形是長方形所以，△ABD≌△CDB．進而可得另有2對，分別為：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【詳解】解：∵△BDC′是將長方形紙片ABCD沿BD折疊得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可證明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三對全等．所以，共有4對全等三角形．故選：C．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．做題時要由易到難，循序漸進．7．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)點O是BD的中點，且AD//EO，OF//AB，可得OE，OF分別是三角形ABD，三角形BCD的中位線，四邊形OEBF是平行四邊形，則AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，由此可以推出OE+OF=5，再由四邊形ABCD的周長=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵點O是BD的中點，且AD//EO，OF//AB，∴OE，OF分別是三角形ABD，三角形BCD的中位線，BC//EO，∴四邊形OEBF是平行四邊形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，∵四邊形OEBF的周長為10，∴OE+BE+BF+OF=10，∴OE+OF=5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20，故選D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，中位線定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．8．C解析：C【分析】根據(jù)定義先列不等式：和，確定其，對應(yīng)的函數(shù)，畫圖象可知其最大值．【詳解】解：由題意得：，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；綜上所述，，的最大值是當(dāng)所對應(yīng)的的值，如圖所示，當(dāng)時，，故選：C【點睛】本題考查了新定義、一元一次不等式及一次函數(shù)的交點問題，認(rèn)真閱讀理解其意義，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)的最值問題．二、填空題9．x≥2021【解析】【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【詳解】解：∵有意義，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握定義是解題關(guān)鍵．10．【解析】【分析】根據(jù)題意，勾股定理求得另一條對角線的長度，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半即可求解．【詳解】如圖，四邊形的菱形，連接交于點，依題意設(shè),，則，，，菱形．故答案為：．【點睛】本題考查了根據(jù)菱形的性質(zhì)求菱形的面積，勾股定理，作出圖形求得另外一條對角線的長是解題的關(guān)鍵．11．3【解析】【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（8-x）米．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（8-x）米，根據(jù)勾股定理得：x2+42=（8-x）2解得：x=3．∴折斷處離地面高度是3米，故答案為：3．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．12．E解析：【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EFC=∠AEF，由折疊的性質(zhì)可得∠EFC=∠AFE，從而得到AE=AF=5，由折疊的性質(zhì)可得BC=BF+FC=3+5=8，根據(jù)勾股定理可得AB的長，從而求出AC的長，繼而可得到AO的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，由折疊，得∠EFC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，由折疊，得FC=AF，OA=OC，∴BC=BF+FC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=，在Rt△ABC中，AC=，∴OA=OC=．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證得AE=AF．13．A解析：﹣4【分析】根據(jù)兩條平行直線的解析式的k值相等求出k的值，然后把點A的坐標(biāo)代入解析式求出b值即可．【詳解】解：∵y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行，∴k=2，∵y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（1，﹣2），∴2+b=﹣2，解得b=﹣4，故答案為：﹣4．【點睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題：若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2平行，則k1＝k2；若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2相交，則由兩解析式所組成的方程組的解為交點坐標(biāo)．14．A解析：4【詳解】∵△AOB是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8cm，∴AB=4cm，在Rt△ABC中，BC==4cm，∵AD=BC，∴AD的長為4cm．15．【分析】設(shè)△的邊長為，根據(jù)直線的解析式得出，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出，，從而得出，由點的坐標(biāo)為，得到，，，，，，即可解決問題．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，過作軸于，如圖解析：【分析】設(shè)△的邊長為，根據(jù)直線的解析式得出，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)即可得出，，從而得出，由點的坐標(biāo)為，得到，，，，，，即可解決問題．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，過作軸于，如圖所示：設(shè)△的邊長為，則，，，，，，，，，點，，，是直線上的第一象限內(nèi)的點，，，又△為等邊三角形，，，，，，點的坐標(biāo)為，，，，，，，，點的橫坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、規(guī)律型、以及三角形外角的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．16．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出BC、AB，根據(jù)三角形的周長公式求出AC，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵中位線EF=3cm，中位線DF=6cm，∴BC=6cm，AB=解析：4【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出BC、AB，根據(jù)三角形的周長公式求出AC，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵中位線EF=3cm，中位線DF=6cm，∴BC=6cm，AB=12cm，∵△ABC的周長26cm，∴AC=8cm，∴中位線DE的長為4cm，故答案為：4．【點睛】本題主要考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（1）2；（2）；（3）【分析】（1）利用二次根式的乘除法法則進行運算求解；（2）先將二次根式化簡，再運用二次根式的加減法法則進行計算即可求解；（3）先將二次根式和絕對值進行化簡，再運用二次解析：（1）2；（2）；（3）【分析】（1）利用二次根式的乘除法法則進行運算求解；（2）先將二次根式化簡，再運用二次根式的加減法法則進行計算即可求解；（3）先將二次根式和絕對值進行化簡，再運用二次根式的運算法則進行計算即可求解．【詳解】解：（1）（2）（3）【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡和二次根式的加減乘除運算以及0指數(shù)冪的運算，熟練掌握二次根式的化簡和二次根式的加減乘除法則是解答本題的關(guān)鍵．18．快艇航行了（500+500）米．【分析】先根據(jù)題意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，從而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.【詳解析：快艇航行了（500+500）米．【分析】先根據(jù)題意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，從而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖：在直角△AOC中，∠AOC＝30°，OA＝1000米，∴AC＝OA＝500米，∴米，∵∠FOB=45°，∴∠COB=45°，∴OC=BC=米∴AB＝500+（米）．答：快艇航行了（500+）米．【點睛】本題主要考查了勾股定理，方位角，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.19．（1），；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)無刻度直尺作圖中作垂直的技巧畫出線段BD即可；【詳解】解：（1），：（2）如圖所示，解析：（1），；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)無刻度直尺作圖中作垂直的技巧畫出線段BD即可；【詳解】解：（1），：（2）如圖所示，即為所求．【點睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的面積的計算，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）時，四邊形MNDO是菱形；當(dāng)時，四邊形MNDO是矩形；當(dāng)且時，四邊形MNDO是正方形【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)，可得，再加已知條件，利用平行四邊形解析：（1）見解析；（2）時，四邊形MNDO是菱形；當(dāng)時，四邊形MNDO是矩形；當(dāng)且時，四邊形MNDO是正方形【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)，可得，再加已知條件，利用平行四邊形的判定定理（有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）即可證明；（2）①根據(jù)（1）中平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可得：，，當(dāng)時，，利用菱形的判定定理（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②根據(jù)（1）中平行四邊形的性質(zhì)可得：，，當(dāng)時，，根據(jù)矩形的判定定理（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）即可證明；③根據(jù)（1）中平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可得：：，，且，，當(dāng)且時，且，根據(jù)正方形的判定定理（一組鄰邊相等、有一個角是直角的平行四邊形是正方形）即可證明．【詳解】解：（1）證明：∵對角線AC、BD交于點O，∴，又∵M為AD中點，∴，又∵，∴四邊形MNDO是平行四邊形；（2）①當(dāng)時，四邊形MNDO是菱形，證明：根據(jù)（1）可得，四邊形MNDO是平行四邊形，且，，又∵，∴，∴四邊形MNDO是菱形；②當(dāng)時，四邊形MNDO是矩形，證明：根據(jù)（1）可得，四邊形MNDO是平行四邊形，且，，又∵，∴，∴四邊形MNDO是矩形；③當(dāng)且時，四邊形MNDO是正方形，證明：根據(jù)（1）可得，四邊形MNDO是平行四邊形及三角形中位線的性質(zhì)可得：，，且，，又∵且，∴且，∴四邊形MNDO是正方形．【點睛】題目主要考查平行四邊形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟練運用特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．21．（1）；（2）或；或【解析】【分析】根據(jù)近似公式計算出近似值的過程和方法計算的近似值和確定a和r的值.【詳解】（1）根據(jù)近似公式可知：≈故答案為；（2）∵∴∴∴整理，解析：（1）；（2）或；或【解析】【分析】根據(jù)近似公式計算出近似值的過程和方法計算的近似值和確定a和r的值.【詳解】（1）根據(jù)近似公式可知：≈故答案為；（2）∵∴∴∴整理，解得：或∴或故答案為或；或【點睛】本題考查二次根式的估算，審清題意，根據(jù)題目所給的近似公式計算是解題關(guān)鍵.22．（1）；；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】（1）由圖可知，用水5噸是8元，每噸按8÷5=1.6元收?。怀^5噸的部分，每噸按（20-8）÷（10-5）=2.4元收取；（2）根據(jù)圖象分和x＞5，分別解析：（1）；；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】（1）由圖可知，用水5噸是8元，每噸按8÷5=1.6元收?。怀^5噸的部分，每噸按（20-8）÷（10-5）=2.4元收取；（2）根據(jù)圖象分和x＞5，分別設(shè)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，代入對應(yīng)點，得出答案即可；【詳解】解：（1）用水5噸是8元，每噸按8÷5=1.6元收?。怀^5噸的部分，每噸按（20-8）÷（10-5）=2.4元收??；故答案為：；．（2）①當(dāng)0≤x≤5時，設(shè)y=kx，代入（5，8）得8=5k，解得k=∴y=x；②當(dāng)時，設(shè)y=kx+b，代入（5，8）、（10，20）得，解得k=，b=-4，∴．【點睛】此題考查一次函數(shù)的實際運用，結(jié)合圖形，利用基本數(shù)量關(guān)系，得出函數(shù)解析式，進一步利用解析式解決問題．23．（1）見解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由見解析（3）【分析】（1）延長，交于點，先證，得，．結(jié)合，知，即可得．從而得證；（2）延長，交于點，由四邊形是“等垂四邊形”，知，，從而得，解析：（1）見解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由見解析（3）【分析】（1）延長，交于點，先證，得，．結(jié)合，知，即可得．從而得證；（2）延長，交于點，由四邊形是“等垂四邊形”，知，，從而得，根據(jù)三個中點知，，，，，據(jù)此得，，．由可得答案；（3）延長，交于點，分別取，的中點，．連接，，，由及．可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，延長，交于點，四邊形與四邊形都為正方形，，，．．．，．，，即，．．又，四邊形是“等垂四邊形”．（2）是等腰直角三角形．理由如下：如圖②，延長，交于點，四邊形是“等垂四邊形”，，，，點，，分別是，，的中點，，，，，，，．．是等腰直角三角形．（3）延長，交于點，分別取，的中點，．連接，，，則，由（2）可知．最小值為，故答案為：．【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點．24．（1），（2）直角；（3）①，②存在，【解析】【分析】（1）先求出，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)解析式；（2）把三點坐標(biāo)用含的代數(shù)式來表示，利用勾股定理的逆定理進行判斷即可；（3）①根解析：（1），（2）直角；（3）①，②存在，【解析】【分析】（1）先求出，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)解析式；（2）把三點坐標(biāo)用含的代數(shù)式來表示，利用勾股定理的逆定理進行判斷即可；（3）①根據(jù)矩形的性質(zhì)，用表示矩形的周長，根據(jù)直線l3把矩形ABCD的周長平分建立方程求解；②聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，，求出的坐標(biāo),根據(jù)面積相等建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）令，解得：，即，令，得，即，設(shè)直線，代入兩點得：，解得：，；（2）由兩點間的距離公式得：，，，則滿足：，為直角三角形，為直角．（3）①如圖，四邊形為矩形，，則點的縱坐標(biāo)與點相同，即，設(shè)代入得，，，即，由題意得：，矩形的周長為，直線平分矩形的周長，則一定在線段上，則，則，，解得：，②聯(lián)立與得：，解得：，即，聯(lián)立與得：，解得：，即，＞則過一，三象限，則，此時點位于軸下方時，則，，即，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根且符合題意，同理，當(dāng)此時點位于軸上方時，則，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根且符合題意，綜上所述：存在，【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運用、勾股定理、矩形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握求解一次函數(shù)解析式，通過數(shù)學(xué)結(jié)合思想及分論討論思想來求解，難度較大．25．（1）G（0，4-）；（2）；（3）.【解析】【分析】1（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF=1，BF=2，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到GF=BF=2，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出，那么解析：（1）G（0，4-）；（2）；（3）.【解析】【分析】1（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF=1，BF=2，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到GF=BF=2，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出，那么OG=OA-AG=4-，于是G（0，4-）；（2）先在Rt△AGF中，由，得出∠AFG=60°，再由折疊的性質(zhì)得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt△BFE，求出BE=BFtan60°=2，那么CE=4-2，E（3，4-2）.設(shè)直線EF的表達式為y=kx+b，將E（3，4-2），F(xiàn)（1，4）代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線EF的解析.（3）因為M、N均為動點，只有F、G已經(jīng)確定，所以可從此入手，結(jié)合圖形，按照FG為一邊，N點在x軸上；FG為一邊，N點在y軸上；FG為對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀.確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用平行四邊形及平移的性質(zhì)求得M點的坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵F（1，4），B（3，4），∴AF=1，BF=2，由折疊的性質(zhì)得：GF=BF=2，在Rt△AGF中，由勾股定理得，∵B（3，4），∴OA=4，∴OG=4-，∴G（0，4-）；（2）在Rt△AGF中，∵，∴∠AFG=60°，由折疊的性質(zhì)得知：∠GFE=∠BFE=60°，在Rt△BFE中，∵BE=BFtan60°=2，.CE=4-2，.E（3，4-2）.設(shè)直線EF的表達式為y=kx+b，∵E（3，4-2），F(xiàn)（1，4），∴解得∴；（3）若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則分如下四種情況：①FG為平行四邊形的一邊，N點在x軸上，GFMN為平行四邊形，如圖1所示.過點G作EF的平行線，交x軸于點N1，再過點N：作GF的平行線，交EF于點M，得平行四邊形GFM1N1.∵GN1∥EF，直線EF的解析式為∴直線GN1的解析式為，當(dāng)y=0時，.∵GFM1N1是平行四邊形，且G（0，4-），F(xiàn)（1，4），N1（，0），∴M，（，）；②FG為平行四邊形的一邊，N點在x軸上，GFNM為平行四邊形，如圖2所示.∵GFN2M2為平行四邊形，∴GN?與FM2互相平分.∴G（0，4-），N2點縱坐標(biāo)為0∴GN：中點的縱坐標(biāo)為，設(shè)GN?中點的坐標(biāo)為（x，）.∵GN2中點與FM2中點重合，∴∴x=∵.GN2的中點的坐標(biāo)為（），.∴N2點的坐標(biāo)為（，0）.∵GFN2M2為平行四邊形，且G（0，4-），F(xiàn)（1，4），N2（，0），∴M2（）；③FG為平行四邊形的一邊，N點在y軸上，GFNM為平行四邊形，如圖3所示.∵GFN3M3為平行四邊形，.∴GN3與FM3互相平分.∵G（0，4-），N2點橫坐標(biāo)為0，.∴GN3中點的橫坐標(biāo)為0，∴F與M3的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴M3的橫坐標(biāo)為-1，當(dāng)x=-1時，y=，∴M3（-1，4+2）；④FG為平行四邊形的對角線，GMFN為平行四邊形，如圖4所示.過點G作EF的平行線，交x軸于點N4，連結(jié)N4與GF的中點并延長，交EF于點M。，得平行四邊形GM4FN4∵G（0，4-），F(xiàn)（1，4），∴FG中點坐標(biāo)為（），∵M4N4的中點與FG的