基于VaR和CVaR約束的投資組合模型：理論、應(yīng)用與比較分析一、引言1.1研究背景與意義在全球金融市場一體化進程不斷加速的大背景下，金融市場的波動性愈發(fā)顯著。股票價格的大幅漲跌、匯率的頻繁波動以及利率的動態(tài)變化，都使得投資者面臨著前所未有的風(fēng)險挑戰(zhàn)。以2020年新冠疫情爆發(fā)初期為例，金融市場急劇動蕩，美股在短短一個月內(nèi)多次觸發(fā)熔斷機制，許多投資者的資產(chǎn)大幅縮水。這種極端市場波動事件的頻繁發(fā)生，使得風(fēng)險管理在金融領(lǐng)域的重要性日益凸顯。在眾多風(fēng)險管理工具中，風(fēng)險價值（ValueatRisk，VaR）和條件風(fēng)險價值（ConditionalValueatRisk，CVaR）脫穎而出，成為投資組合管理中不可或缺的關(guān)鍵指標。VaR能夠清晰地告知投資者，在給定的置信水平和特定持有期內(nèi)，投資組合可能遭受的最大損失金額。例如，若某投資組合在95%置信水平下的VaR值為100萬元，這就意味著在100次投資中，只有5次可能出現(xiàn)超過100萬元的損失。CVaR則是在VaR的基礎(chǔ)上，進一步深入考慮了損失超過VaR時的平均損失情況，為投資者提供了更全面、更深入的風(fēng)險評估視角。對投資者而言，基于VaR和CVaR約束的投資組合模型具有極其重要的意義。它能夠幫助投資者精準衡量投資組合的風(fēng)險水平，在追求收益最大化的同時，有效控制風(fēng)險。投資者可以依據(jù)自身的風(fēng)險承受能力，合理配置資產(chǎn)，實現(xiàn)投資組合的優(yōu)化，避免因過度追求高收益而忽視潛在風(fēng)險，從而確保資產(chǎn)的穩(wěn)健增長。在實際投資中，一個風(fēng)險承受能力較低的投資者，通過運用該模型，會更加注重投資組合的穩(wěn)健性，適當(dāng)增加債券等低風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例，以降低整體風(fēng)險水平；而風(fēng)險承受能力較高的投資者，則可以在風(fēng)險可控的前提下，適當(dāng)提高股票等高風(fēng)險、高收益資產(chǎn)的占比，追求更高的投資回報。從金融市場整體來看，這類投資組合模型的廣泛應(yīng)用有助于提升市場的穩(wěn)定性。當(dāng)投資者都能夠科學(xué)、合理地管理風(fēng)險時，市場的非理性波動將得到有效抑制，市場秩序得以維護，金融體系的抗風(fēng)險能力也將顯著增強。在2008年全球金融危機中，許多金融機構(gòu)由于對風(fēng)險的評估和管理不足，過度投資高風(fēng)險資產(chǎn)，最終導(dǎo)致了嚴重的財務(wù)困境。而那些運用了科學(xué)的風(fēng)險度量模型和投資組合管理方法的機構(gòu)，在危機中則展現(xiàn)出了更強的抗風(fēng)險能力，受到的沖擊相對較小。因此，深入研究基于VaR和CVaR約束的投資組合模型，不僅對投資者個人的財富管理具有重要指導(dǎo)意義，對于維護金融市場的穩(wěn)定和健康發(fā)展也具有深遠的影響。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在金融領(lǐng)域，對VaR和CVaR約束投資組合模型的研究一直是學(xué)術(shù)界和實務(wù)界的熱點話題。國外學(xué)者在這方面的研究起步較早，取得了一系列豐碩的成果。早在1993年，J.P.Morgan提出了VaR的概念，并將其應(yīng)用于金融風(fēng)險評估中，為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。Artzner等學(xué)者在1999年提出了一致性風(fēng)險度量的概念，認為一個良好的風(fēng)險度量指標應(yīng)滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性和轉(zhuǎn)移不變性等性質(zhì)，而CVaR正是滿足這些性質(zhì)的風(fēng)險度量指標，這一理論的提出使得CVaR受到了廣泛的關(guān)注。在投資組合模型構(gòu)建方面，國外學(xué)者進行了深入的研究。Rockafellar和Uryasev在2000年基于CVaR提出了投資組合優(yōu)化模型，通過求解該模型可以得到在一定風(fēng)險約束下的最優(yōu)投資組合權(quán)重，為投資者提供了科學(xué)的投資決策依據(jù)。此后，許多學(xué)者對該模型進行了拓展和改進，如考慮交易成本、流動性風(fēng)險等因素，使模型更加貼近實際市場情況。例如，Giamouridis和Vassiliou（2006）在模型中引入了交易成本，研究了交易成本對投資組合優(yōu)化的影響，發(fā)現(xiàn)交易成本會降低投資組合的收益，投資者需要在收益和成本之間進行權(quán)衡。國內(nèi)學(xué)者在VaR和CVaR約束投資組合模型的研究方面也取得了顯著的進展。隨著我國金融市場的不斷發(fā)展和開放，風(fēng)險管理的重要性日益凸顯，國內(nèi)學(xué)者開始關(guān)注并深入研究這一領(lǐng)域。遲國泰等（2005）運用VaR方法對我國股票市場的投資組合風(fēng)險進行了度量和分析，通過實證研究發(fā)現(xiàn)VaR能夠有效地衡量投資組合的風(fēng)險水平，為投資者提供風(fēng)險預(yù)警。此后，國內(nèi)學(xué)者對基于CVaR的投資組合模型進行了大量的實證研究，如研究不同市場環(huán)境下模型的有效性、比較不同風(fēng)險度量指標下投資組合的績效等。王春峰等（2007）通過實證分析比較了均值-VaR模型和均值-CVaR模型在我國證券市場的應(yīng)用效果，發(fā)現(xiàn)均值-CVaR模型在控制風(fēng)險方面表現(xiàn)更優(yōu)，能夠為投資者提供更穩(wěn)健的投資組合。然而，現(xiàn)有研究仍存在一些不足之處。一方面，在模型假設(shè)方面，許多研究假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，但在實際金融市場中，資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾、非對稱等特征，正態(tài)分布假設(shè)與實際情況存在一定偏差，這可能導(dǎo)致模型對風(fēng)險的估計不準確。另一方面，在模型應(yīng)用方面，雖然考慮了交易成本、流動性風(fēng)險等因素，但對于一些新興金融市場中特有的風(fēng)險因素，如政策風(fēng)險、市場操縱風(fēng)險等，尚未充分納入模型進行研究。此外，現(xiàn)有研究大多側(cè)重于理論模型的構(gòu)建和實證分析，對于如何將這些模型更好地應(yīng)用于實際投資決策過程，缺乏系統(tǒng)性的指導(dǎo)和建議。本文旨在在前人研究的基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有研究的不足展開深入研究。通過引入更符合實際市場情況的分布假設(shè)，如廣義極值分布、廣義帕累托分布等，改進風(fēng)險度量模型，提高對風(fēng)險的準確估計。同時，充分考慮新興金融市場中的特有風(fēng)險因素，將其納入投資組合模型中，構(gòu)建更加完善的投資組合優(yōu)化模型。此外，還將結(jié)合實際投資案例，深入探討如何將基于VaR和CVaR約束的投資組合模型應(yīng)用于實際投資決策過程，為投資者提供具有可操作性的投資策略建議。1.3研究方法與創(chuàng)新點本研究綜合運用多種研究方法，力求深入剖析基于VaR和CVaR約束的投資組合模型，為金融投資領(lǐng)域提供有價值的理論支持和實踐指導(dǎo)。理論分析方法：深入探究VaR和CVaR的理論內(nèi)涵、性質(zhì)特征以及計算方法。通過嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和邏輯論證，明確兩者在風(fēng)險度量中的作用機制和相互關(guān)系。對投資組合理論的經(jīng)典模型，如均值-方差模型等進行梳理和分析，深入理解投資組合構(gòu)建的基本原理和方法，為后續(xù)基于VaR和CVaR的投資組合模型構(gòu)建奠定堅實的理論基礎(chǔ)。詳細闡述風(fēng)險度量理論，分析不同風(fēng)險度量指標的優(yōu)缺點，明確VaR和CVaR在風(fēng)險度量體系中的地位和價值。實證研究方法：選取具有代表性的金融市場數(shù)據(jù)，如股票市場、債券市場等的歷史數(shù)據(jù)，運用時間序列分析、回歸分析等統(tǒng)計方法，對資產(chǎn)收益率的分布特征進行深入研究。檢驗資產(chǎn)收益率是否符合正態(tài)分布假設(shè)，若不符合，則進一步探索其實際分布特征，如尖峰厚尾、非對稱等特性，為模型的改進提供數(shù)據(jù)支持。運用構(gòu)建的基于VaR和CVaR約束的投資組合模型，對實際市場數(shù)據(jù)進行實證分析。通過計算不同模型下的投資組合權(quán)重、風(fēng)險水平和收益情況，評估模型在實際市場環(huán)境中的有效性和可行性，為投資者提供實際操作的參考依據(jù)。對比分析方法：將基于VaR和CVaR約束的投資組合模型與傳統(tǒng)投資組合模型，如均值-方差模型進行對比分析。從風(fēng)險度量的準確性、投資組合的優(yōu)化效果、對市場波動的適應(yīng)性等多個維度，比較不同模型的優(yōu)缺點，突出基于VaR和CVaR約束的投資組合模型的優(yōu)勢和特色。對基于VaR和CVaR約束的投資組合模型在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)進行對比分析，如在牛市、熊市、震蕩市等不同市場行情中，研究模型的風(fēng)險控制能力和收益獲取能力的變化，為投資者在不同市場條件下選擇合適的投資策略提供參考。在研究過程中，本研究在以下幾個方面力求創(chuàng)新：模型改進創(chuàng)新：針對現(xiàn)有研究中資產(chǎn)收益率正態(tài)分布假設(shè)與實際市場不符的問題，引入更符合實際市場情況的分布假設(shè)，如廣義極值分布、廣義帕累托分布等，改進風(fēng)險度量模型。通過實證分析，驗證改進后的模型在風(fēng)險度量準確性方面的提升，為投資者提供更精確的風(fēng)險評估工具。充分考慮新興金融市場中的特有風(fēng)險因素，如政策風(fēng)險、市場操縱風(fēng)險等，將其納入投資組合模型中。構(gòu)建更加完善的投資組合優(yōu)化模型，使模型能夠更全面地反映市場風(fēng)險，為投資者在新興金融市場中的投資決策提供更具針對性的指導(dǎo)。實證分析創(chuàng)新：結(jié)合實際投資案例，深入探討如何將基于VaR和CVaR約束的投資組合模型應(yīng)用于實際投資決策過程。通過對實際投資過程中的交易成本、流動性風(fēng)險等因素的綜合考慮，提出具有可操作性的投資策略建議，彌補現(xiàn)有研究在理論與實踐結(jié)合方面的不足。運用大數(shù)據(jù)分析技術(shù)，對海量金融市場數(shù)據(jù)進行挖掘和分析，獲取更全面、更準確的市場信息。將大數(shù)據(jù)分析結(jié)果融入投資組合模型的實證分析中，提高模型的預(yù)測能力和適應(yīng)性，為投資者在復(fù)雜多變的金融市場中做出科學(xué)決策提供有力支持。二、VaR和CVaR理論基礎(chǔ)2.1VaR的定義、計算方法與性質(zhì)2.1.1VaR的定義與數(shù)學(xué)表達風(fēng)險價值（VaR）作為現(xiàn)代風(fēng)險管理領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的重要概念，為投資者和金融機構(gòu)提供了一種直觀且量化的風(fēng)險評估方式。其核心定義為：在一定的置信水平下，以及特定的持有期內(nèi)，投資組合可能遭受的最大損失。這一概念的提出，使得復(fù)雜的風(fēng)險狀況能夠以一個具體的數(shù)值呈現(xiàn)，極大地便利了風(fēng)險的度量和管理。從數(shù)學(xué)角度來看，假設(shè)投資組合的損失為X，其概率分布函數(shù)為F(x)，給定的置信水平為1-\alpha（其中0<\alpha<1），那么VaR的數(shù)學(xué)表達式可以精準地表示為：P(X\leqVaR_{1-\alpha})=1-\alpha該公式清晰地表明，在1-\alpha的置信水平下，投資組合的損失X小于或等于VaR_{1-\alpha}的概率為1-\alpha，這也就意味著，在該置信水平下，投資組合可能面臨的最大損失即為VaR_{1-\alpha}。例如，若某投資組合在95%置信水平下的VaR值為50萬元，這就意味著在100次投資中，大約有95次投資組合的損失不會超過50萬元，而僅有5次可能出現(xiàn)超過50萬元的損失情況。這種明確的數(shù)值表示，讓投資者能夠迅速且直觀地了解到在特定風(fēng)險偏好下，投資組合可能遭受的最大損失程度，從而為投資決策提供了關(guān)鍵的參考依據(jù)。2.1.2VaR的計算方法在實際應(yīng)用中，計算VaR值的方法豐富多樣，每種方法都有其獨特的原理、優(yōu)勢和局限性。下面將詳細介紹幾種常見的計算方法：歷史模擬法：這是一種基于歷史數(shù)據(jù)進行風(fēng)險評估的方法，其原理簡潔明了。它通過回顧過去一段時間內(nèi)投資組合的實際收益數(shù)據(jù)，假設(shè)未來的收益情況會與歷史數(shù)據(jù)呈現(xiàn)相似的分布規(guī)律。具體操作過程為，首先收集投資組合在過去一段較長時間內(nèi)的每日（或其他時間間隔）收益數(shù)據(jù)，然后對這些歷史收益數(shù)據(jù)進行排序。根據(jù)給定的置信水平，例如95%，找到對應(yīng)的分位數(shù)，該分位數(shù)所對應(yīng)的損失值即為VaR值。例如，若有1000個歷史收益數(shù)據(jù)，在95%置信水平下，就需要找到第50個最小收益數(shù)據(jù)對應(yīng)的損失值作為VaR值。歷史模擬法的顯著優(yōu)點在于它完全基于實際發(fā)生的數(shù)據(jù)，無需對收益分布做出特定假設(shè)，避免了因假設(shè)與實際不符而導(dǎo)致的誤差，具有較高的直觀性和可信度。然而，它也存在一定的局限性，該方法假設(shè)未來市場狀況會重復(fù)歷史，而實際金融市場受到眾多復(fù)雜因素的影響，未來的市場環(huán)境可能與歷史情況存在較大差異，從而導(dǎo)致VaR值的估計不夠準確。方差-協(xié)方差法：此方法基于投資組合中各項資產(chǎn)的均值、方差以及資產(chǎn)之間的協(xié)方差來計算VaR值，其核心假設(shè)是資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。首先，通過歷史數(shù)據(jù)計算出各項資產(chǎn)的預(yù)期收益率、方差以及資產(chǎn)之間的協(xié)方差矩陣。然后，根據(jù)投資組合中各資產(chǎn)的權(quán)重，結(jié)合方差和協(xié)方差信息，計算出投資組合的方差。在正態(tài)分布假設(shè)下，利用標準正態(tài)分布的分位數(shù)，結(jié)合投資組合的均值和方差，就可以計算出在給定置信水平下的VaR值。方差-協(xié)方差法的計算過程相對較為簡便，計算速度快，能夠快速地提供風(fēng)險評估結(jié)果。但是，實際金融市場中資產(chǎn)收益率往往不嚴格服從正態(tài)分布，常常呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，這就導(dǎo)致在使用方差-協(xié)方差法時，可能會低估極端情況下的風(fēng)險，使得VaR值無法準確反映投資組合的真實風(fēng)險水平。蒙特卡羅模擬法：蒙特卡羅模擬法是一種借助計算機技術(shù)進行隨機模擬的方法，具有較強的靈活性和適應(yīng)性。它通過構(gòu)建投資組合中資產(chǎn)價格變動的隨機模型，利用歷史數(shù)據(jù)對模型中的參數(shù)進行估計。然后，使用計算機隨機數(shù)生成器產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，模擬資產(chǎn)價格在未來的各種可能走勢，進而得到投資組合在不同情景下的價值。通過多次模擬（例如進行10000次模擬），可以得到投資組合價值的分布情況。根據(jù)給定的置信水平，從模擬結(jié)果中找到對應(yīng)的分位數(shù)，從而確定VaR值。蒙特卡羅模擬法能夠充分考慮各種復(fù)雜的市場因素和資產(chǎn)價格的非線性關(guān)系，對于處理復(fù)雜的投資組合和非正態(tài)分布的情況具有明顯優(yōu)勢。然而，該方法的計算量巨大，對計算機性能要求較高，且模擬結(jié)果的準確性依賴于模型的設(shè)定和參數(shù)估計的準確性，如果模型選擇不當(dāng)或參數(shù)估計偏差較大，可能會導(dǎo)致VaR值的計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。2.1.3VaR的性質(zhì)分析VaR作為一種風(fēng)險度量指標，具有一系列重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)在投資組合管理中起著關(guān)鍵作用，同時也在一定程度上反映了其局限性：單調(diào)性：若投資組合A的收益始終小于等于投資組合B的收益，即對于任意的市場情景，都有R_A\leqR_B，那么投資組合A的VaR值必定大于等于投資組合B的VaR值，即VaR(A)\geqVaR(B)。這一性質(zhì)直觀地體現(xiàn)了風(fēng)險與收益的關(guān)系，收益越低，風(fēng)險越大，符合投資者對風(fēng)險的基本認知，在投資決策中，投資者可以根據(jù)這一性質(zhì)，對不同投資組合的風(fēng)險進行初步的比較和判斷。正齊次性：對于任意的正數(shù)k和投資組合X，有VaR(kX)=kVaR(X)。這意味著如果投資組合的規(guī)模擴大k倍，其VaR值也會相應(yīng)地擴大k倍。正齊次性使得投資者能夠方便地根據(jù)投資規(guī)模的變化來調(diào)整風(fēng)險度量，在實際投資中，當(dāng)投資者計劃增加或減少投資金額時，可以根據(jù)這一性質(zhì)快速估算風(fēng)險的變化情況。平移不變性：對于投資組合X和常數(shù)a，有VaR(X+a)=VaR(X)。這表明在投資組合中加入無風(fēng)險資產(chǎn)（其價值為常數(shù)a）并不會改變投資組合的VaR值，因為無風(fēng)險資產(chǎn)本身不增加投資組合的風(fēng)險。平移不變性在投資組合優(yōu)化中具有重要意義，投資者可以通過合理配置無風(fēng)險資產(chǎn)來調(diào)整投資組合的整體風(fēng)險特征。然而，VaR也存在一些局限性，其中最為突出的是它不滿足次可加性。次可加性是指投資組合的風(fēng)險應(yīng)該小于或等于各組成部分風(fēng)險之和，即VaR(X+Y)\leqVaR(X)+VaR(Y)。在實際金融市場中，當(dāng)資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布時，VaR可能不滿足次可加性，這就意味著投資組合的風(fēng)險可能被低估。例如，在某些極端市場情況下，資產(chǎn)之間的相關(guān)性可能會發(fā)生劇烈變化，原本分散風(fēng)險的投資組合可能無法達到預(yù)期的風(fēng)險分散效果，而VaR卻無法準確反映這種風(fēng)險的增加。此外，VaR只關(guān)注在一定置信水平下的最大損失，對超過VaR值的損失情況缺乏深入的分析，無法全面衡量投資組合的尾部風(fēng)險，在面對極端風(fēng)險事件時，可能會導(dǎo)致投資者對風(fēng)險的認識不足，從而做出錯誤的投資決策。2.2CVaR的定義、計算方法與性質(zhì)2.2.1CVaR的定義與數(shù)學(xué)表達條件風(fēng)險價值（CVaR）作為風(fēng)險度量領(lǐng)域的重要概念，在金融風(fēng)險管理中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。其定義為在一定的置信水平下，當(dāng)投資組合的損失超過VaR值時，超過部分損失的平均值。這一概念的提出，彌補了VaR在衡量極端風(fēng)險方面的不足，為投資者和金融機構(gòu)提供了更全面、深入的風(fēng)險評估視角。從數(shù)學(xué)角度進行精確表達，假設(shè)投資組合的損失變量為X，其概率密度函數(shù)為f(x)，給定的置信水平為1-\alpha（其中0<\alpha<1），那么CVaR的數(shù)學(xué)表達式為：CVaR_{1-\alpha}=E(X|X>VaR_{1-\alpha})=\frac{1}{\alpha}\int_{VaR_{1-\alpha}}^{+\infty}xf(x)dx上述公式清晰地表明，CVaR是在損失超過VaR值的條件下，對損失的期望進行計算。它聚焦于投資組合損失分布的尾部，能夠更準確地反映極端情況下的風(fēng)險狀況。例如，若某投資組合在95%置信水平下的VaR值為100萬元，而CVaR值為150萬元，這意味著當(dāng)損失超過100萬元時，平均損失將達到150萬元。通過這樣的數(shù)值對比，投資者可以更直觀地了解到極端風(fēng)險下的潛在損失程度，從而在投資決策中更加謹慎地考慮風(fēng)險因素。2.2.2CVaR的計算方法CVaR的計算方法在實際應(yīng)用中具有多樣性，每種方法都有其獨特的適用場景和操作步驟，以下將詳細介紹兩種常見的計算方法：基于VaR值計算CVaR：這種方法首先需要準確計算出投資組合在特定置信水平下的VaR值。在得到VaR值后，從投資組合的損失數(shù)據(jù)中篩選出所有大于VaR值的損失數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)代表了投資組合在極端情況下的損失情況。然后，對這些篩選出的損失數(shù)據(jù)進行平均值計算，所得結(jié)果即為CVaR值。例如，對于一個包含100個損失數(shù)據(jù)點的投資組合，在95%置信水平下計算得到VaR值為80萬元，通過篩選發(fā)現(xiàn)有5個損失數(shù)據(jù)大于80萬元，分別為85萬元、90萬元、95萬元、100萬元和105萬元，那么CVaR值為(85+90+95+100+105)\div5=95萬元。這種計算方法直觀易懂，能夠直接利用已計算出的VaR值，在實際操作中較為常用。直接計算CVaR：此方法通過對投資組合損失分布的尾部損失概率進行加權(quán)求和來直接計算CVaR值。具體步驟如下，首先需要準確確定投資組合損失的概率分布函數(shù)f(x)，這是計算的基礎(chǔ)。然后，在給定的置信水平1-\alpha下，對大于VaR值的損失部分進行積分計算，即對xf(x)在區(qū)間[VaR_{1-\alpha},+\infty)上進行積分，并將積分結(jié)果除以\alpha，從而得到CVaR值。以一個簡單的正態(tài)分布投資組合為例，假設(shè)已知其損失概率分布函數(shù)，在90%置信水平下，通過積分計算得到\int_{VaR_{0.9}}^{+\infty}xf(x)dx=50，而\alpha=0.1，那么CVaR值為50\div0.1=500萬元。這種方法在理論上更加嚴謹，能夠全面考慮損失分布的情況，但計算過程相對復(fù)雜，對數(shù)據(jù)和計算能力的要求較高。2.2.3CVaR的性質(zhì)分析CVaR作為一種優(yōu)秀的風(fēng)險度量指標，具有一系列重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅使其在風(fēng)險評估中表現(xiàn)出色，還為投資組合管理提供了有力的支持：次可加性：對于任意兩個投資組合X和Y，都有CVaR(X+Y)\leqCVaR(X)+CVaR(Y)。這一性質(zhì)充分體現(xiàn)了投資組合分散風(fēng)險的特性，即通過合理配置不同資產(chǎn)形成投資組合，其整體風(fēng)險會小于各資產(chǎn)風(fēng)險的簡單相加。例如，投資組合A由股票和債券組成，投資組合B由黃金和期貨組成，當(dāng)將A和B合并為一個新的投資組合時，根據(jù)次可加性，新投資組合的CVaR值會小于A和B的CVaR值之和，這表明投資組合的分散化能夠有效降低風(fēng)險，為投資者提供了分散投資的理論依據(jù)。正齊次性：對于任意正數(shù)k和投資組合X，滿足CVaR(kX)=kCVaR(X)。這意味著如果投資組合的規(guī)模按比例擴大或縮小k倍，其CVaR值也會相應(yīng)地按相同比例變化。在實際投資中，當(dāng)投資者計劃增加或減少投資金額時，根據(jù)正齊次性，能夠快速估算出風(fēng)險的變化情況，方便投資者根據(jù)自身資金狀況和風(fēng)險承受能力調(diào)整投資組合規(guī)模。單調(diào)性：若投資組合A的收益始終小于等于投資組合B的收益，即對于任意市場情景，都有R_A\leqR_B，那么投資組合A的CVaR值必定大于等于投資組合B的CVaR值，即CVaR(A)\geqCVaR(B)。這一性質(zhì)直觀地反映了風(fēng)險與收益之間的反向關(guān)系，收益越低，風(fēng)險越高，符合投資者對風(fēng)險的基本認知，在投資決策中，投資者可以依據(jù)這一性質(zhì)對不同投資組合的風(fēng)險進行初步比較和判斷。平移不變性：對于投資組合X和常數(shù)a，有CVaR(X+a)=CVaR(X)。這表明在投資組合中加入無風(fēng)險資產(chǎn)（其價值為常數(shù)a）并不會改變投資組合的CVaR值，因為無風(fēng)險資產(chǎn)本身不增加投資組合的風(fēng)險。平移不變性在投資組合優(yōu)化中具有重要意義，投資者可以通過合理配置無風(fēng)險資產(chǎn)來調(diào)整投資組合的整體風(fēng)險特征，在追求收益的同時保持風(fēng)險的穩(wěn)定性。綜上所述，CVaR滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性和平移不變性等性質(zhì)，這些性質(zhì)使其成為一種一致性風(fēng)險度量指標。與VaR相比，CVaR在衡量風(fēng)險方面更加全面和準確，特別是在處理極端風(fēng)險時具有明顯優(yōu)勢，能夠為投資者提供更可靠的風(fēng)險評估結(jié)果，幫助投資者做出更加科學(xué)合理的投資決策。2.3VaR與CVaR的比較分析2.3.1定義與用途比較VaR關(guān)注的是在一定置信水平下和特定持有期內(nèi)，投資組合可能遭受的最大損失。它為投資者提供了一個明確的損失上限數(shù)值，幫助投資者快速了解在正常市場波動情況下，投資組合面臨的極端風(fēng)險狀況。在投資決策中，VaR可以用于設(shè)定風(fēng)險限額，例如，某投資機構(gòu)設(shè)定其投資組合在95%置信水平下的VaR限額為1000萬元，這意味著在大多數(shù)情況下（95%的概率），投資組合的損失不會超過1000萬元，從而控制投資風(fēng)險。CVaR則側(cè)重于損失超過VaR時的平均損失情況，更深入地刻畫了投資組合的尾部風(fēng)險。它考慮了極端事件發(fā)生時損失的平均水平，對于那些對極端風(fēng)險較為敏感的投資者或金融機構(gòu)，如保險公司、養(yǎng)老基金等，CVaR能提供更有價值的風(fēng)險信息。以保險公司為例，其需要對可能出現(xiàn)的巨額賠付風(fēng)險進行準確評估，CVaR可以幫助其了解在極端情況下的平均賠付金額，從而合理制定保險費率和準備金規(guī)模。2.3.2風(fēng)險度量特性比較從風(fēng)險度量特性來看，VaR本質(zhì)上是一個點估計值，它僅給出了在特定置信水平下的最大損失值，對于損失超過VaR后的情況缺乏進一步的描述。在某些情況下，雖然VaR值相同，但投資組合的風(fēng)險狀況可能存在很大差異。例如，有兩個投資組合A和B，它們在95%置信水平下的VaR值均為50萬元，但投資組合A的損失超過VaR后可能出現(xiàn)的損失范圍較小，而投資組合B則可能出現(xiàn)更大幅度的損失，僅通過VaR值無法區(qū)分這兩個投資組合的風(fēng)險差異。CVaR是一個區(qū)間估計值，它綜合考慮了損失超過VaR的所有情況，并計算出這些極端損失的平均值。這使得CVaR能夠更全面、準確地反映投資組合的尾部風(fēng)險。在實際投資中，當(dāng)市場出現(xiàn)極端波動時，CVaR能夠為投資者提供更詳細的風(fēng)險信息，幫助投資者更好地評估投資組合在極端情況下的表現(xiàn)，從而做出更合理的投資決策。2.3.3計算方法與復(fù)雜程度比較在計算方法上，VaR有歷史模擬法、方差-協(xié)方差法和蒙特卡羅模擬法等多種方法。歷史模擬法直接利用歷史數(shù)據(jù)進行模擬，計算相對簡單直觀，但對歷史數(shù)據(jù)的依賴性較強，且假設(shè)未來市場情況與歷史相似，可能導(dǎo)致對未來風(fēng)險的估計不準確；方差-協(xié)方差法假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，計算過程相對簡便，但實際金融市場中資產(chǎn)收益率往往不滿足正態(tài)分布，可能會低估極端風(fēng)險；蒙特卡羅模擬法雖然能夠處理復(fù)雜的市場情況和非正態(tài)分布，但計算量巨大，對計算資源和時間要求較高。CVaR的計算通?；赩aR值，先確定VaR值，然后計算損失超過VaR部分的平均值。其計算過程相對較為復(fù)雜，特別是在直接計算CVaR時，需要對損失分布的尾部進行積分計算，涉及到較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算。但隨著計算技術(shù)的不斷發(fā)展，一些優(yōu)化算法和軟件工具的出現(xiàn)，使得CVaR的計算在實際應(yīng)用中逐漸變得可行。綜上所述，VaR和CVaR在定義、用途、風(fēng)險度量特性以及計算方法與復(fù)雜程度等方面都存在明顯的差異。投資者和金融機構(gòu)應(yīng)根據(jù)自身的風(fēng)險偏好、投資目標以及數(shù)據(jù)和計算資源等實際情況，合理選擇使用VaR或CVaR來進行風(fēng)險度量和投資組合管理。三、基于VaR和CVaR約束的投資組合模型構(gòu)建3.1基于VaR約束的投資組合模型3.1.1模型假設(shè)與前提條件基于VaR約束的投資組合模型構(gòu)建于一系列重要的假設(shè)與前提條件之上，這些條件為模型的合理性和有效性奠定了基礎(chǔ)。在市場假設(shè)方面，模型假定市場是有效的。這意味著市場中的信息能夠迅速、準確地反映在資產(chǎn)價格中，不存在信息不對稱或市場操縱的情況。在有效市場中，投資者無法通過內(nèi)幕信息或市場操縱獲取超額收益，所有投資者都能平等地獲取市場信息，并基于這些信息做出投資決策。以股票市場為例，當(dāng)一家公司發(fā)布財務(wù)報告時，其股票價格會迅速根據(jù)報告中的信息進行調(diào)整，使股價反映公司的真實價值。關(guān)于交易成本，模型假設(shè)交易成本為零。這一假設(shè)簡化了模型的復(fù)雜性，使研究重點聚焦于資產(chǎn)的風(fēng)險和收益特征。在實際投資中，交易成本包括傭金、手續(xù)費、印花稅等，這些成本會對投資收益產(chǎn)生一定的影響。但在模型構(gòu)建初期，忽略交易成本有助于更清晰地理解投資組合的基本原理和風(fēng)險度量方法。賣空限制也是模型需要考慮的重要因素。在允許賣空的假設(shè)下，投資者可以借入資產(chǎn)并賣出，期望在資產(chǎn)價格下跌后以更低的價格買入歸還，從而獲取利潤。賣空機制增加了投資策略的靈活性，但也帶來了額外的風(fēng)險。而在不允許賣空的情況下，投資者只能通過買入資產(chǎn)來構(gòu)建投資組合，投資選擇受到一定的限制。在實際市場中，不同的市場和監(jiān)管環(huán)境對賣空的規(guī)定各不相同，因此在應(yīng)用模型時需要根據(jù)實際情況進行調(diào)整。在資產(chǎn)收益分布假設(shè)方面，傳統(tǒng)的基于VaR約束的投資組合模型通常假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。正態(tài)分布具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，便于進行理論分析和計算。在正態(tài)分布假設(shè)下，可以利用均值和方差來描述資產(chǎn)收益率的特征，從而簡化風(fēng)險度量和投資組合優(yōu)化的過程。然而，大量的實證研究表明，實際金融市場中的資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，即收益率分布的峰值比正態(tài)分布更高，尾部更厚，極端事件發(fā)生的概率更大。這種與正態(tài)分布的偏差使得基于正態(tài)分布假設(shè)的模型在度量風(fēng)險時可能會出現(xiàn)偏差，低估極端情況下的風(fēng)險。3.1.2模型構(gòu)建過程與數(shù)學(xué)表達式基于VaR約束的投資組合模型構(gòu)建過程緊密圍繞著投資組合的風(fēng)險與收益權(quán)衡展開，其核心目標是在控制風(fēng)險的前提下追求投資組合的收益最大化。下面將詳細闡述其構(gòu)建過程與數(shù)學(xué)表達式。假設(shè)投資組合由n種資產(chǎn)組成，第i種資產(chǎn)的投資比例為x_i，i=1,2,\cdots,n，且滿足\sum_{i=1}^{n}x_i=1，這一約束確保了投資組合的權(quán)重之和為1，涵蓋了所有投資資產(chǎn)。第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率為\mu_i，那么投資組合的預(yù)期收益率E(R_p)可以通過加權(quán)平均的方式計算得出，即E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i。該公式表明投資組合的預(yù)期收益率取決于各資產(chǎn)的預(yù)期收益率以及它們在投資組合中的權(quán)重，權(quán)重越大的資產(chǎn)對投資組合預(yù)期收益率的影響越大。為了衡量投資組合的風(fēng)險，引入風(fēng)險價值（VaR）。在給定的置信水平1-\alpha下，投資組合的VaR值記為VaR_{1-\alpha}，它表示在該置信水平下，投資組合可能遭受的最大損失。假設(shè)投資組合的收益率R_p服從某種概率分布，其概率密度函數(shù)為f(R_p)，則VaR滿足P(R_p\leq-VaR_{1-\alpha})=\alpha，即投資組合收益率小于等于-VaR_{1-\alpha}的概率為\alpha。基于VaR約束的投資組合優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達式為：\begin{align*}\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}&\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i\\s.t.&\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&P(R_p\leq-VaR_{1-\alpha})\leq\alpha\\&x_i\geq0\(i=1,2,\cdots,n)\(??????è???????o???)\end{align*}或者\begin{align*}\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}&\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i\\s.t.&\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&P(R_p\leq-VaR_{1-\alpha})\leq\alpha\end{align*}（允許賣空時）在這個模型中，目標函數(shù)\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i明確了投資組合的目標是最大化預(yù)期收益率。第一個約束條件\sum_{i=1}^{n}x_i=1保證了投資組合的權(quán)重之和為1，確保所有資金都被合理分配到各個資產(chǎn)中。第二個約束條件P(R_p\leq-VaR_{1-\alpha})\leq\alpha則體現(xiàn)了VaR約束，它限制了投資組合在給定置信水平下的最大損失，確保投資組合的風(fēng)險在可接受的范圍內(nèi)。當(dāng)不允許賣空時，還需添加約束條件x_i\geq0\(i=1,2,\cdots,n)，限制投資比例不能為負數(shù)；而允許賣空時，則沒有這一限制，投資者可以通過賣空資產(chǎn)來調(diào)整投資組合的風(fēng)險和收益特征。3.1.3模型的求解方法基于VaR約束的投資組合模型的求解方法豐富多樣，不同的方法適用于不同的模型形式和數(shù)據(jù)特點，下面將詳細介紹幾種常見的求解方法及其步驟和原理。線性規(guī)劃方法：當(dāng)投資組合模型中的約束條件和目標函數(shù)都呈現(xiàn)線性關(guān)系時，線性規(guī)劃方法成為一種有效的求解途徑。以基于VaR約束的投資組合模型為例，若假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，可通過一系列數(shù)學(xué)變換將VaR約束轉(zhuǎn)化為線性約束條件。在正態(tài)分布假設(shè)下，投資組合的收益率R_p可以表示為各資產(chǎn)收益率的線性組合，即R_p=\sum_{i=1}^{n}x_iR_i，其中R_i為第i種資產(chǎn)的收益率。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，投資組合的VaR值可以通過均值和標準差來計算，進而將VaR約束轉(zhuǎn)化為關(guān)于投資組合權(quán)重x_i的線性不等式。在確定了線性的目標函數(shù)和約束條件后，運用單純形法等線性規(guī)劃算法進行求解。單純形法的基本原理是通過不斷迭代，從一個可行解移動到另一個更優(yōu)的可行解，直到找到最優(yōu)解。在每次迭代中，選擇一個非基變量進入基變量集合，同時讓一個基變量離開，以逐步改善目標函數(shù)的值，直至達到最優(yōu)。二次規(guī)劃方法：在許多實際情況下，投資組合模型的目標函數(shù)可能是二次函數(shù)，而約束條件仍為線性，此時二次規(guī)劃方法成為首選。對于基于VaR約束的投資組合模型，當(dāng)考慮投資組合的方差作為風(fēng)險度量指標時，目標函數(shù)可能包含投資組合權(quán)重的二次項，從而形成二次規(guī)劃問題。假設(shè)投資組合的方差為\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j\sigma_{ij}，其中\(zhòng)sigma_{ij}為第i種資產(chǎn)和第j種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差。若目標是在滿足VaR約束的前提下最小化投資組合的方差，那么目標函數(shù)為\min_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j\sigma_{ij}，約束條件包括VaR約束和權(quán)重之和為1的約束等。求解二次規(guī)劃問題通常采用內(nèi)點法等算法。內(nèi)點法的核心思想是從可行域內(nèi)部的一個初始點出發(fā)，通過迭代逐步逼近最優(yōu)解。在每次迭代中，通過求解一個與原問題相關(guān)的障礙問題，找到一個新的迭代點，使得目標函數(shù)值不斷下降，同時始終保持在可行域內(nèi)，直至收斂到最優(yōu)解。蒙特卡羅模擬與優(yōu)化算法結(jié)合：蒙特卡羅模擬法以其強大的模擬能力，能夠有效處理復(fù)雜的投資組合模型和非正態(tài)分布的情況，與優(yōu)化算法相結(jié)合時，為求解基于VaR約束的投資組合模型提供了一種靈活而有效的途徑。首先，運用蒙特卡羅模擬法生成大量的資產(chǎn)收益率情景。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或市場假設(shè)，確定資產(chǎn)收益率的分布特征和相關(guān)參數(shù)，利用隨機數(shù)生成器生成大量的隨機數(shù)，模擬資產(chǎn)收益率在未來的各種可能走勢。對于每種模擬的資產(chǎn)收益率情景，計算投資組合的收益率和VaR值。然后，將蒙特卡羅模擬得到的結(jié)果與優(yōu)化算法相結(jié)合，如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等。遺傳算法模擬生物進化過程中的選擇、交叉和變異操作，對投資組合的權(quán)重進行優(yōu)化。在每次迭代中，根據(jù)模擬的投資組合收益率和VaR值，對投資組合權(quán)重進行調(diào)整，選擇適應(yīng)度較高（即預(yù)期收益率較高且VaR值在可接受范圍內(nèi)）的投資組合權(quán)重進行保留和遺傳，通過不斷迭代，逐步找到最優(yōu)的投資組合權(quán)重。3.2基于CVaR約束的投資組合模型3.2.1模型假設(shè)與前提條件在構(gòu)建基于CVaR約束的投資組合模型時，同樣需要一系列合理的假設(shè)與前提條件作為基礎(chǔ)，這些條件在一定程度上簡化了復(fù)雜的市場環(huán)境，使模型的構(gòu)建和分析更具可行性。市場有效性假設(shè)是模型的重要基石之一。如同基于VaR約束的投資組合模型，這里也假定市場是有效的，即市場價格能夠迅速、準確地反映所有可用信息。在這樣的市場中，投資者無法通過內(nèi)幕信息或市場操縱獲取超額收益，所有投資者都基于相同的信息集進行理性投資決策。以有效市場假說中的半強式有效市場為例，一旦公司發(fā)布財務(wù)報告、宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)公布等新信息，市場價格會立即做出調(diào)整，使得資產(chǎn)價格反映其內(nèi)在價值。交易成本在實際投資中是不可忽視的因素，但在模型構(gòu)建的初始階段，為了簡化分析，假設(shè)交易成本為零。這一假設(shè)使我們能夠?qū)Ｗ⒂谕顿Y組合的核心要素——資產(chǎn)的風(fēng)險與收益特征，而不被交易成本帶來的復(fù)雜性所干擾。在后續(xù)的研究中，可以逐步引入交易成本，進一步完善模型以更貼近實際投資情況。賣空限制也是模型需要考慮的關(guān)鍵因素。假設(shè)市場允許賣空，這為投資者提供了更多的投資策略選擇。投資者可以通過賣空預(yù)期價格下跌的資產(chǎn)，在資產(chǎn)價格下跌時獲利，從而增加投資組合的靈活性和潛在收益。然而，賣空也伴隨著風(fēng)險，如賣空資產(chǎn)價格上漲可能導(dǎo)致巨大的損失。在實際市場中，賣空往往受到各種監(jiān)管限制和成本約束，不同市場的賣空規(guī)則存在差異，在應(yīng)用模型時需要充分考慮這些實際情況。資產(chǎn)收益分布假設(shè)對模型的準確性和可靠性有著重要影響。與傳統(tǒng)基于VaR約束的投資組合模型不同，基于CVaR約束的投資組合模型對資產(chǎn)收益率分布的假設(shè)更為靈活。雖然正態(tài)分布在某些情況下仍然被采用，但考慮到實際金融市場中資產(chǎn)收益率常呈現(xiàn)尖峰厚尾、非對稱等特征，模型也可以采用更復(fù)雜的分布假設(shè)，如廣義極值分布（GEV）、廣義帕累托分布（GPD）等。這些分布能夠更好地擬合資產(chǎn)收益率的實際分布情況，尤其是在描述極端事件發(fā)生的概率和損失程度方面具有優(yōu)勢，從而使模型在度量風(fēng)險和優(yōu)化投資組合時更加準確。3.2.2模型構(gòu)建過程與數(shù)學(xué)表達式基于CVaR約束的投資組合模型構(gòu)建過程緊密圍繞風(fēng)險與收益的平衡展開，旨在為投資者提供在控制風(fēng)險前提下實現(xiàn)收益最大化的投資組合方案。下面將詳細闡述其構(gòu)建過程與數(shù)學(xué)表達式。假設(shè)投資組合由n種資產(chǎn)構(gòu)成，第i種資產(chǎn)的投資比例為x_i，i=1,2,\cdots,n，且滿足\sum_{i=1}^{n}x_i=1，這一條件確保了投資組合涵蓋了所有投資資產(chǎn)，且權(quán)重之和為1，保證了投資組合的完整性。第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率為\mu_i，那么投資組合的預(yù)期收益率E(R_p)可以通過各資產(chǎn)預(yù)期收益率的加權(quán)平均來計算，即E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i。該公式表明投資組合的預(yù)期收益率取決于各資產(chǎn)的預(yù)期收益率及其在投資組合中的權(quán)重，權(quán)重越大的資產(chǎn)對投資組合預(yù)期收益率的影響越顯著。為了準確度量投資組合的風(fēng)險，引入條件風(fēng)險價值（CVaR）。在給定的置信水平1-\alpha下，投資組合的CVaR值記為CVaR_{1-\alpha}，它表示在投資組合損失超過VaR值的條件下，超過部分損失的平均值。假設(shè)投資組合的損失變量為L_p，其概率密度函數(shù)為f(L_p)，則CVaR的數(shù)學(xué)表達式為CVaR_{1-\alpha}=E(L_p|L_p>VaR_{1-\alpha})=\frac{1}{\alpha}\int_{VaR_{1-\alpha}}^{+\infty}L_pf(L_p)dL_p?；贑VaR約束的投資組合優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達式為：\begin{align*}\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}&\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i\\s.t.&\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&CVaR_{1-\alpha}\leqc\\&x_i\geq0\(i=1,2,\cdots,n)\(??????è???????o???)\end{align*}或者\begin{align*}\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}&\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i\\s.t.&\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&CVaR_{1-\alpha}\leqc\end{align*}（允許賣空時）在這個模型中，目標函數(shù)\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i明確了投資組合的目標是最大化預(yù)期收益率，投資者希望通過合理配置資產(chǎn)權(quán)重，實現(xiàn)投資組合收益的最大化。第一個約束條件\sum_{i=1}^{n}x_i=1保證了投資組合的權(quán)重之和為1，確保所有資金都被合理分配到各個資產(chǎn)中，避免出現(xiàn)資金閑置或過度集中投資的情況。第二個約束條件CVaR_{1-\alpha}\leqc體現(xiàn)了CVaR約束，其中c為投資者設(shè)定的可接受的最大CVaR值，這一約束確保投資組合在極端情況下的平均損失在投資者可承受的范圍內(nèi)，有效控制了投資組合的風(fēng)險。當(dāng)不允許賣空時，還需添加約束條件x_i\geq0\(i=1,2,\cdots,n)，限制投資比例不能為負數(shù)，保證投資組合的構(gòu)建符合實際投資規(guī)則；而允許賣空時，則沒有這一限制，投資者可以通過賣空資產(chǎn)來調(diào)整投資組合的風(fēng)險和收益特征，增加了投資策略的靈活性。3.2.3模型的求解方法基于CVaR約束的投資組合模型在實際應(yīng)用中，求解方法的選擇至關(guān)重要，它直接影響到模型的實用性和有效性。將CVaR模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進行求解是一種常用且有效的方法，下面將詳細闡述其具體步驟和優(yōu)勢。轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的步驟：首先，引入輔助變量z和\xi。其中，z表示投資組合的VaR值，\xi用于描述損失超過VaR的部分。對于投資組合的損失函數(shù)L_p，可以表示為L_p=-\sum_{i=1}^{n}x_iR_i，其中R_i為第i種資產(chǎn)的收益率。根據(jù)CVaR的定義，我們可以得到以下關(guān)系：CVaR_{1-\alpha}=z+\frac{1}{\alpha}E[(L_p-z)^+]其中，(L_p-z)^+=\max(L_p-z,0)。為了將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，我們可以通過引入輔助變量\xi，將(L_p-z)^+表示為\xi，即\xi\geqL_p-z且\xi\geq0。然后，將原模型中的目標函數(shù)和約束條件進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化。原目標函數(shù)\max_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\sum_{i=1}^{n}x_i\mu_i保持不變，而約束條件則發(fā)生了變化。\sum_{i=1}^{n}x_i=1這一約束條件仍然保留，用于保證投資組合權(quán)重之和為1。對于CVaR約束CVaR_{1-\alpha}\leqc，可以轉(zhuǎn)化為z+\frac{1}{\alpha}\sum_{j=1}^{m}\omega_j\xi_j\leqc，其中m為模擬情景的數(shù)量，\omega_j為第j種情景的概率。同時，還需要添加約束條件\xi_j\geqL_{p,j\##\#3.3??¤?§??¨????????ˉ?è???????????\##\##3.3.1?¨??????????????·??????o?o?VaR?o|?????????èμ????????¨??????????é￡?é???o|é???

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???°???è????￠??o???????????°??????é????¨?ˉ1??°????????????è???????1?3???????è?????????????o???\[r_t=\ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\]?????-???\(r_t表示第t期的對數(shù)收益率，P_t表示第t期的資產(chǎn)價格，P_{t-1}表示第t-1期的資產(chǎn)價格。對數(shù)收益率具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，能夠更好地反映資產(chǎn)價格的變化情況，在金融分析中被廣泛應(yīng)用。經(jīng)過以上數(shù)據(jù)清洗、去噪和收益率計算等預(yù)處理步驟，原始數(shù)據(jù)得到了有效的整理和優(yōu)化，為后續(xù)基于VaR和CVaR約束的投資組合模型的實證分析提供了高質(zhì)量的數(shù)據(jù)支持，有助于提高模型分析的準確性和可靠性。4.2基于VaR約束的投資組合模型實證4.2.1模型參數(shù)估計在進行基于VaR約束的投資組合模型實證分析時，準確估計模型參數(shù)是至關(guān)重要的第一步。通過運用科學(xué)合理的統(tǒng)計方法，對資產(chǎn)收益率均值、方差、協(xié)方差等關(guān)鍵參數(shù)進行精確估計，能夠為后續(xù)的模型求解和分析提供堅實的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。對于資產(chǎn)收益率均值的估計，采用歷史數(shù)據(jù)的簡單算術(shù)平均值法。以選取的10只股票和國債、企業(yè)債數(shù)據(jù)為例，計算每只股票和債券在樣本期間內(nèi)的日收益率，然后將這些日收益率進行加總，再除以樣本天數(shù)，即可得到每只資產(chǎn)的平均日收益率。假設(shè)股票A在2015年1月1日至2023年12月31日期間共有2000個交易日，其日收益率分別為r_{A1},r_{A2},\cdots,r_{A2000}，則股票A的平均日收益率\bar{r}_A=\frac{1}{2000}\sum_{i=1}^{2000}r_{Ai}。通過這種方法，可以得到每只資產(chǎn)的預(yù)期收益率估計值，這些估計值反映了資產(chǎn)在歷史上的平均收益水平。資產(chǎn)收益率方差的估計采用樣本方差公式。對于每只資產(chǎn)，計算其日收益率與平均日收益率的差值的平方，然后將這些平方值進行加總，再除以樣本天數(shù)減1，即可得到資產(chǎn)收益率的方差。對于股票A，其收益率方差\sigma_A^2=\frac{1}{1999}\sum_{i=1}^{2000}(r_{Ai}-\bar{r}_A)^2。方差反映了資產(chǎn)收益率的波動程度，方差越大，說明資產(chǎn)收益率的波動越大，風(fēng)險也就越高。資產(chǎn)之間的協(xié)方差估計對于衡量投資組合中資產(chǎn)之間的相關(guān)性至關(guān)重要。采用歷史數(shù)據(jù)的協(xié)方差計算公式，對于任意兩只資產(chǎn)A和B，計算它們的日收益率與各自平均日收益率的差值的乘積，然后將這些乘積進行加總，再除以樣本天數(shù)減1，即可得到資產(chǎn)A和B之間的協(xié)方差。假設(shè)資產(chǎn)A和B的日收益率分別為r_{Ai}和r_{Bi}，平均日收益率分別為\bar{r}_A和\bar{r}_B，則它們之間的協(xié)方差\sigma_{AB}=\frac{1}{1999}\sum_{i=1}^{2000}(r_{Ai}-\bar{r}_A)(r_{Bi}-\bar{r}_B)。協(xié)方差的正負反映了資產(chǎn)之間的相關(guān)性方向，正協(xié)方差表示資產(chǎn)之間呈正相關(guān)，即當(dāng)一只資產(chǎn)收益率上升時，另一只資產(chǎn)收益率也傾向于上升；負協(xié)方差表示資產(chǎn)之間呈負相關(guān)，即當(dāng)一只資產(chǎn)收益率上升時，另一只資產(chǎn)收益率傾向于下降；協(xié)方差的絕對值越大，說明資產(chǎn)之間的相關(guān)性越強。在估計這些參數(shù)時，充分考慮了數(shù)據(jù)的時間序列特征和市場環(huán)境的變