八年級數(shù)學平行四邊形重點習題同學們在學習平面幾何的過程中，平行四邊形無疑是一個核心的樞紐，它承接了三角形的相關知識，又為后續(xù)學習特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）奠定了堅實基礎。掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定，不僅需要深刻理解定義，更要通過適量的習題練習來融會貫通，提升解題技巧。本文將圍繞平行四邊形的重點習題展開，剖析常見題型，點撥解題思路，希望能對同學們的學習有所助益。一、核心知識點回顧與梳理在深入習題之前，我們先簡要回顧一下平行四邊形的核心知識，這是解決一切相關問題的前提。1.平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。這個定義既是平行四邊形的判定方法，也是它最基本的性質(zhì)。2.平行四邊形的性質(zhì)：*對邊平行且相等；*對角相等，鄰角互補；*對角線互相平分；*是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。3.平行四邊形的判定方法：*定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；*兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；*一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；*兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；*對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這些知識點是我們解決平行四邊形問題的“利器”，必須熟練掌握，靈活運用。二、重點題型與解題策略（一）直接運用性質(zhì)或判定的基礎題這類題目主要考查對平行四邊形基本性質(zhì)和判定方法的記憶與直接應用，是夯實基礎的關鍵。例題1：已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=50°，AB=8，BC=10。求∠C的度數(shù)，CD和AD的長度。解析：同學們，看到平行四邊形，我們首先要想到它的性質(zhì)。因為四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)“平行四邊形對角相等”的性質(zhì)，∠A與∠C是對角，所以∠C=∠A=50°。再根據(jù)“平行四邊形對邊相等”的性質(zhì)，AB的對邊是CD，BC的對邊是AD。因此，CD=AB=8，AD=BC=10。這道題就是直接考查對平行四邊形性質(zhì)的記憶，難度不大，但要求我們準確無誤。例題2：在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，添加一個條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形。（至少寫出兩種不同的添加方法）解析：要使一個四邊形成為平行四邊形，我們有多種判定方法。題目已經(jīng)給出AB∥CD，這是一組對邊平行。那么，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，我們可以添加條件：AB=CD?；蛘?，根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，我們可以添加另一組對邊平行，即AD∥BC。此外，我們還可以從角的角度考慮，比如添加∠A=∠C（可通過AB∥CD推出∠A+∠D=180°，若∠A=∠C，則∠C+∠D=180°，從而AD∥BC）。所以答案不唯一，關鍵是掌握判定定理的靈活運用。（二）與對角線相關的計算與證明平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)，在解決與線段長度、三角形周長相關的計算以及證明線段相等、三角形全等時經(jīng)常用到。例題3：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，已知AO=3，BO=4，AB=5。求AC和BD的長度，并判斷△AOB的形狀。解析：首先，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，我們知道對角線AC被點O平分，所以AC=2AO=2×3=6；同理，BD=2BO=2×4=8。接下來判斷△AOB的形狀。在△AOB中，我們已知AO=3，BO=4，AB=5。觀察這三個數(shù)據(jù)，32+42=9+16=25=52，即AO2+BO2=AB2。根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°。這道題不僅考查了對角線的性質(zhì)，還結(jié)合了勾股定理的逆定理，體現(xiàn)了知識的綜合性。例題4：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F在AC上，且AE=CF。求證：BE=DF。解析：要證明BE=DF，我們可以考慮證明它們所在的三角形全等。觀察圖形，BE在△ABE或△CBE中，DF在△ADF或△CDF中。結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，OA=OC，OB=OD。已知AE=CF，而OA=OC，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF。在△BOE和△DOF中：OB=OD（平行四邊形對角線互相平分），∠BOE=∠DOF（對頂角相等），OE=OF（已證）。所以△BOE≌△DOF（SAS），因此BE=DF（全等三角形對應邊相等）。這里，通過對角線互相平分的性質(zhì)得到OE=OF是證明三角形全等的關鍵一步。（三）平行四邊形中的“中點”問題涉及中點時，常考慮構造中位線（盡管中位線是三角形的知識點，但常與平行四邊形結(jié)合）或利用中心對稱性質(zhì)。例題5：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點。求證：四邊形AECF是平行四邊形。解析：要證四邊形AECF是平行四邊形，我們可以從邊的關系入手。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD且AB=CD。由于E、F分別是AB、CD的中點，所以AE=1/2AB，CF=1/2CD，因此AE=CF。又因為AB∥CD，所以AE∥CF（平行線段的一部分也平行）。根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，可以判定四邊形AECF是平行四邊形。當然，也可以通過證明AF∥EC且AF=EC，或者兩組對邊分別相等來證明，同學們可以嘗試一下不同的思路。（四）平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的綜合應用平行四邊形的性質(zhì)為全等三角形的證明提供了邊和角的等量關系，反之，全等三角形也能為平行四邊形的判定提供條件。例題6：如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且DE=BF。求證：∠BAE=∠DCF。解析：要證∠BAE=∠DCF，我們可以嘗試證明△ABE≌△CDF。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD。已知DE=BF，而AD=BC，所以AD-DE=BC-BF，即AE=CF。在△ABE和△CDF中：AB=CD（平行四邊形對邊相等），AE=CF（已證），AD=BC（平行四邊形對邊相等），但這里我們需要的是∠B和∠D。哦，對了，∠B=∠D。所以△ABE≌△CDF（SAS）？等等，是AB=CD，∠A=∠C？不，我們要證的是∠BAE和∠DCF，這兩個角是∠BAD和∠BCD的一部分?；蛘撸驗椤鰽BE≌△CDF（SAS，AB=CD，∠D=∠B，DE=BF，AD=BC，所以AE=CF），所以∠BAE=∠DCF（全等三角形對應角相等）。是的，這樣就對了。這道題需要我們靈活選取已知條件，準確應用全等三角形的判定定理。（五）動態(tài)幾何與存在性問題這類問題能很好地考查學生的探究能力和空間想象能力。例題7：已知在平面直角坐標系中，點A(0,0)，B(4,0)，C(5,3)。是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。解析：這是一個平行四邊形存在性問題，需要分類討論。以A、B、C、D為頂點的平行四邊形，這四個點的順序不固定，所以AB、AC、BC都有可能作為平行四邊形的一條邊或?qū)蔷€。我們可以利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，或者對角線互相平分的性質(zhì)來求解。這里介紹利用對角線中點坐標公式的方法：平行四邊形對角線的中點重合，即兩條對角線中點的橫縱坐標分別相等。設點D的坐標為(x,y)。情況一：以AB為對角線，AC和BC為鄰邊。則AB中點坐標為((0+4)/2,(0+0)/2)=(2,0)，CD中點也應為(2,0)。C點坐標為(5,3)，則有(5+x)/2=2，(3+y)/2=0，解得x=-1，y=-3。所以D(-1,-3)。情況二：以AC為對角線，AB和BC為鄰邊。AC中點坐標為((0+5)/2,(0+3)/2)=(2.5,1.5)，BD中點也應為(2.5,1.5)。B點坐標為(4,0)，則有(4+x)/2=2.5，(0+y)/2=1.5，解得x=1，y=3。所以D(1,3)。情況三：以BC為對角線，AB和AC為鄰邊。BC中點坐標為((4+5)/2,(0+3)/2)=(4.5,1.5)，AD中點也應為(4.5,1.5)。A點坐標為(0,0)，則有(0+x)/2=4.5，(0+y)/2=1.5，解得x=9，y=3。所以D(9,3)。綜上，存在點D，其坐標為(-1,-3)或(1,3)或(9,3)。解決這類問題，分類討論是關鍵，要做到不重不漏。三、解題技巧與思想方法1.“性質(zhì)”與“判定”的雙向應用：既要會用性質(zhì)從平行四邊形得到邊、角、對角線的關系，也要會用判定方法從邊、角、對角線的關系判斷一個四邊形是不是平行四邊形。2.“方程思想”的運用：在求角度、邊長時，若直接求解困難，可以設未知數(shù)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解。例如，已知平行四邊形一個角比另一個角大多少度，求各角度數(shù)。3.“轉(zhuǎn)化思想”的滲透：將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題（如通過連對角線），利用三角形全等、勾股定理等知識解決。4.“數(shù)形結(jié)合”的意識：畫圖是解決幾何問題的重要輔助手段，仔細畫圖，標注已知條件，能幫助我們直觀地發(fā)現(xiàn)解題思路。5.“一題多解”與“多題歸一”：對于同一道題，嘗試用不同的方法解決，拓寬思路；對于不同的題目，總結(jié)其共性和解題規(guī)律，達到舉一反三的效果。四、鞏固練習1.在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為多少？2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△BOC的周長小3cm，若AB=5cm，求平行四邊形ABCD的周長。3.求證：平行四邊形一組對邊中點的連線必與對角線互相平分。4.在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C向B運動，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？（提示：第1題要注意角平分線可能與BC交于不同位置；第4題可利用“一組對