2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策應(yīng)用題解析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一假設(shè)某公司想要評估兩種不同的廣告策略（策略A和策略B）對產(chǎn)品銷售量的影響。隨機(jī)選取了10個地區(qū)的銷售數(shù)據(jù)（單位：件），其中5個地區(qū)采用策略A，另外5個地區(qū)采用策略B。以下是10個地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)：地區(qū)1（策略A）：150地區(qū)2（策略A）：180地區(qū)3（策略A）：160地區(qū)4（策略A）：170地區(qū)5（策略A）：165地區(qū)6（策略B）：140地區(qū)7（策略B）：155地區(qū)8（策略B）：145地區(qū)9（策略B）：160地區(qū)10（策略B）：150請完成以下分析：1.分別計算兩種廣告策略下銷售量的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.基于以上數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計檢驗，以判斷兩種廣告策略在總體銷售量上是否存在顯著差異。請說明檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)，計算檢驗統(tǒng)計量，并給出你的結(jié)論（請說明顯著性水平α的選擇及其依據(jù)，并解釋你的結(jié)論在實際應(yīng)用中的含義）。3.假設(shè)公司計劃在未來的廣告活動中選擇效果更好的策略。根據(jù)你的分析結(jié)果，提出你的建議，并簡要說明選擇該建議的理由。試題二一家制造廠關(guān)心其產(chǎn)品的不合格率問題。歷史上，該產(chǎn)品的總體不合格率據(jù)估計約為5%。為了監(jiān)控生產(chǎn)過程的質(zhì)量，工廠質(zhì)檢部門決定定期抽取樣本進(jìn)行檢查。如果樣本中不合格品的比例顯著高于5%，則認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了問題，需要立即進(jìn)行檢查和調(diào)整?，F(xiàn)在，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了200件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)其中有14件是不合格品。請完成以下分析：1.計算此次抽樣中樣本的不合格品比例，并估計總體不合格率的置信水平為95%的置信區(qū)間。2.假設(shè)質(zhì)檢部門設(shè)定，當(dāng)真實不合格率超過6%時，生產(chǎn)過程需要調(diào)整。請基于此次抽樣結(jié)果，運(yùn)用假設(shè)檢驗的方法（請明確零假設(shè)和備擇假設(shè)，選擇合適的檢驗方法，計算檢驗統(tǒng)計量，并給出結(jié)論），判斷是否應(yīng)該采取行動調(diào)整生產(chǎn)過程。請說明你的結(jié)論，并解釋其潛在的風(fēng)險（第一類錯誤或第二類錯誤）。3.如果工廠希望將檢驗的可靠性（即拒絕錯誤的原假設(shè)）提高到至少95%，并且當(dāng)真實不合格率達(dá)到8%時能夠有80%以上的概率正確拒絕原假設(shè)，請討論樣本量需要增大還是減??？請簡要說明理由。試題三某連鎖超市希望了解顧客在超市內(nèi)的購物時間與其購買金額之間是否存在關(guān)系。隨機(jī)抽取了50名顧客，記錄了他們在超市的購物時間（分鐘）和購買金額（元）。經(jīng)過初步分析，發(fā)現(xiàn)購物時間與購買金額之間存在一定的線性關(guān)系。請完成以下分析：1.描述如何建立描述購物時間與購買金額之間線性關(guān)系的回歸模型。請說明模型中各個變量的含義。2.假設(shè)你已經(jīng)得到了回歸方程Y?=b?+b?X，其中Y?表示預(yù)測的購買金額，X表示購物時間，b?和b?是回歸系數(shù)。請解釋回歸系數(shù)b?的經(jīng)濟(jì)含義。如果b?的估計值為15，請解釋這意味著什么。3.為了評估回歸模型的擬合優(yōu)度，計算了判定系數(shù)R2。假設(shè)R2的值為0.64。請解釋R2的含義，并說明該值說明了什么問題。4.超市經(jīng)理希望根據(jù)顧客的購物時間預(yù)測其購買金額。如果某顧客計劃購物50分鐘，請基于回歸模型預(yù)測其可能的購買金額。同時，請說明這種預(yù)測存在的局限性。試題四一家銀行想知道客戶的月收入（X，單位：元）和月信用卡消費額（Y，單位：元）之間是否存在線性關(guān)系。隨機(jī)抽取了30位客戶的樣本數(shù)據(jù)。以下是部分統(tǒng)計結(jié)果摘要（此處僅為示例，實際考試中應(yīng)有完整數(shù)據(jù)或計算結(jié)果）：樣本量n=30回歸系數(shù)b?=0.8回歸系數(shù)b?=-500總平方和SST=1500000回歸平方和SSR=980000請完成以下分析：1.計算判定系數(shù)R2和調(diào)整后的判定系數(shù)R2adj（假設(shè)樣本量n=30）。請解釋R2和R2adj的含義，并比較兩者的區(qū)別。2.計算估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤差oftheestimate,σ?）。請解釋該統(tǒng)計量的含義。3.寫出估計的回歸方程Y?=b?+b?X。請解釋該方程中b?和b?的含義。4.銀行經(jīng)理認(rèn)為月收入對月信用卡消費額有顯著影響。請基于以上信息，構(gòu)建一個假設(shè)檢驗，以統(tǒng)計學(xué)的角度驗證這一觀點。請說明零假設(shè)和備擇假設(shè)，選擇檢驗方法，計算檢驗統(tǒng)計量，并給出結(jié)論（請說明顯著性水平α的選擇及其依據(jù)）。試卷答案試題一1.策略A：樣本均值165，樣本標(biāo)準(zhǔn)差9.9；策略B：樣本均值148，樣本標(biāo)準(zhǔn)差7.6。2.檢驗方法：獨立樣本t檢驗。零假設(shè)H?：μ_A=μ_B（兩種策略的總體銷售量無顯著差異）。備擇假設(shè)H?：μ_A≠μ_B（兩種策略的總體銷售量存在顯著差異）。檢驗統(tǒng)計量：t=2.68（假設(shè)計算結(jié)果），自由度df=8。結(jié)論：選擇顯著性水平α=0.05。查t分布表得臨界值t_(0.025,8)≈2.306。由于|t|=2.68>2.306，拒絕H?。在α=0.05水平下，有顯著證據(jù)表明兩種廣告策略的總體銷售量存在差異。策略A的銷售量顯著高于策略B。3.建議：選擇策略A。因為根據(jù)假設(shè)檢驗結(jié)果，策略A帶來的平均銷售量顯著高于策略B。試題二1.樣本不合格品比例p?=14/200=0.07。95%置信區(qū)間：p?±z_(0.025)*sqrt(p?(1-p?)/n)=0.07±1.96*sqrt(0.07*0.93/200)≈(0.045,0.095)。2.檢驗方法：單樣本比例z檢驗。零假設(shè)H?：p≤0.06（真實不合格率不超過6%）。備擇假設(shè)H?：p>0.06（真實不合格率超過6%）。檢驗統(tǒng)計量：z=(p?-0.06)/sqrt(0.06*0.94/200)≈(0.07-0.06)/sqrt(0.0564/200)≈1.77。結(jié)論：選擇顯著性水平α=0.05。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值z_(0.05)=1.645。由于z=1.77>1.645，拒絕H?。在α=0.05水平下，有證據(jù)認(rèn)為真實不合格率超過6%。應(yīng)采取行動調(diào)整生產(chǎn)過程。該決策存在第一類錯誤的風(fēng)險，即實際不合格率不超過6%時，錯誤地決定調(diào)整生產(chǎn)過程。3.樣本量需要增大。因為當(dāng)真實不合格率達(dá)到較高的8%時，希望有更高的概率（80%以上）正確拒絕不合格率不超過6%的原假設(shè)，即希望提高檢驗的功效。增大樣本量可以降低檢驗的Ⅱ型錯誤概率，從而提高功效。試題三1.建立模型Y?=b?+b?X，其中Y?是購買金額的預(yù)測值，X是購物時間，b?是截距項（當(dāng)X=0時Y?的值），b?是斜率項（表示X每增加一個單位，Y?平均變化b?個單位）。2.回歸系數(shù)b?=15的經(jīng)濟(jì)含義是：購物時間每增加1分鐘，預(yù)計購買金額將平均增加15元。3.R2=0.64的含義是：購物時間解釋了購買金額變異性的64%。該值說明購物時間與購買金額之間存在較強(qiáng)的線性關(guān)系，購物時間是預(yù)測購買金額的一個較好的變量，但還有約36%的購買金額變異性與購物時間無關(guān)。4.預(yù)測購買金額Y?=b?+b?*50。假設(shè)b?=-500，則Y?=-500+15*50=250元。預(yù)測存在局限性：模型是基于歷史數(shù)據(jù)建立的，可能無法完全代表未來情況；線性關(guān)系假設(shè)可能不完全準(zhǔn)確；忽略了其他可能影響購買金額的因素（如顧客類型、促銷活動等）。試題四1.R2=SSR/SST=980000/1500000=0.6567。調(diào)整后的R2adj=1-(1-R2)(n-1)/(n-p-1)=1-(1-0.6567)*(30-1)/(30-2-1)=1-0.3433*29/27≈0.6367。R2的含義是模型中自變量（月收入）解釋了因變量（月信用卡消費額）變異性的65.67%。R2adj的含義是考慮了模型中自變量個數(shù)后，對R2進(jìn)行調(diào)整后的值，用于比較包含不同數(shù)量自變量的模型，它通常小于R2。2.估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ?=sqrt(MSE)=sqrt(SST-SSR)/sqrt(n-2)=sqrt(1500000-980000)/(30-2)=sqrt(520000)/28≈132.29。σ?的含義是實際月信用卡消費額與模型預(yù)測值之間平均偏離程度的估計，單位為元。3.估計的回歸方程Y?=-500+0.8X。其中，b?=-500表示當(dāng)月收入為0時，預(yù)測的信用卡消費額為-500元（理論上無實際意義，常用于模型構(gòu)建）；b?=0.8表示月收入每增加1元，預(yù)測的信用卡消費額將平均增加0.8元。4.檢驗方法：回歸系數(shù)的t檢驗。零假設(shè)H?：β?=0（月收入對信用卡消費額沒有線性影響）。備擇假設(shè)H?：β?≠0（月收入對信用卡消費額有線性影響）。檢驗統(tǒng)計量：t=b?/σ?_b?。需要計算標(biāo)準(zhǔn)誤差σ?_b?=σ?/sqrt(SSX)，其中SSX是X的離差平方和，SSX=SST-ΣX2/n=1500000