五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選填題）8種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1導(dǎo)數(shù)的幾何意義（5年5考）考點01求在曲線上一點處的切線方程2024·全國甲卷2023·全國甲卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·全國甲卷構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性從而進行比較大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點以及最值問題收高考必考題型零點含參問題的討論是導(dǎo)數(shù)綜合題型的重難點考點02已知切線（斜率）求參數(shù)2025·全國一卷2024·新高考全國Ⅰ卷考點03求過一點的切線方程2022·新高考全國Ⅱ卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅰ卷知識2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用（5年5考）考點04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·全國甲卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江2021·全國乙卷考點05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2025·全國二卷2024·新高考全國Ⅰ卷2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·全國乙卷2021·全國乙卷考點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值2023·上海2022·全國甲卷2022·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅰ卷知識3導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的其他應(yīng)用（5年4考）考點07利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·全國甲卷2023·全國乙卷2021·北京考點08利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2025·上?？键c01求在曲線上一點處的切線方程1．（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】〖祥解〗先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳析】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．2．（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳析】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C3．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可得其面積.【詳析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.4．【多選】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC〖祥解〗利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳析】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.5．【多選】（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．考點02已知切線（斜率）求參數(shù)6．（2025·全國一卷·高考真題）若直線是曲線的切線，則.【答案】〖祥解〗法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.【詳析】法一：對于，其導(dǎo)數(shù)為，因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標(biāo)為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)與的切點為，則，解得.故答案為：.7．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】〖祥解〗先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳析】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：考點03求過一點的切線方程8．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，．【答案】〖祥解〗分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；【詳析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；解：因為，當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】〖祥解〗設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳析】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：10．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【『點石成金』】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.考點04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性11．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳析】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.故選：D.12．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）〖祥解〗根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳析】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）13．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】〖祥解〗原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．15．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳析】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當(dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當(dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故17．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳析】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【『點石成金』】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.考點05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值18．（2025·全國二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則【答案】〖祥解〗由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳析】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當(dāng)時，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.19．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【『點石成金』】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.20．（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】〖祥解〗法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，即圖象在上方當(dāng)時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．21．【多選】（2025·全國二卷·高考真題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點【答案】ABD〖祥解〗對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳析】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.22．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳析】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當(dāng)時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時，，所以，正確；故選：ACD.23．（2024·上海·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B〖祥解〗A選項利用偶函數(shù)的性質(zhì)找到矛盾即可；B選項找到合適函數(shù)即可；C選項由定義得到集合與已知條件矛盾；D選項由集合的定義找到矛盾.【詳析】對于A選項：時，，當(dāng)時，，任意的，恒成立，若時偶函數(shù)，此時矛盾，故A選項錯誤；對于B選項：若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時，，時，，當(dāng)，，∴存在在處取最大值，故B選項正確；對于C選項：在時，若函數(shù)嚴(yán)格遞增，則集合的取值不會是，而是全體定義域，故C選項錯誤；對于D選項：若存在在處取到極小值，則在在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故D選項錯誤.故選：B24．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC〖祥解〗方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值點，故D錯誤.故選：.25．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳析】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD考點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值26．（2022·全國甲卷·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B〖祥解〗根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳析】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.27．（2022·全國乙卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D28．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）函數(shù)的最小值為.【答案】1〖祥解〗由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳析】由題設(shè)知：定義域為，∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.29．（2023·上?！じ呖颊骖}）公園修建斜坡，假設(shè)斜坡起點在水平面上，斜坡與水平面的夾角為θ，斜坡終點距離水平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為，要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少，則．【答案】〖祥解〗方法1，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解作答.方法2，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，借助輔助角公式求解作答.【詳析】方法1：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.方法2：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，由，得，即，其中銳角由確定，顯然，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，即，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.故答案為：30．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時，得，則當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是考點07利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點31．【多選】（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點B．當(dāng)時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD〖祥解〗A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳析】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【『點石成金』】結(jié)論『點石成金』：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心32．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④〖祥解〗由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳析】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【『點石成金』】思路『點石成金』：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．33．（2023·全國乙卷·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳析】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.34．（2024·全國甲卷·高考真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【答案】〖祥解〗將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳析】令，即，令則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：考點08利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根35．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B〖祥解〗由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點解不等式可得.【詳析】由題意，不妨設(shè)，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設(shè)，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.專題05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選填題）8種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1導(dǎo)數(shù)的幾何意義（5年5考）考點01求在曲線上一點處的切線方程2024·全國甲卷2023·全國甲卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·全國甲卷構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性從而進行比較大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點以及最值問題收高考必考題型零點含參問題的討論是導(dǎo)數(shù)綜合題型的重難點考點02已知切線（斜率）求參數(shù)2025·全國一卷2024·新高考全國Ⅰ卷考點03求過一點的切線方程2022·新高考全國Ⅱ卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅰ卷知識2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用（5年5考）考點04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·全國甲卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江2021·全國乙卷考點05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2025·全國二卷2024·新高考全國Ⅰ卷2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·全國乙卷2021·全國乙卷考點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值2023·上海2022·全國甲卷2022·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅰ卷知識3導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的其他應(yīng)用（5年4考）考點07利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·全國甲卷2023·全國乙卷2021·北京考點08利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2025·上海考點01求在曲線上一點處的切線方程1．（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】〖祥解〗先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳析】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．2．（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳析】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C3．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可得其面積.【詳析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.4．【多選】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC〖祥解〗利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳析】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.5．【多選】（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．考點02已知切線（斜率）求參數(shù)6．（2025·全國一卷·高考真題）若直線是曲線的切線，則.【答案】〖祥解〗法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.【詳析】法一：對于，其導(dǎo)數(shù)為，因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標(biāo)為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)與的切點為，則，解得.故答案為：.7．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】〖祥解〗先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳析】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：考點03求過一點的切線方程8．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，．【答案】〖祥解〗分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；【詳析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；解：因為，當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】〖祥解〗設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳析】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：10．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【『點石成金』】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.考點04利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性11．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳析】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.故選：D.12．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）〖祥解〗根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳析】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）13．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】〖祥解〗原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．15．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳析】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當(dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當(dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故17．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳析】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【『點石成金』】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.考點05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值18．（2025·全國二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則【答案】〖祥解〗由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳析】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當(dāng)時，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.19．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【『點石成金』】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.20．（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】〖祥解〗法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，即圖象在上方當(dāng)時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．21．【多選】（2025·全國二卷·高考真題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點【答案】ABD〖祥解〗對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳析】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.22．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳析】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當(dāng)時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時，，所以，正確；故選：ACD.23．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域為，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B〖祥解〗A選項利用偶函數(shù)的性質(zhì)找到矛盾即可；B選項找到合適函數(shù)即可；C選項由定義得到集合與已知條件矛盾；D選項由集合的定義找到矛盾.【詳析】對于A選項：時，，當(dāng)時，，任意的，恒成立，若時偶函數(shù)，此時矛盾，故A選項錯誤；對于B選項：若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時，，時，，當(dāng)，，∴存在在處取最大值，故B選項正確；對于C選項：在時，若函數(shù)嚴(yán)格遞增，則集合的取值不會是，而是全體定義域，故C選項錯誤；對于D選項：若存在在處取到極小值，則在在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故D選項錯誤.故選：B24．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC〖祥解〗方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值點，故D錯誤.故選：.25．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳析】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD考點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值26．（2022·全國甲卷·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B〖祥解〗根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳析】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.27．（2022·全國乙卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D28．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）函數(shù)的最小值為.【答案】1〖祥解〗由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳析】由題設(shè)知：定義域為，∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.29．（2023·上?！じ呖颊骖}）公園修建斜坡，假設(shè)斜坡起點在水平面上，斜坡與水平面的夾角為θ，斜坡終點距離水平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為，要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少，則．【答案】〖祥解〗方法1，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解作答.方法2，根據(jù)給定條件，求出斜坡長，列出總體力關(guān)于的函數(shù)，借助輔助角公式求解作答.【詳析】方法1：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.方法2：依題意，斜坡長度，因此人沿斜坡到坡頂消耗的總體力，由，得，即，其中銳角由確定，顯然，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，即，所以當(dāng)時，人上坡消耗的總體力最小.故答案為：30．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法