五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算及證明（5年5考）考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算是必考內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，能夠運(yùn)用方程思想，通過已知條件建立關(guān)于首項(xiàng)、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點(diǎn)，分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法等求和方法頻繁考查，要求學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列本身的知識，還需具備良好的知識遷移能力和綜合運(yùn)用能力，能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識體系?？键c(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海知識2數(shù)列求和（5年5考）考點(diǎn)03含絕對值的數(shù)列求和2023·全國乙卷考點(diǎn)04分組求和法2024·全國甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和2022·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)06錯位相減法求和2025·全國一卷2025·天津2024·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津知識3數(shù)列綜合（5年5考）考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識的綜合2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷考點(diǎn)09數(shù)列新定義2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算1．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．考點(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．7．（2021·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.8．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分．10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值.11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．12．（2022·上海·高考真題）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)03含絕對值的數(shù)列求和13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)04分組求和法14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．16．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．考點(diǎn)06錯位相減法求和18．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實(shí)數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．21．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（ⅰ）求證：當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．23．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．24．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合25．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．26．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識的綜合27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.28．（2023·上海·高考真題）令，取點(diǎn)過其曲線作切線交y軸于，取點(diǎn)過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大小；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．考點(diǎn)09數(shù)列新定義30．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．31．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．32．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．33．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．34．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算及證明（5年5考）考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算是必考內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，能夠運(yùn)用方程思想，通過已知條件建立關(guān)于首項(xiàng)、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點(diǎn)，分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法等求和方法頻繁考查，要求學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列本身的知識，還需具備良好的知識遷移能力和綜合運(yùn)用能力，能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識體系。考點(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海知識2數(shù)列求和（5年5考）考點(diǎn)03含絕對值的數(shù)列求和2023·全國乙卷考點(diǎn)04分組求和法2024·全國甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和2022·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)06錯位相減法求和2025·全國一卷2025·天津2024·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津知識3數(shù)列綜合（5年5考）考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識的綜合2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷考點(diǎn)09數(shù)列新定義2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算1．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·上海·高考真題）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．考點(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．7．（2021·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.8．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分．10．（2021·上海·高考真題）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值.11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．12．（2022·上?！じ呖颊骖}）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)03含絕對值的數(shù)列求和13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)04分組求和法14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．16．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．考點(diǎn)06錯位相減法求和18．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實(shí)數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．21．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．23．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．24．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合25．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．26．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識的綜合27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.28．（2023·上海·高考真題）令，取點(diǎn)過其曲線作切線交y軸于，取點(diǎn)過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩