2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策經(jīng)典案例試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某快餐連鎖店為了解其產(chǎn)品的客戶滿意度，隨機抽取了100名近期光顧其分店的顧客進行問卷調(diào)查。調(diào)查中包含對食物口味、服務速度、環(huán)境衛(wèi)生等多個維度的滿意度評分（評分范圍為1到5，1表示非常不滿意，5表示非常滿意）。假設樣本數(shù)據(jù)已經(jīng)過整理，得到以下部分信息：*樣本平均滿意度評分為4.2。*樣本標準差為0.8。*其中，25%的顧客給出了5分（非常滿意）的評分。*管理層希望了解整個顧客群體的平均滿意度水平，并計劃在95%的置信水平下進行估計。他們還想知道，如果想要以95%的置信水平估計滿意率為75%以上的顧客比例，所需的最少樣本量是多少（假設使用歷史數(shù)據(jù)，滿意率估計為70%）。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.計算該快餐連鎖店總體顧客平均滿意度的95%置信區(qū)間。2.說明在計算上述置信區(qū)間時所依據(jù)的統(tǒng)計原理和主要假設條件。3.計算并解釋為以95%的置信水平估計滿意率75%以上的顧客比例所需的最少樣本量。二、一家汽車制造公司想要比較其兩種不同型號的汽車（型號A和型號B）在燃油經(jīng)濟性方面的表現(xiàn)。研究人員隨機抽取了30輛型號A汽車和30輛型號B汽車，在相同的測試條件下進行燃油效率測試，記錄了每輛汽車的百公里油耗（單位：升）。假設測試數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，且已知兩總體方差相等，但具體數(shù)值未知。樣本統(tǒng)計結果如下：*型號A汽車樣本的平均百公里油耗為8.1升，樣本標準差為0.9升。*型號B汽車樣本的平均百公里油耗為7.8升，樣本標準差為1.0升。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.提出檢驗兩種型號汽車平均燃油經(jīng)濟性（以百公里油耗衡量）是否存在顯著差異的原假設和備擇假設。2.計算檢驗的統(tǒng)計量，并說明其分布。3.指出該檢驗的拒絕域（假設顯著性水平為α=0.05）。4.基于計算結果和拒絕域，做出統(tǒng)計決策，并解釋其業(yè)務含義。三、某零售企業(yè)關注其線上銷售額與廣告投入之間的關系。他們收集了過去20個月的月度數(shù)據(jù)，包括該月的總廣告投入（萬元）和對應的線上銷售額（萬元）。通過對數(shù)據(jù)的初步探索性分析，發(fā)現(xiàn)兩者之間存在一定的線性關系。假設回歸分析結果如下（部分）：*回歸方程：銷售額=50+1.5*廣告投入*回歸系數(shù)1.5的t統(tǒng)計量為3.8，對應的p值為0.001。*回歸模型的R方值為0.65。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.解釋回歸方程中斜率系數(shù)1.5的含義。2.基于p值，判斷廣告投入對線上銷售額是否有顯著影響（假設顯著性水平為α=0.05）。3.解釋R方值為0.65的含義，并評價該回歸模型對數(shù)據(jù)解釋的程度。4.如果下一個月計劃投入30萬元廣告費，請預測其可能的線上銷售額，并說明預測結果的置信區(qū)間構建思路（無需具體計算）。四、一家制藥公司研發(fā)了一種新的降血壓藥物。為了評估其療效，進行了一項隨機對照試驗。研究人員將符合條件的患者隨機分為兩組：試驗組服用新藥，對照組服用安慰劑。試驗持續(xù)8周，記錄了兩組患者治療前后血壓的變化值（收縮壓下降值，單位：mmHg）。假設數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，且兩組方差相等，但具體數(shù)值未知。樣本統(tǒng)計結果如下：*試驗組樣本量n1=40，平均收縮壓下降值=15mmHg，樣本標準差s1=3mmHg。*對照組樣本量n2=40，平均收縮壓下降值=8mmHg，樣本標準差s2=4mmHg。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.提出檢驗新藥是否比安慰劑更有效（即平均收縮壓下降值更高）的原假設和備擇假設。2.計算檢驗的統(tǒng)計量，并說明其分布。3.假設顯著性水平為α=0.01，查找臨界值，并確定拒絕域。4.基于計算結果和拒絕域，做出統(tǒng)計決策，并解釋其對于新藥是否有效的結論。五、某市場研究公司想要了解消費者對兩種品牌（品牌X和品牌Y）的偏好。他們隨機訪問了200名消費者，詢問他們是否更偏好品牌X、品牌Y，或者對兩者無特別偏好。調(diào)查結果的跨表匯總（部分）如下：|偏好情況|偏好品牌X|偏好品牌Y|無特別偏好|合計||:-------|:--------|:--------|:---------|:---||合計|80|50|70|200||偏好品牌X||||||偏好品牌Y||||||無特別偏好|||||（注：表中部分數(shù)據(jù)缺失）假設檢驗的目的是判斷消費者對品牌X和品牌Y的偏好是否存在顯著差異（不考慮“無特別偏好”的情況，只比較偏好X和偏好Y）。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.補全上表中的缺失數(shù)據(jù)。2.提出檢驗消費者對品牌X和品牌Y的偏好是否存在顯著差異的原假設和備擇假設。3.計算檢驗的統(tǒng)計量（卡方檢驗統(tǒng)計量），并說明其分布。4.假設顯著性水平為α=0.05，查找臨界值，并確定拒絕域。5.基于計算結果和拒絕域，做出統(tǒng)計決策，并解釋其對于兩種品牌偏好差異的結論。試卷答案一、1.95%置信區(qū)間為(4.2-1.96*0.8/sqrt(100),4.2+1.96*0.8/sqrt(100))，即(3.824,4.576)。2.該區(qū)間估計基于中心極限定理。假設樣本來自正態(tài)總體，或樣本量足夠大（n=100），樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。利用樣本均值、樣本標準差和樣本量計算標準誤，再根據(jù)置信水平（95%）對應的Z分數(shù)（1.96）構建置信區(qū)間。主要假設條件包括：樣本隨機性、總體分布正態(tài)性（或大樣本）以及總體方差未知但假設存在。3.所需最少樣本量n=(Z_(α/2)*σ/E)^2=(1.96*0.8/0.25)^2=(3.136/0.25)^2=(12.544)^2=157.35。由于樣本量必須為整數(shù)，向上取整，所需最少樣本量為158。二、1.原假設H0:μA=μB(兩種型號汽車平均燃油經(jīng)濟性無顯著差異)；備擇假設H1:μA≠μB(兩種型號汽車平均燃油經(jīng)濟性存在顯著差異)。2.計算合并標準差s_p=sqrt(((n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2)/(n1+n2-2))=sqrt(((30-1)*0.9^2+(30-1)*1.0^2)/(30+30-2))=sqrt((29*0.81+29*1)/58)=sqrt((23.49+29)/58)=sqrt(52.49/58)=sqrt(0.9041)≈0.951。檢驗統(tǒng)計量t=(mean1-mean2)/(s_p*sqrt(1/n1+1/n2))=(8.1-7.8)/(0.951*sqrt(1/30+1/30))=0.3/(0.951*sqrt(2/30))=0.3/(0.951*0.2582)=0.3/0.2459≈1.22。該檢驗統(tǒng)計量服從自由度為n1+n2-2=58的t分布。3.對于雙尾檢驗，α=0.05，自由度df=58。查找t分布表或使用計算器，得到臨界值t_(0.025,58)≈±2.002。拒絕域為t<-2.002或t>2.002。4.計算得到的檢驗統(tǒng)計量t≈1.22不屬于拒絕域（-2.002<1.22<2.002）。因此，不能拒絕原假設。業(yè)務含義：沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明兩種型號汽車的平均燃油經(jīng)濟性存在顯著差異。三、1.斜率系數(shù)1.5的含義是：在其他因素保持不變的情況下，廣告投入每增加1萬元，預計線上銷售額將增加1.5萬元。2.回歸系數(shù)1.5的t統(tǒng)計量為3.8，對應的p值（0.001）遠小于顯著性水平α（0.05）。因此，拒絕原假設（廣告投入對銷售額無顯著影響），有充分證據(jù)表明廣告投入對線上銷售額有顯著影響。3.R方值為0.65表示該回歸模型能夠解釋銷售額變異性的65%。評價：模型對數(shù)據(jù)的解釋程度尚可，但仍有35%的銷售額變異性未被模型解釋，可能受到其他未包含在模型中的因素影響。4.基于回歸方程銷售額=50+1.5*廣告投入，當廣告投入為30萬元時，預測銷售額=50+1.5*30=50+45=95萬元。構建置信區(qū)間需要計算預測標準誤，涉及到總體方差σ^2（未知時用樣本方差S^2估計）、殘差平方和、樣本量等，通常需要借助統(tǒng)計軟件或更復雜的公式進行計算。四、1.原假設H0:μ1≤μ2(新藥效果不優(yōu)于安慰劑，平均下降值不超過安慰劑)；備擇假設H1:μ1>μ2(新藥效果優(yōu)于安慰劑，平均下降值大于安慰劑)。2.計算合并標準差s_p=sqrt(((n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2)/(n1+n2-2))=sqrt(((40-1)*3^2+(40-1)*4^2)/(40+40-2))=sqrt((39*9+39*16)/78)=sqrt((351+624)/78)=sqrt(975/78)=sqrt(12.4615)≈3.53。檢驗統(tǒng)計量t=(mean1-mean2)/(s_p*sqrt(1/n1+1/n2))=(15-8)/(3.53*sqrt(1/40+1/40))=7/(3.53*sqrt(2/40))=7/(3.53*0.2236)=7/0.7891≈8.87。該檢驗統(tǒng)計量服從自由度為n1+n2-2=78的t分布。3.對于單尾檢驗，α=0.01，自由度df=78。查找t分布表或使用計算器，得到臨界值t_(0.01,78)≈2.374。拒絕域為t>2.374。4.計算得到的檢驗統(tǒng)計量t≈8.87大于臨界值2.374。因此，拒絕原假設。結論：有充分統(tǒng)計證據(jù)表明新藥比安慰劑更有效（平均收縮壓下降值更高）。五、1.補全2x2列聯(lián)表：|偏好情況|偏好品牌X|偏好品牌Y|無特別偏好|合計||:-------|:--------|:--------|:---------|:---||合計|80|50|70|200||偏好品牌X|40|20|20|80||偏好品牌Y|30|30|10|70||無特別偏好|10|0|60|70|2.原假設H0:品牌偏好與品牌選擇相互獨立（即對X和Y的偏好無差異）；備擇假設H1:品牌偏好與品牌選擇不獨立（即對X和Y的偏好有差異）。3.計算卡方檢驗統(tǒng)計量：χ^2=Σ((O-E)^2/E)，其中O為觀察頻數(shù)，E為期望頻數(shù)。E=(行合計*列合計)/總合計。*E11=(80*80)/200=32*E12=(80*50)/200=20*E13=(80*70)/200=28*E21=(70*80)/200=28*E22=(70*50)/200=17.5*E23=(70*70)/200=24.5*E31=(70*80)/200=28*E32=(70*50)/200=17.5*E33=(70*70)/200=24.5*χ^2=((40-32)^2/32+(20-20)^2/20+(20-28)^2/28+(30-28)^2/28+(30-17.5)^2/17.5+(10-24.5)^2/24.5+(10-28)^2/28+(0-17.5)^2/17.5+(60-24.5)^2/24.5)*χ^2=(64/32+0/20+64/28+4/28+156.25/17.5+207.025/24.5+324/28+306.25/17.5+1230.25/24.5)*χ^2≈2+0+2.286+0.14