高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角等于（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€垂直于軸，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.等比數(shù)列中，則的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，又所以，.故選：B.3.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B.4.若直線與圓相切，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得.故選：A.5.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時(shí)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因坐標(biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.6.如圖，二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則二面角的大小為，由題意，，則，所以，即，得，所以，即二面角的大小為.故選：C.7.已知，，三點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，則的最大值（）A.72 B.80 C.88 D.100【答案】C【解析】直線l1：變形為直線恒過定點(diǎn)，直線l2：直線恒過定點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，聯(lián)立，消去，得，所以是以為圓心，半徑為2的圓上一點(diǎn)，設(shè)且，，所以的最大值為88，故選：C.8.已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，解得，又因?yàn)?，可得，由直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且，則，所以，即.故選：A..二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列給出的命題正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B.兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別是，，則C.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面【答案】BC【解析】易知，則直線l與平面平行或在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；易知，則，故B正確；若不能作為基底，則存在，使得，整理得，又是空間的一組基底，則，顯然方程無(wú)解，假設(shè)不成立，故C正確；由空間四點(diǎn)共面的推論可知：若，且時(shí)，四點(diǎn)共面，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10.若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的取值范圍為C. D.線段中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度小于【答案】ACD【解析】由題知，圓心，半徑，對(duì)于A，時(shí)，圓心到直線的距離為，所以，A正確；對(duì)于B，，因?yàn)閮牲c(diǎn)不重合，所以，所以的取值范圍為，B不正確；對(duì)于C，易知圓與坐標(biāo)軸相切，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，由切割線定理可得，，C正確；對(duì)于D，設(shè)，線段中點(diǎn)為，聯(lián)立，，，所以，消去可得，，即，所以線段中點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在圓內(nèi)的部分，因?yàn)闉榘霃降膱A的周長(zhǎng)為，所以線段中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度小于.故選：ACD.11.若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，且，，則C.若中各項(xiàng)均為正數(shù)，則D.若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，依題意可得為等差數(shù)列，由，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，則可得，所以，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，且，，可得，，則，所以，，則，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由為等差數(shù)列，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由已知可得，所以，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，綜上所述，對(duì)任意的，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.【答案】28【解析】因?yàn)?，所以，所以，則.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，則，所以.14.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，沿軸將坐標(biāo)系翻折成直二面角，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，______.（參考公式：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三棱錐的體積最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)槭且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，所以，所以，。則，上述兩個(gè)等式作差可得，故.16.已知三個(gè)頂點(diǎn)分別，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)圓與圓相交與，兩點(diǎn)，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，求的值.解：（1）設(shè)圓的方程是①，由于圓是的外接圓，故，，三個(gè)點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足①的解，把它們的坐標(biāo)依次代入①的方程，得到關(guān)于，，的一個(gè)三元一次方程組，，解得，所求的圓的方程是，標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由于兩圓相交，聯(lián)立兩圓方程，作差，得，要使得最長(zhǎng)，則此時(shí)過點(diǎn)，即為圓的直徑，將點(diǎn)代入得，，結(jié)合，得17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐標(biāo)為，求的面積.解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得：，所以的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.18.如圖，在三棱臺(tái)中，上下底面分別為邊長(zhǎng)是2和4的等邊三角形，平面，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由.（1）證明：連接，則四邊形為平行四邊形，由于平面，故平面，平面,故,結(jié)合為的中點(diǎn)，故為等腰三角形，可得，，所以，即，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，易知，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，.，設(shè)，，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，因?yàn)椋O(shè)直線與平面所成角為，則，整理得，即或，所以，當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.19.若橢圓：上兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)M，N互為共軛點(diǎn).顯然，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，總有兩個(gè)共軛點(diǎn).已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)共軛點(diǎn)分別記為.（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，記其斜率分別為，其中，求的最小值；（3）證明：的面積為定值.（1）解：的共軛點(diǎn)分別記為，，直線的方程為，聯(lián)立得，，；（2）解：點(diǎn)在橢圓上，，即，由（1）知，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，代入，得，即，，，當(dāng)時(shí)，易知，對(duì)應(yīng)共軛點(diǎn)為，此時(shí)，故也成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）證明：由（2）知，對(duì)任意點(diǎn)，都有，，點(diǎn)到直線的距離為，的面積，故的面積為定值.廣東省深圳市寶安區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角等于（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€垂直于軸，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.等比數(shù)列中，則的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，又所以，.故選：B.3.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B.4.若直線與圓相切，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得.故選：A.5.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時(shí)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因坐標(biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.6.如圖，二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則二面角的大小為，由題意，，則，所以，即，得，所以，即二面角的大小為.故選：C.7.已知，，三點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，則的最大值（）A.72 B.80 C.88 D.100【答案】C【解析】直線l1：變形為直線恒過定點(diǎn)，直線l2：直線恒過定點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，聯(lián)立，消去，得，所以是以為圓心，半徑為2的圓上一點(diǎn)，設(shè)且，，所以的最大值為88，故選：C.8.已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，解得，又因?yàn)?，可得，由直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且，則，所以，即.故選：A..二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列給出的命題正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B.兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別是，，則C.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面【答案】BC【解析】易知，則直線l與平面平行或在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；易知，則，故B正確；若不能作為基底，則存在，使得，整理得，又是空間的一組基底，則，顯然方程無(wú)解，假設(shè)不成立，故C正確；由空間四點(diǎn)共面的推論可知：若，且時(shí)，四點(diǎn)共面，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10.若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的取值范圍為C. D.線段中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度小于【答案】ACD【解析】由題知，圓心，半徑，對(duì)于A，時(shí)，圓心到直線的距離為，所以，A正確；對(duì)于B，，因?yàn)閮牲c(diǎn)不重合，所以，所以的取值范圍為，B不正確；對(duì)于C，易知圓與坐標(biāo)軸相切，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，由切割線定理可得，，C正確；對(duì)于D，設(shè)，線段中點(diǎn)為，聯(lián)立，，，所以，消去可得，，即，所以線段中點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在圓內(nèi)的部分，因?yàn)闉榘霃降膱A的周長(zhǎng)為，所以線段中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度小于.故選：ACD.11.若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，且，，則C.若中各項(xiàng)均為正數(shù)，則D.若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，依題意可得為等差數(shù)列，由，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，則可得，所以，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，且，，可得，，則，所以，，則，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由為等差數(shù)列，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由已知可得，所以，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，綜上所述，對(duì)任意的，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.【答案】28【解析】因?yàn)?，所以，所以，則.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，則，所以.14.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，沿軸將坐標(biāo)系翻折成直二面角，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，______.（參考公式：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三棱錐的體積最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)槭且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，所以，所以，。則，上述兩個(gè)等式作差可得，故.16.已知三個(gè)頂點(diǎn)分別，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)圓與圓相交與，兩點(diǎn)，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，求的值.解：（1）設(shè)圓的方程是①，由于圓是的外接圓，故，，三個(gè)點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足①的解，把它們的坐標(biāo)依次代入①的方程，得到關(guān)于，，的一個(gè)三元一次方程組，，解得，所求的圓的方程是，標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由于兩圓相交，聯(lián)立兩圓方程，作差，得，要使得最長(zhǎng)，則此時(shí)過點(diǎn)，即為圓的直徑，將點(diǎn)代入得，，結(jié)合，得17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐標(biāo)為，求的面積.解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以，化?jiǎn)得：，所以的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或