高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)試題（人教版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所?故選：A.2.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則（）A.4 B. C.或5 D.【答案】D【解析】由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，得，所以.故選：D.3.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓上有一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B.12 C. D.20【答案】B【解析】由題意，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：B.4.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的標(biāo)準(zhǔn)形式為，其焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，坐標(biāo)為.故選：C.5.已知雙曲線(xiàn)的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以.因?yàn)椋噪p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.6.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為、，若，則四邊形（為圓的圓心）的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?。易知為銳角，則，，所以，，因此，.故選：C.7.在平行六面體中，點(diǎn)分別在棱上，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?故選：A.8.已知是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，由拋物線(xiàn)的定義，可得PM=PF，則.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知，的中點(diǎn)，即在直線(xiàn)上，則可得，解得，則直線(xiàn)，斜率為，又直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則可得，解得，故選：AC.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的面積為，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題意可知，則.因?yàn)?，且，所以或或或或或?dāng)或時(shí)，，離心率為；當(dāng)或時(shí)，，離心率為；當(dāng)或時(shí)，，離心率為.故選：ABD.11.在正四棱錐中，，則（）A.B.異面直線(xiàn)所成角的余弦值為C.向量在向量上的投影向量為D.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】記，連接，以坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，，由得，由?則，所以，故A正確.因?yàn)?，所以，，所以，所以異面直線(xiàn)所成角的余弦值為，故B正確.向量在向量上的投影向量為，故C不正確.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，因?yàn)?，所以令，?又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，若四點(diǎn)共面，則______.【答案】【解析】在四面體中，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，，所以，解得.13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，以線(xiàn)段為直徑的圓與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為.若，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則由，得，，則.由，得，解得，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，是滿(mǎn)足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，則該阿氏圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______；若該阿氏圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，則，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；該阿氏圓的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且點(diǎn)，在上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交于D，E兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，由得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以.16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小2，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的方程.解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離比它到直線(xiàn)的距離小2，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線(xiàn)的斜率，故直線(xiàn)的方程為，即.17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)?，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：由題可知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．所以，則平面與平面的夾角的余弦值為．18.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，△，△均為等邊三角形，．（1）證明：平面平面．（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱錐的體積．（1）證明：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，所以，解得，即，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，又平行四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為.19.已知橢圓的離心率是，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是的內(nèi)心，求的最大值.解：（1）由題意可得解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè).由等面積法得，則.由題意可得F1-1,0，則直線(xiàn)的方程為，即.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.因，所以，所以.因?yàn)槭菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以，所以，整理得，即.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，即，則.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.廣西部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)試題（人教版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所?故選：A.2.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則（）A.4 B. C.或5 D.【答案】D【解析】由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，得，所以.故選：D.3.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓上有一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B.12 C. D.20【答案】B【解析】由題意，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：B.4.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的標(biāo)準(zhǔn)形式為，其焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，坐標(biāo)為.故選：C.5.已知雙曲線(xiàn)的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以.因?yàn)椋噪p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.6.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為、，若，則四邊形（為圓的圓心）的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?。易知為銳角，則，，所以，，因此，.故選：C.7.在平行六面體中，點(diǎn)分別在棱上，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?故選：A.8.已知是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，由拋物線(xiàn)的定義，可得PM=PF，則.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知，的中點(diǎn)，即在直線(xiàn)上，則可得，解得，則直線(xiàn)，斜率為，又直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則可得，解得，故選：AC.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的面積為，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題意可知，則.因?yàn)椋?，所以或或或或或?dāng)或時(shí)，，離心率為；當(dāng)或時(shí)，，離心率為；當(dāng)或時(shí)，，離心率為.故選：ABD.11.在正四棱錐中，，則（）A.B.異面直線(xiàn)所成角的余弦值為C.向量在向量上的投影向量為D.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】記，連接，以坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，，由得，由?則，所以，故A正確.因?yàn)椋?，，所以，所以異面直線(xiàn)所成角的余弦值為，故B正確.向量在向量上的投影向量為，故C不正確.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，因?yàn)?，所以令，?又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，若四點(diǎn)共面，則______.【答案】【解析】在四面體中，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，，所以，解得.13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，以線(xiàn)段為直徑的圓與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為.若，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則由，得，，則.由，得，解得，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，是滿(mǎn)足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，則該阿氏圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______；若該阿氏圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，則，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；該阿氏圓的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且點(diǎn)，在上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交于D，E兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，由得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以.16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小2，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的方程.解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離比它到直線(xiàn)的距離小2，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線(xiàn)的斜率，故直線(xiàn)的方程為，即.17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)椋?，又，所以四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：由題可知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．所以，則平面與平面的夾角的余弦值為．18.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，△，△均為等邊三角形，．（1）證明：平面平面．（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱錐的體積．（1）證明：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由，