高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省滄州市八縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，得∵，，∴，解得故選：D.2.過點，且在軸上的截距為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】顯然斜率存在，可設(shè)直線方程為，則，所以，所以直線方程為，即.故選：C.3.已知橢圓的兩個焦點分別為，，點是上一點，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為點是橢圓上一點，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點是橢圓上一點，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4.已知點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，解得或.故選：C.5.兩平行直線與之間的距離為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6.已知是橢圓的左?右焦點，為上一點，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運(yùn)動，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.所以.即的最小值為1.故選：A.7.已知圓：，過圓外一點作的兩條切線，切點分別為.若，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】易知圓圓心坐標(biāo)為，半徑，連接，如下圖所示：利用對稱性由可知，又易知，所以可得，即，又，所以為正三角形，即可得；故選：B.8.在四面體中，平面，，點分別為棱上的點，且，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：因為，所以，則，又，所以，則，又平面，平面，所以，，即，又，所以所以，，，所以，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于曲線性質(zhì)的描述正確的是（）A.關(guān)于軸對稱 B.關(guān)于原點對稱C.關(guān)于直線對稱 D.所圍成的圖形的面積小于12【答案】ABD【解析】把曲線中的同時換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A對；把曲線中的，同時換成，方程變?nèi)詾椋郧€關(guān)于原點對稱，故B對；把曲線中的，同時換成，方程變?yōu)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯；由可得，，所以所圍成的圖形的面積小于12，故D對，故選：ABD.10.已知正方體的棱長為2，若，的中點分別為，，則（）A. B.平面平面C. D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】因為∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因為∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正確；如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A錯誤，C正確；設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，又，所以，故點到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點橫縱坐標(biāo)之積的絕對值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線經(jīng)過點，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）【答案】ACD【解析】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點（），由已知，即.若點在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項錯誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點，當(dāng)整點為時，，此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意;當(dāng)整點為時，，此時整點均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則______．【答案】【解析】若，則，解得．13.圓：與圓：相交于、兩點，則_________．【答案】4【解析】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.14.設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓【答案】【解析】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則，因為，所以，可得，代入上式得，消去并化簡整理得：，將代入化簡得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點坐標(biāo)分別是，，.（1）判斷的形狀，并證明；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）是直角三角形，理由如下：因為，，，所以，，所以，所以，所以是直角三角形，又，，所以，所以是直角三角形；（2）因為，所以邊上的高所在直線的斜率為，又邊上的高所在直線過點，由點斜式方程可得邊上的高所在直線的方程為，即.16.已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點，且的面積為8，求直線的方程.解：（1）由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點分別是線段上的點，且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因，所以，即．（2）解：由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18.已知橢圓經(jīng)過點A-2,0與點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于異于的，兩點，且.①證明：直線過定點；②求的面積的最大值.（1）解：設(shè)橢圓x2m+因為橢圓經(jīng)過點A-2,0與點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)，不妨令在軸上方，則，假設(shè)直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直線方程為；假設(shè)斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直線方程或，所以直線恒過或（舍去），綜上，直線恒過定點.②解：由上述可知，當(dāng)直線斜率不存在時，，設(shè)定點為點，則，所以；當(dāng)直線斜率存在時，，則設(shè)方程為，聯(lián)立得，則，，所以，設(shè)，則，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故的面積的最大值為.19.已知點是平面內(nèi)不同的兩點，若點滿足，且，則點的軌跡是以有序點對為“穩(wěn)點”的-阿波羅尼斯圓.若點滿足，則點的軌跡是以為“穩(wěn)點”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.（1）若以為“穩(wěn)點”的-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；（2）在（1）的條件下，若點在以為“穩(wěn)點”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點）的取值范圍；（3）卡西尼卵形線是中心對稱圖形，且只有1個對稱中心，若，求證：不存在實數(shù)，使得以為“穩(wěn)點”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個點對稱.（1）解：因為以為“穩(wěn)點”的一阿波羅尼斯圓的方程為，設(shè)Px,y是該圓上任意一點，則，所以，因為為常數(shù)，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，設(shè)，由，得，所以，，整理得，即，所以，，由，得，即OQ的取值范圍是.（3）證明：若，則以為“穩(wěn)點”的一阿波羅尼斯圓的方程為，整理得，該圓關(guān)于點對稱.由點關(guān)于點對稱及，可得—卡西尼卵形線關(guān)于點對稱，令，解得，與矛盾，所以不存在實數(shù)，使得以為穩(wěn)點的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個點對稱.河北省滄州市八縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，得∵，，∴，解得故選：D.2.過點，且在軸上的截距為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】顯然斜率存在，可設(shè)直線方程為，則，所以，所以直線方程為，即.故選：C.3.已知橢圓的兩個焦點分別為，，點是上一點，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為點是橢圓上一點，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點是橢圓上一點，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4.已知點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，解得或.故選：C.5.兩平行直線與之間的距離為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6.已知是橢圓的左?右焦點，為上一點，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運(yùn)動，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.所以.即的最小值為1.故選：A.7.已知圓：，過圓外一點作的兩條切線，切點分別為.若，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】易知圓圓心坐標(biāo)為，半徑，連接，如下圖所示：利用對稱性由可知，又易知，所以可得，即，又，所以為正三角形，即可得；故選：B.8.在四面體中，平面，，點分別為棱上的點，且，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：因為，所以，則，又，所以，則，又平面，平面，所以，，即，又，所以所以，，，所以，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于曲線性質(zhì)的描述正確的是（）A.關(guān)于軸對稱 B.關(guān)于原點對稱C.關(guān)于直線對稱 D.所圍成的圖形的面積小于12【答案】ABD【解析】把曲線中的同時換成，方程變?nèi)詾椋郧€關(guān)于軸對稱，故A對；把曲線中的，同時換成，方程變?nèi)詾椋郧€關(guān)于原點對稱，故B對；把曲線中的，同時換成，方程變?yōu)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯；由可得，，所以所圍成的圖形的面積小于12，故D對，故選：ABD.10.已知正方體的棱長為2，若，的中點分別為，，則（）A. B.平面平面C. D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】因為∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因為∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正確；如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A錯誤，C正確；設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，又，所以，故點到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點橫縱坐標(biāo)之積的絕對值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線經(jīng)過點，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）【答案】ACD【解析】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點（），由已知，即.若點在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項錯誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點，當(dāng)整點為時，，此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意;當(dāng)整點為時，，此時整點均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則______．【答案】【解析】若，則，解得．13.圓：與圓：相交于、兩點，則_________．【答案】4【解析】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.14.設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓【答案】【解析】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則，因為，所以，可得，代入上式得，消去并化簡整理得：，將代入化簡得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點坐標(biāo)分別是，，.（1）判斷的形狀，并證明；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）是直角三角形，理由如下：因為，，，所以，，所以，所以，所以是直角三角形，又，，所以，所以是直角三角形；（2）因為，所以邊上的高所在直線的斜率為，又邊上的高所在直線過點，由點斜式方程可得邊上的高所在直線的方程為，即.16.已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點，且的面積為8，求直線的方程.解：（1）由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點分別是線段上的點，且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因，所以，即．（2）解：由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18.已知橢圓經(jīng)過點A-2,0與點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于異于的，兩點，且.①證明：直線過定點；②求的面積的最大值.（1）解：設(shè)橢圓x2m+因為橢圓經(jīng)過點A-2,0與點，所以，解得，所以橢圓的方