高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省瀏陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閮A斜角為，所以，由直線的點(diǎn)斜式方程得.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程是（）A B.C. D.【答案】D【解析】由題得雙曲線的方程為，所以所以漸近線方程為.故選：D.3.如圖，在平行六面體中，為和的交點(diǎn)，若，則下列式子中與相等的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，．故選：A．4.設(shè)函數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，故選：B.5.已知直線方向向量為，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】點(diǎn)，點(diǎn)，所以..根據(jù)向量點(diǎn)積公式可得：因?yàn)?，所以：且，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.6.已知數(shù)列中，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，兩邊同時加上，得到.因?yàn)?，所以，可知?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，且公比為.等比數(shù)列的通項(xiàng).故選：C.7.已知函數(shù)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以f'x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，，故.故選：A.8.過橢圓上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若直線在軸，軸上的截距分別為，若，則橢圓離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為，由切圓于，得，則，于是，同理，因此直線的方程為，則，即，所以橢圓離心率.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列四個結(jié)論正確的是（）A.任意向量，若，則或或B.若空間中點(diǎn)滿足，則三點(diǎn)共線C.空間中任意向量都滿足D.已知向量，若，則為鈍角【答案】AB【解析】對于A，，則或或，即或或，故A正確；對于B，因?yàn)椋瑒t，即，所以，所以A，B，C三點(diǎn)共線，故B正確；對于C，，是與共線得向量，，是與共線得向量，而與方向不確定，故無法確定與是否相等，故C錯誤；對于D，，若，則，當(dāng)時，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以當(dāng)，且時，為鈍角，故D錯誤.故選：AB.10.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，下列說法正確的是（）A. B.C.數(shù)列的最大項(xiàng)為 D.【答案】ABD【解析】由題意，，則，，又是等差數(shù)列，所以，故A正確；又，則，故D正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)闀r，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，故C錯誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，，是的兩個零點(diǎn)，且，則（）A. B.為的極小值點(diǎn)C.的極大值為4 D.滿足的解集是【答案】BCD【解析】因?yàn)?，是的兩個零點(diǎn)，則，即，，則，所以，即，解得，則，即對于A，，故A錯誤；對于B，由，令f'x>0，得或；令f'x所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的極小值點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，故C正確；對于D，由于，畫出函數(shù)的圖象，如圖，滿足的解集是，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，則__________.【答案】【解析】，∴，∵，∴.13.已知向量，則在上的投影向量為__________.【答案】【解析】設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?，又因?yàn)?，，所以，，所以，所以在上的投影向量為?14.已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則______，若在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】1【解析】由題，因，則.則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以.因?yàn)?，?dāng)時，，且只有一個零點(diǎn)，符合題意；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，又，則結(jié)合，則，使得，與已知矛盾；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則.構(gòu)造函數(shù)，則.,則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則，得在上遞減，則.又，所以，使得，與已知矛盾；綜上可知，．，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，由第一空分析可知，，設(shè)，則.設(shè)，則..得在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是的拋物線方程；（2）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程；（3）離心率，經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程.解：（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是：，所以拋物線開口向左，且.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.又橢圓過點(diǎn)得：，又，所以.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（3）由，又，所以.設(shè)雙曲線方程為：，把點(diǎn)代入，得：.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：16.已知圓：，直線:．（1）求證：直線恒過定點(diǎn)；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系（3）直線被圓截得的弦何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時m的值及最短弦長．（1）證明：依題意將直線的方程化為，聯(lián)立，解得，故直線恒過定點(diǎn)．（2）解：結(jié)合（1）可得直線恒過定點(diǎn)，又圓心為，半徑為，又，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交．（3）解：設(shè)直線過圓交于點(diǎn)，，設(shè)圓心到直線的距離為，顯然當(dāng)直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長，即，當(dāng)直線不過圓心時，直線被圓截得的弦長為，即當(dāng)最長時，直線被圓截得的弦長最短，又結(jié)合（2）可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，且，若直線時，；若直線與不垂直時，，所以當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，且，此時直線，則，解得．故當(dāng)直線過圓心時，被截得弦長最長；當(dāng)直線時,被截得弦長最短，此時，及最短弦長為．17.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的大??；（3）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.依題設(shè)，，，，.，，，.因?yàn)椋剩?又平面，所以平面.（2）解：，，則，所以異面直線與所成角為.（3）解：設(shè)向量n=x,y,z是平面的法向量，則，.故，令，則，所以.所以，設(shè)平面與平面所成角為，則.18.已知函數(shù)其中（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于恒成立，求的最大值.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時，函數(shù)，可得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，則令，可得，所以函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由，得在上恒成立，設(shè)，則，由，解得，（其中），隨著變化，與的變化情況如下表所示：0↘極小值↗所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的最小值為.由題意得，即.設(shè)，則.因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，.所以當(dāng)，，即，時，有最大值為.19.已知數(shù)列，若為等比數(shù)列，則稱具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值；（2）若，判斷并證明數(shù)列是否具有性質(zhì)；（3）設(shè)，數(shù)列具有性質(zhì)，其中，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由題意數(shù)列具有性質(zhì)為等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，得，，又（2）數(shù)列具有性質(zhì)；證明如下：因?yàn)?，所以，則，即為等比數(shù)列，所以數(shù)列具有性質(zhì)（3）因?yàn)?，則當(dāng)，故，適合該式，故，所以由，得，因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，故為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，故當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，故.湖南省瀏陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閮A斜角為，所以，由直線的點(diǎn)斜式方程得.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程是（）A B.C. D.【答案】D【解析】由題得雙曲線的方程為，所以所以漸近線方程為.故選：D.3.如圖，在平行六面體中，為和的交點(diǎn)，若，則下列式子中與相等的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，．故選：A．4.設(shè)函數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，故選：B.5.已知直線方向向量為，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】點(diǎn)，點(diǎn)，所以..根據(jù)向量點(diǎn)積公式可得：因?yàn)椋裕呵?，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.6.已知數(shù)列中，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，兩邊同時加上，得到.因?yàn)?，所以，可知?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，且公比為.等比數(shù)列的通項(xiàng).故選：C.7.已知函數(shù)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以f'x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，，故.故選：A.8.過橢圓上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若直線在軸，軸上的截距分別為，若，則橢圓離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為，由切圓于，得，則，于是，同理，因此直線的方程為，則，即，所以橢圓離心率.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列四個結(jié)論正確的是（）A.任意向量，若，則或或B.若空間中點(diǎn)滿足，則三點(diǎn)共線C.空間中任意向量都滿足D.已知向量，若，則為鈍角【答案】AB【解析】對于A，，則或或，即或或，故A正確；對于B，因?yàn)?，則，即，所以，所以A，B，C三點(diǎn)共線，故B正確；對于C，，是與共線得向量，，是與共線得向量，而與方向不確定，故無法確定與是否相等，故C錯誤；對于D，，若，則，當(dāng)時，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以當(dāng)，且時，為鈍角，故D錯誤.故選：AB.10.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，下列說法正確的是（）A. B.C.數(shù)列的最大項(xiàng)為 D.【答案】ABD【解析】由題意，，則，，又是等差數(shù)列，所以，故A正確；又，則，故D正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)闀r，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，故C錯誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，，是的兩個零點(diǎn)，且，則（）A. B.為的極小值點(diǎn)C.的極大值為4 D.滿足的解集是【答案】BCD【解析】因?yàn)?，是的兩個零點(diǎn)，則，即，，則，所以，即，解得，則，即對于A，，故A錯誤；對于B，由，令f'x>0，得或；令f'x所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的極小值點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，故C正確；對于D，由于，畫出函數(shù)的圖象，如圖，滿足的解集是，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，則__________.【答案】【解析】，∴，∵，∴.13.已知向量，則在上的投影向量為__________.【答案】【解析】設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋海忠驗(yàn)?，，所以，，所以，所以在上的投影向量為?14.已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則______，若在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】1【解析】由題，因，則.則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以.因?yàn)?，?dāng)時，，且只有一個零點(diǎn)，符合題意；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，又，則結(jié)合，則，使得，與已知矛盾；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則.構(gòu)造函數(shù)，則.,則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則，得在上遞減，則.又，所以，使得，與已知矛盾；綜上可知，．，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，由第一空分析可知，，設(shè)，則.設(shè)，則..得在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是的拋物線方程；（2）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程；（3）離心率，經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程.解：（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是：，所以拋物線開口向左，且.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.又橢圓過點(diǎn)得：，又，所以.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（3）由，又，所以.設(shè)雙曲線方程為：，把點(diǎn)代入，得：.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：16.已知圓：，直線:．（1）求證：直線恒過定點(diǎn)；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系（3）直線被圓截得的弦何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時m的值及最短弦長．（1）證明：依題意將直線的方程化為，聯(lián)立，解得，故直線恒過定點(diǎn)．（2）解：結(jié)合（1）可得直線恒過定點(diǎn)，又圓心為，半徑為，又，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交．（3）解：設(shè)直線過圓交于點(diǎn)，，設(shè)圓心到直線的距離為，顯然當(dāng)直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長，即，當(dāng)直線不過圓心時，直線被圓截得的弦長為，即當(dāng)最長時，直線被圓截得的弦長最短，又結(jié)合（2）可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，且，若直線時，；若直線與不垂直時，，所以當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，且，此時直線，則，解得．故當(dāng)直線過圓心時，被截得弦長最長；當(dāng)直線時,被截得弦長最短，此時，及最短弦長為．17.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的大??；（3）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖