高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2.故選：C.2.已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2或 C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與直線互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行，符合題意；.故選：D.3.以點(diǎn)為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.4.已知曲線C：上一點(diǎn)，則曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，所以曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為，則傾斜角為.故選：B.5.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.6.已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，，因此最大值為兩圓心距離加上兩圓半徑，即為，故選：B.7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對(duì)拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，則，故選：D.8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若從橢圓右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A.，A錯(cuò)誤；對(duì)于B.，B正確；對(duì)于C.，C錯(cuò)誤；對(duì)于D.，D正確.故選：BD.10.已知橢圓為橢圓上任意一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為8B.存在點(diǎn)使得的長度為4C.橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)A，橢圓，則過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為，故A正確；對(duì)B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點(diǎn)，使得的長度為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點(diǎn)，易得該圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，即橢圓上存在4個(gè)不同點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，的周長為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故當(dāng)最大時(shí)最大，此時(shí)為上下頂點(diǎn)，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列.記，，，，則（）參考公式：.A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C. D.【答案】BD【解析】A項(xiàng)，由為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，，顯然時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，則，所以，解得，即，故B正確；C項(xiàng)，由為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，可得，所以，故，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；綜上可得，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由題意得，，則，故，故裂項(xiàng)可得：，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知數(shù)列滿足，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，所以，?3.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為1，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】圓，圓心為，半徑為，圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線距離為，則使得圓心到直線的距離大于且小于，即，解得或，又，所以，即正實(shí)數(shù)的取值范圍為.14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日?qǐng)A的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.【答案】【解析】由題意得蒙日?qǐng)A為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為.（2）若過點(diǎn)的直線斜率不出在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程，即，綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.16.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的平均變化率；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求曲線過點(diǎn)的切線方程.解：（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間上的平均變化率為．（2）由，有，從而，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（3）易知直線x=2與曲線不相切，故設(shè)切點(diǎn)為，則由，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，此時(shí)滿足題意的切線方程為，顯然它過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，此時(shí)滿足題意的切線方程為，即，顯然它過點(diǎn)，綜上所述，滿足題意的切線方程為或．17.已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．解：（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓.（2），∴直線：，聯(lián)立方程組得,設(shè)，則，，，點(diǎn)到直線的距離，∴.18.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）設(shè)，求的前項(xiàng)和.解：（1）由題意得：，可得，，由，可得，由，可得，可得，可得;(2)由，可得，由，可得，可得，可得的通項(xiàng)公式：=，可得：①-②得：=，可得;(3)由，可得，可得：===.19.已知是雙曲線：的左焦點(diǎn)，且的離心率為2，焦距為4.過點(diǎn)分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，，分別為與的中點(diǎn)，分別記與的面積為與.（1）求的方程；（2）當(dāng)斜率為1時(shí)，求直線方程；（3）求證：為定值.（1）解：由，得，又因?yàn)?，所以，所以，所以?（2）解：由題知：，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，又直線，互相垂直，則，設(shè)，則，聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，所以：.（3）證明：由題意可知，??的斜率不為0，設(shè)??：??，?Ax1,y1由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.當(dāng)，，時(shí)，直線的斜率.所以：，化簡得：，即為：.所以到的距離，所以到的距離，所以.由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以.江蘇省南京市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2.故選：C.2.已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2或 C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與直線互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行，符合題意；.故選：D.3.以點(diǎn)為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.4.已知曲線C：上一點(diǎn)，則曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，所以曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為，則傾斜角為.故選：B.5.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以?shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.6.已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，，因此最大值為兩圓心距離加上兩圓半徑，即為，故選：B.7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對(duì)拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，則，故選：D.8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若從橢圓右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A.，A錯(cuò)誤；對(duì)于B.，B正確；對(duì)于C.，C錯(cuò)誤；對(duì)于D.，D正確.故選：BD.10.已知橢圓為橢圓上任意一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為8B.存在點(diǎn)使得的長度為4C.橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)A，橢圓，則過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為，故A正確；對(duì)B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點(diǎn)，使得的長度為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點(diǎn)，易得該圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，即橢圓上存在4個(gè)不同點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，的周長為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故當(dāng)最大時(shí)最大，此時(shí)為上下頂點(diǎn)，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列.記，，，，則（）參考公式：.A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C. D.【答案】BD【解析】A項(xiàng)，由為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，，顯然時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，則，所以，解得，即，故B正確；C項(xiàng)，由為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，可得，所以，故，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；綜上可得，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由題意得，，則，故，故裂項(xiàng)可得：，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知數(shù)列滿足，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，所以，?3.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為1，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】圓，圓心為，半徑為，圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線距離為，則使得圓心到直線的距離大于且小于，即，解得或，又，所以，即正實(shí)數(shù)的取值范圍為.14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日?qǐng)A的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.【答案】【解析】由題意得蒙日?qǐng)A為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為.（2）若過點(diǎn)的直線斜率不出在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程，即，綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.16.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的平均變化率；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求曲線過點(diǎn)的切線方程.解：（1）因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的平均變化率為．（2）由，有，從而，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（3）易知直線x=2與曲線不相切，故設(shè)切點(diǎn)為，則由，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，此時(shí)滿足題意的切線方