高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，故選：C.2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)與點(diǎn)P的相同，縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)，，若，則實(shí)數(shù)（）．A. B.1 C.3 D.1或3【答案】B【解析】根據(jù)，則，即，得或，但時(shí)兩直線(xiàn)重合，故.故選：B．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，且．若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可得，點(diǎn)，，，∴，∵，則點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，故，，，由得：，化簡(jiǎn)得．故選：B．5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】，由于是等差數(shù)列，所以，即也是等差數(shù)列，故．故選：D．6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以，即圓，則圓心為，半徑；又直線(xiàn)，即，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)與圓心在直線(xiàn)（斜率不存在）上，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)取得，又無(wú)最大值，且無(wú)限接近圓的直徑，所以．故選：C．7.如圖，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，M是線(xiàn)段OB上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．OE與MD相交于點(diǎn)P，則P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，因?yàn)檩S，所以，則，故D正確.故選：D．8.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由是等比數(shù)列，得也是等比數(shù)列，而當(dāng)公比時(shí)，，此時(shí)，則，不滿(mǎn)足，故，所以當(dāng)公比時(shí)，有，則，由，則，即，又由，得，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A(yíng)B：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，即為常數(shù)列，其既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，故A、B正確；對(duì)于C：，，顯然等式僅當(dāng)時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確故選：ABD．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)，延長(zhǎng)交E于點(diǎn)B，延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，則（）．A.的面積為 B.的周長(zhǎng)為8C. D.A到直線(xiàn)BC的距離為2【答案】AC【解析】，的面積為，故A正確；周長(zhǎng)為8，由，故的周長(zhǎng)大于8，故B錯(cuò)誤；利用橢圓性質(zhì)，由，，故C正確；，而，故A到直線(xiàn)BC距離為，故D錯(cuò)誤；當(dāng)然也可以由不垂直到直線(xiàn)BC的距離小于2．故選：AC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABD【解析】以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則，，,，，,時(shí)，,故，,故，平面，故平面，A正確，當(dāng)時(shí)，，由于，故，，平面,平面,故平面，B正確；由，當(dāng)時(shí)，，，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，，可將看作是平面內(nèi)到點(diǎn)的距離之和，如圖：作出關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則最小距離為與點(diǎn)之間的距離，故，過(guò)與點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，令，則，故當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則______．【答案】8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，解得，所以．13.如圖，已知M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上，，，若，則______．【答案】【解析】，．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)不平行的直線(xiàn)與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)且與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)P，則______．【答案】【解析】直線(xiàn)的斜率為，由直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，，取中點(diǎn)，連接，直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并整理得，則，整理得，而，則，解得，因此直線(xiàn)，四邊形為平行四邊形，于是，，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，記的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）求及；（2）求的通項(xiàng)公式．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，；又，所以，所以，所以，．（2）因?yàn)?，所以，，以上各式相乘可得，因?yàn)椋?16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)和點(diǎn)B是圓上兩點(diǎn)．（1）判斷直線(xiàn)與C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，的面積為，求C的方程．解：（1）直線(xiàn)與圓相交，理由如下：圓的方程可化為，可知圓心為，半徑，直線(xiàn)的方程可化，可知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，故定點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以直線(xiàn)l與圓C相交．（2）因?yàn)?，，又因?yàn)榈拿娣e為，可得，因?yàn)椋Y(jié)合垂直關(guān)系可知直線(xiàn)AB的方向向量可以為，可得，則，即，將代入圓C方程可得，解得，所以圓C的方程為．17.如圖，在三棱錐中，已知平面平面ABC，，D，E分別是棱PA，PC的中點(diǎn)，，，三棱錐的體積為．（1）求直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP所成角的大??；（2）求平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，交線(xiàn)為，，平面，所以平面PAB，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以⊥，故，又，故，三棱錐的體積為，故，解得，設(shè)，故，則，又，由勾股定理得，即，解得或，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，由勾股定理得，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由勾股定理得，故，?dāng)時(shí)，，為等邊三角形，所以，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP所成角的大小為；當(dāng)時(shí)，，由勾股定理逆定理得⊥，又，所以為等腰直角三角形，，故直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP所成角的大小為或；（2）D，E分別是棱PA，PC的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，設(shè)平面平面，故，且，由（1）知，，，若，則，故為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，，，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，故或其補(bǔ)角為平面BDE與平面ABC的夾角，因?yàn)?，，，所以，故，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，，由余弦定理得，若，則，故⊥，且，又，故為等邊三角形，，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，故或其補(bǔ)角為平面BDE與平面ABC的夾角，因?yàn)?，，在中，由余弦定理得，又，，由余弦定理得，綜上，平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值為或18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求和；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．（1）證明：，且，故為等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知：，故．（3）解：.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交于另一點(diǎn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交直線(xiàn)于兩點(diǎn)．（1）求C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值及的方程；（3）當(dāng)最大時(shí)，求的坐標(biāo)．解：（1）由題意可知，，結(jié)合，解得，故橢圓方程為（2）設(shè)D為，,則，相減可得，故，因此有：，即，直線(xiàn)，令可得，故，由于為中點(diǎn)，故，為中點(diǎn)，由于,故，因此，解得，由舍負(fù)，故，．（3）由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故最小，由于為銳角，故最小時(shí)，此時(shí)最大時(shí)，故，結(jié)合可得，由第二問(wèn)可求解得：，，，故中垂線(xiàn)所在直線(xiàn)斜率為，結(jié)合，故中垂線(xiàn)：，即，又直線(xiàn)，聯(lián)立與，解得，故中點(diǎn)為，故點(diǎn)為．江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，故選：C.2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)與點(diǎn)P的相同，縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)，，若，則實(shí)數(shù)（）．A. B.1 C.3 D.1或3【答案】B【解析】根據(jù)，則，即，得或，但時(shí)兩直線(xiàn)重合，故.故選：B．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，且．若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可得，點(diǎn)，，，∴，∵，則點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，故，，，由得：，化簡(jiǎn)得．故選：B．5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】，由于是等差數(shù)列，所以，即也是等差數(shù)列，故．故選：D．6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以，即圓，則圓心為，半徑；又直線(xiàn)，即，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)與圓心在直線(xiàn)（斜率不存在）上，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)取得，又無(wú)最大值，且無(wú)限接近圓的直徑，所以．故選：C．7.如圖，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，M是線(xiàn)段OB上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．OE與MD相交于點(diǎn)P，則P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，因?yàn)檩S，所以，則，故D正確.故選：D．8.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由是等比數(shù)列，得也是等比數(shù)列，而當(dāng)公比時(shí)，，此時(shí)，則，不滿(mǎn)足，故，所以當(dāng)公比時(shí)，有，則，由，則，即，又由，得，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A(yíng)B：因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，即為常數(shù)列，其既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，故A、B正確；對(duì)于C：，，顯然等式僅當(dāng)時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確故選：ABD．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)，延長(zhǎng)交E于點(diǎn)B，延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，則（）．A.的面積為 B.的周長(zhǎng)為8C. D.A到直線(xiàn)BC的距離為2【答案】AC【解析】，的面積為，故A正確；周長(zhǎng)為8，由，故的周長(zhǎng)大于8，故B錯(cuò)誤；利用橢圓性質(zhì)，由，，故C正確；，而，故A到直線(xiàn)BC距離為，故D錯(cuò)誤；當(dāng)然也可以由不垂直到直線(xiàn)BC的距離小于2．故選：AC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABD【解析】以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則，，,，，,時(shí)，,故，,故，平面，故平面，A正確，當(dāng)時(shí)，，由于，故，，平面,平面,故平面，B正確；由，當(dāng)時(shí)，，，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，，可將看作是平面內(nèi)到點(diǎn)的距離之和，如圖：作出關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則最小距離為與點(diǎn)之間的距離，故，過(guò)與點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，令，則，故當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則______．【答案】8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，解得，所以．13.如圖，已知M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上，，，若，則______．【答案】【解析】，．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)不平行的直線(xiàn)與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)且與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)P，則______．【答案】【解析】直線(xiàn)的斜率為，由直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，，取中點(diǎn)，連接，直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去并整理得，則，整理得，而，則，解得，因此直線(xiàn)，四邊形為平行四邊形，于是，，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，記的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）求及；（2）求的通項(xiàng)公式．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，；又，所以，所以，所以，．（2）因?yàn)椋?，，以上各式相乘可得，因?yàn)?，所?16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)和點(diǎn)B是圓上兩點(diǎn)．（1）判斷直線(xiàn)與C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，的面積為，求C的方程．解：（1）直線(xiàn)與圓相交，理由如下：圓的方程可化為，可知圓心為，半徑，直線(xiàn)的方程可化，可知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，故定點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以直線(xiàn)l與圓C相交．（2）因?yàn)?，，又因?yàn)榈拿娣e為，可得，因?yàn)?，結(jié)合垂直關(guān)系可知直線(xiàn)AB的方向向量可以為，可得，則，即，將代入圓C方程可得，解得，所以圓C的方程為．17.如圖，在三棱錐中，已知平面平面ABC，，D，E分別是棱PA，PC的中點(diǎn)，，，三棱錐的體積為．（1）求直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP所成角的大?。唬?）求平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，交線(xiàn)為，，平面，所以平面PAB，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以⊥，故，又，故，三棱錐的體積為，故，解得，設(shè)，故，則，又，由勾股定理得，即，解得或，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，由勾股定理得，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由勾股定理得，故，?dāng)時(shí)，，為等邊三角形，所以，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP所成角的大小為；當(dāng)時(shí)，，由勾股定理逆定理得⊥，又，所以為等腰直角三角形，，故