高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知直線斜率為，設(shè)其傾斜角為，且，滿足，可得.故選：B.2.已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】由直線與垂直，得，所以.故選：C.3.已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C.23 D.25【答案】B【解析】由題意，，則，故.故選：B.4.已知直線恒過點(diǎn)P，則以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將直線方程變形為.令，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故圓心，半徑所以圓的方程為.故選：A.5.某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為25m，拱頂距水面，該處路面厚度約.若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為（）由已知點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，所以拋物線方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以繩子最合適的長度是，故選：B.6.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A. B.9 C.6 D.3【答案】A【解析】由點(diǎn)，，得，直線：，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值，所以△PAB面積的最小值為.故選：A.7.若直線是曲線的一條切線，則k的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，因此，所以切線方程為，即，可得，即，可得，所以.故選：D.8.已知雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為E，連接，設(shè)，由對稱性知交點(diǎn)D在軸上，且，，在中，，，即，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題.本題共3題，每小題6分，共18分.在每小題選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全選對給6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B.若，則C是圓C.若，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.若，則C是兩條平行于y軸的直線【答案】BCD【解析】對于A，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則曲線，所以C是圓，故B正確；對于C，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對于D，若，則，所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.故選：ABD.10.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若，則數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】對于A,由,可知數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3,則,故A正確；對于B,由,可得,即數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3,則,即,故,故B正確；對于C,由①,可得,當(dāng)時(shí),②,由,因時(shí),,故C錯(cuò)誤；對于D,由①,可得,當(dāng)時(shí),②,由,因時(shí),,故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若是奇函數(shù)，且且，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，求導(dǎo)可得，即，又因?yàn)椋瑒t，即，可得，故A正確；對于B，聯(lián)立方程，解得，，則，可得，解得，所以，，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，故C正確；對于D，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線：與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)為.13.已知圓，直線過點(diǎn)且與圓相切，若與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為、，則______.【答案】【解析】由題意可知，圓心為，半徑為，因?yàn)椋裕c(diǎn)在圓上，由圓的幾何性質(zhì)可知，，，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，因此，.14.在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以用“裂項(xiàng)相消法”求解，例如，故的前n項(xiàng)和，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，利用上述方法得＝__________.【答案】【解析】設(shè)，則，即，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，.四、解答題.本題共6小題，共77分.15.（1）求過，且與直線平行的直線的方程.（2）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求邊上的高所在的直線方程.解：（1）已知直線斜率是，因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，所以所求直線的斜率也是，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為，即；（2）由兩點(diǎn)式，可得，邊上高所在直線方程的斜率，的高所在直線的直線方程，即.16.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知，M上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱.（1）求圓M的半徑；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被M得的弦長為，求l的方程.解：（1）圓方程可化為：，則圓心為，半徑.因?yàn)樯洗嬖趦牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)在直線上，所以，解得，所以的半徑.（2）由（1）可得，圓心為，半徑.因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被截得的弦長為，所以圓心到直線的距離.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，符合題意；直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則解得.所以直線的方程為，即.綜上可得直線的方程為或.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，，（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求，的通項(xiàng)公式;（2）已知數(shù)列滿足，求的前2n項(xiàng)和（1）證明：依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗裕?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，故?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以．（2）解：由（1）知，，可得，所以==.18.凸函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)值得研究的分支，它包括數(shù)學(xué)中大多數(shù)重要的函數(shù)，如，等.記為的導(dǎo)數(shù).現(xiàn)有如下定理：在區(qū)間上為凸函數(shù)的充要條件為.（1）證明：函數(shù)為上的凸函數(shù);（2）已知函數(shù).①若為上的凸函數(shù)，求的最小值;②在①的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，證明：在上恒成立.（1）證明：，則，，，，故在區(qū)間上恒成立，即為上的凸函數(shù).（2）解：①，，，由題知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，令，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為，所以，得到，所以的最小值為，②由①知，令，則，令，則在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，即在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，令，令，得到，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以，在上恒成立．19.已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓C上的三點(diǎn)，且滿足，直線與直線交于點(diǎn)Q，記直線的斜率為，直線的斜率為·（1）若點(diǎn)P在y軸上，則是邊長為2的等邊三角形，求橢圓方程;（2）若，求橢圓C的離心率;（3）求證為定值.（1）解：由題可知，所以橢圓的方程為.（2）解：在橢圓中，，，設(shè)，，，，將代入中有，所以，①，代入PA方程中有②同理，③，④，因?yàn)?，所以，解得?（3）證明：根據(jù)（2）中①②③④解得.和分別三點(diǎn)共線可得⑤，⑥，將①②③④代入⑤⑥解得，，.，從而.江蘇省鹽城市五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知直線斜率為，設(shè)其傾斜角為，且，滿足，可得.故選：B.2.已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】由直線與垂直，得，所以.故選：C.3.已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C.23 D.25【答案】B【解析】由題意，，則，故.故選：B.4.已知直線恒過點(diǎn)P，則以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將直線方程變形為.令，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故圓心，半徑所以圓的方程為.故選：A.5.某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為25m，拱頂距水面，該處路面厚度約.若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為（）由已知點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，所以拋物線方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以繩子最合適的長度是，故選：B.6.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A. B.9 C.6 D.3【答案】A【解析】由點(diǎn)，，得，直線：，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值，所以△PAB面積的最小值為.故選：A.7.若直線是曲線的一條切線，則k的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，因此，所以切線方程為，即，可得，即，可得，所以.故選：D.8.已知雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為E，連接，設(shè)，由對稱性知交點(diǎn)D在軸上，且，，在中，，，即，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題.本題共3題，每小題6分，共18分.在每小題選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全選對給6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B.若，則C是圓C.若，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.若，則C是兩條平行于y軸的直線【答案】BCD【解析】對于A，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則曲線，所以C是圓，故B正確；對于C，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對于D，若，則，所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.故選：ABD.10.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若，則數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】對于A,由,可知數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3,則,故A正確；對于B,由,可得,即數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為3,則,即,故,故B正確；對于C,由①,可得,當(dāng)時(shí),②,由,因時(shí),,故C錯(cuò)誤；對于D,由①,可得,當(dāng)時(shí),②,由,因時(shí),,故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若是奇函數(shù)，且且，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，求導(dǎo)可得，即，又因?yàn)?，則，即，可得，故A正確；對于B，聯(lián)立方程，解得，，則，可得，解得，所以，，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，故C正確；對于D，因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線：與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)為.13.已知圓，直線過點(diǎn)且與圓相切，若與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為、，則______.【答案】【解析】由題意可知，圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在圓上，由圓的幾何性質(zhì)可知，，，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，因此，.14.在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以用“裂項(xiàng)相消法”求解，例如，故的前n項(xiàng)和，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，利用上述方法得＝__________.【答案】【解析】設(shè)，則，即，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，.四、解答題.本題共6小題，共77分.15.（1）求過，且與直線平行的直線的方程.（2）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求邊上的高所在的直線方程.解：（1）已知直線斜率是，因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，所以所求直線的斜率也是，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為，即；（2）由兩點(diǎn)式，可得，邊上高所在直線方程的斜率，的高所在直線的直線方程，即.16.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知，M上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱.（1）求圓M的半徑；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被M得的弦長為，求l的方程.解：（1）圓方程可化為：，則圓心為，半徑.因?yàn)樯洗嬖趦牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)在直線上，所以，解得，所以的半徑.（2）由（1）可得，圓心為，半徑.因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被截得的弦長為，所以圓心到直線的距離.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，符合題意；直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則解得.所以直線的方程為，即.綜上可得直線的方程為或.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，，（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求，的通項(xiàng)公式;（2）已知數(shù)列滿足，求的前2n項(xiàng)和（1）證明：依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為