第四章

指數(shù)與對數(shù)4.2.2對數(shù)的運算性質(zhì)

蘇教版2019必修第一冊·高一學(xué)習(xí)目標(biāo)教學(xué)重點：對數(shù)的運算性質(zhì)與應(yīng)用，換底公式的探究和應(yīng)用教學(xué)難點：對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式的證明過程探索了解理解對數(shù)的運算性質(zhì)，會用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡求值；理解對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然/常用對數(shù)的形式并以此進行化簡；掌握對數(shù)運算性質(zhì)及換底公式的證明過程，加深與指數(shù)相關(guān)知識的聯(lián)結(jié).教學(xué)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)邏輯推理：掌握公式的證明過程；數(shù)學(xué)運算：運用對數(shù)運算性質(zhì)及換底公式進行化簡求值；數(shù)學(xué)建模：運用對數(shù)性質(zhì)解決實際問題，進行簡化運算，提升建模素養(yǎng).新知引入真數(shù)冪指數(shù)對數(shù)底數(shù)上一課時中我們提到對數(shù)的產(chǎn)生是由于當(dāng)時人們對于簡便運算的需要。同時我們也提到當(dāng)時天文學(xué)家通過對數(shù)發(fā)明的目的是用來簡化大數(shù)之間的乘除運算。但同學(xué)們知道對數(shù)是如何簡化計算的嗎？在上節(jié)課我們只是提出了對數(shù)的概念，這節(jié)課我們?nèi)匀粡拇髷?shù)運算說起，看看對數(shù)如何簡化了運算！新知引入x12345678910y2481632641282565121024x11121314151617181920y2048409681921638432768655361310722621445242881048576問題1：回想上節(jié)課是如何計算1024×16384的，并以此計算128×1024.128×1024=27×210=217=1310727+10=17問題2：總結(jié)一下它的解題步驟，想想它是如何簡化運算的呢？查表→找到指數(shù)→指數(shù)相加→查表新知引入問題3：利用簡便運算的思想計算299×3153.3153×299=2a×2b

=2a+b=942747x12345678910y2481632641282565121024x11121314151617181920y2048409681921638432768655361310722621445242881048576細化表格，英國數(shù)學(xué)家布里格斯在納皮爾對數(shù)的基礎(chǔ)上進行改進，并于1617年出版了常用對數(shù)表．查表查表在表格上找不到對應(yīng)數(shù)值怎么辦？b=log2299299對應(yīng)942747對應(yīng)a+ba+b=log23153+log2299a+b=log2942747新知引入128×1024=27×210=217=1310727+10=17問題4：你能將7，10，17用對數(shù)的形式表示嗎？log2128log21024log2(128×1024)+=M×N=ap×aq

=ap+q

ap=Mp=logaM

aq=Nq=logaNp+q=

(p+q)

ap+q=M×Np+q=loga(M×N)

問題5：現(xiàn)在將簡化計算的關(guān)鍵步驟用對數(shù)形式表現(xiàn)出來了，你能證明它的正確性嗎？新知探究M×N=ap×aq

=ap+q

p+q=

(p+q)

問題6：在這里，a,M,N的值是任意的嗎？根據(jù)對數(shù)的定義，這里a>0，a≠1，M>0，N>0.

同底對數(shù)相加，底數(shù)不變，真數(shù)相乘.新知探究一般地，我們可以得到如下的對數(shù)運算性質(zhì)：

問題7：嘗試證明性質(zhì)②和③.Tip：可以嘗試使用指數(shù)的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)換為對數(shù)來證明.ap÷aq=ap-q,(ap)q=apq

新知探究

同底對數(shù)相減，底數(shù)不變，真數(shù)相除.新知探究

典例精講

例1：求下列各式的值：

典例精講變式訓(xùn)練

變式1：求下列各式的值：典例精講

Tip：對數(shù)運在底數(shù)相同的情況下，將真數(shù)分解為已知真數(shù)的乘積或乘方.典例精講變式訓(xùn)練

典例精講變式訓(xùn)練變式2：用lgx，lgy，lgz表示下列各式：

新知呈現(xiàn)

設(shè)問：可以表示數(shù)與被表示數(shù)的底數(shù)不同，還可以直接通過對數(shù)運算性質(zhì)求解嗎？Tip：對數(shù)運算性質(zhì)兩邊底數(shù)不發(fā)生改變.兩邊取常用對數(shù),

問題8：你能發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論嗎？將一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)轉(zhuǎn)移到另外兩個對數(shù)的真數(shù)上！

典例精講

Tip：對變量限定范圍保證滿足對數(shù)的定義.

典例精講Tip：換底公式的作用在于將底數(shù)不同的對數(shù)之間的運算轉(zhuǎn)換為底數(shù)相同的對數(shù)(一般為常用對數(shù)或自然對數(shù))從而使用對數(shù)的運算性質(zhì).

典例精講變式訓(xùn)練

新知呈現(xiàn)在生物領(lǐng)域，由碳14含量求生物死亡年數(shù)（課本例10）；化學(xué)領(lǐng)域，對數(shù)用于計算PH值pH=-lg[H+]在地理領(lǐng)域，對數(shù)用于計算地震強度；在物理領(lǐng)域，對數(shù)用于測量聲音的分貝10·lg(P/Pref)里氏地震規(guī)模：M=lg(I/S)

典例精講

問題10：

盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.

2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？解：設(shè)里氏9.0級和8.0級地震的能量分別為E1和E2。雖然里氏9.0級地震與里氏8.0級地震僅相差一級,

但前者釋放的能量卻約為后者的32倍.反思總結(jié)問題12：

關(guān)于對數(shù)，我們至今已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些公式？問題11：

這節(jié)課我們主要解決了什么問題？解決問題的目的是什么？在簡化運算的驅(qū)動下，我們找到了描述簡化運算中加法的對數(shù)表示形式，并從中提取了對數(shù)的運算性質(zhì)，并證明了其正確性．1個概念,2個對數(shù)恒等式,3個對數(shù)運