秘籍09圓錐曲線大題

目錄

【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測

【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：解題規(guī)范

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】極點、極線

【題型二】自極三角形與調(diào)和點列

【題型三】齊次化法解決斜率相關(guān)問題

【題型四】定比點差法

【題型五】定點、定值

【題型六】求軌跡方程型

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆☆

題型預(yù)測解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測極點、極線

應(yīng)試秘籍

圓錐曲線大題和小題考察的類型不一致，但是肯定都是以基礎(chǔ)知識為前提的情況下進(jìn)行考察，所以一

般第一問考察的大多還是求圓錐曲線的函數(shù)解析式，而第二問往往考察的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，

這里對于解析幾何的代數(shù)問題要求就比較高，題型也相應(yīng)較多，需要多加練習(xí)。

一些固定題型解題方法的掌握還是需要熟練，并且理解圓錐曲線中解析幾何的解題思維，延伸知識點

例如極點、極線，齊次化解法、定比點差法等等比較熱門的需要熟練于心。

誤區(qū)點撥

易錯點一：解題規(guī)范

圓錐曲線大題在遇到直線與曲線相交相關(guān)的問題是，極點、極線的思想只能輔助我們解題，不可出現(xiàn)

在答題過程中，都需要設(shè)點或設(shè)線，寫出完整的證明過程。

（D求C的方程；

【答案】BCD

<搶分通關(guān)

【題型一】極點、極線

二次曲線的極點極線

（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應(yīng)準(zhǔn)線為極線.

I—I

典例精講

【答案】7

名校模擬

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑶直線MN是否過X軸上的一個定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.

且K，工與短軸的一個端點。構(gòu)成一個等腰直角三角形,

【答案】⑴一彳3

4

⑶征明見解析

名校模擬

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

由題知直線1斜率存在,

（1）求橢圓C的方程;

【題型三】齊次化法解決斜率相關(guān)問題

“齊次”從詞面上解釋是“次數(shù)相等”的意思、.在代數(shù)里也有“齊次”的叫法，例如/=Q必+bxy+cy2

稱為二次齊次式，f中每一項都是關(guān)于x,y的二次項.與圓錐曲線相關(guān)的問題以大運算量著稱，齊次化引

入圓錐曲線有時會極大地縮減運算量.

1：“齊次化”方法使用場景

題目中出現(xiàn)了一個定點引出的兩條動直線的斜率之和的+七或斜率乘積自?七為定值時，優(yōu)先考慮

使用齊次化的技巧.

2：用法：必須先把該定點平移至原點位置，然后將兩個動點所成的直線假設(shè)為mx+/ny=l,再聯(lián)

立即可.

3:方程為mx+my=lm.n,可以表示不過原點（原點坐標(biāo)不適合方程）的所有直線（討論nn與0

的關(guān)系）

r-]

典例精講

【例1】如圖，橢圓立馬+*=1（m>0）經(jīng)過點.4（0,一1）,且離心率為

（1）:求橢圓E的方程；

（2）：經(jīng)過點（1,1）,且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P、Q（均異于點A）,

￡_漁

解：（1）由題意，匕=1,又，a~~2,

序=1+c2

所以，a=42,b=l,c=L所以，橢圓E的方程為y

⑵首先將橢圓向上平移1個單位，

2

得橢圓.E，的方程：：Y+(y—l)2=l即%2+2y2-4y=0,

此時，點(1,1)向上平移1個單位，變?yōu)?1.2),

設(shè)直線方程為mx+my=1,直線過(1,2),

則有m+2m=1,將直線方程代入%2+2y2-4y=0得x2+2y2-4y(mx+ny)=0

平移之后，點P、Q變?yōu)榻袇n力)儲3")，

變換得(4n-2)g)+4小(-1=0,平移不改變直線的斜率，

所以^AP+^AQ=k0p，+koQ!=—+—==-2—=2.

僅OPOQX2XI4n_22n-l1-m-l

原問題成立.

【例2】已知橢圓C』+、=l(Q〉b>0)的離心率為當(dāng)且過點A(2,1).

(1)求橢圓C的方程；

⑵點M,N在橢圓C上，且.4MlnN,AO_LMN,D為垂足.

(￡=立(a=y[6

解：⑴由題意得:《4.][，結(jié)合/=/+。2,解得=

(我+記=1(c=V3

橢圓的方程為1+4=1,即%2+2y2=6

63

⑵當(dāng)直線4",4”的斜率都存在，

將整個圖形平移一下，將點A平移到坐標(biāo)原點4(00),

相應(yīng)的其它點平移為MIN]),平移不改變直線的斜率，

橢圓方程為：(x+2)2+2(y+I)2=6,即%2+2y2+4%+4y=0,

設(shè)MAT:mx+ny=1,將直線代入橢圓方程，得：x24-2y24-(4x+4y)(mx+ny)=0,

2

即：(4n4-2)Q)+4(m+n)(+4m+1=0,由于%乂，?峭N=資產(chǎn)=臂營=T，

\x/xXiX2qn十/

所以，一如一"=1,所以，直線mx+?ny=l經(jīng)過點一f),

再將整個圖形重新平移回去，直線MN經(jīng)過定點8(|，-3，

由題意可知，△408為直角三角形，斜邊AB的中點QU，1),滿足|DQ|為定值.

當(dāng)直線AM,AN的斜率有一個不存在時，

不妨設(shè)N(2，-1),M(-2，1),直線.MN:x+2y=0,也經(jīng)過點

綜上所述，存在點。0弓),使舊(^|為定值.此定值為平

I—1

名校模擬

⑴求直線4和6的斜率之積;

【答案】

⑵是，12.

理由如下:

⑴求橢圓C的方程;

⑴求曲線E的方程.

⑵是定值，46

【題型四】定比點差法

直線與圓雉曲線相交時，中點（定比分點）問題通常運用韋達(dá)定理和點差法兩種方式.點差

法:定比點差）是從設(shè)點的視角，將點的坐標(biāo)代人曲線方程，通過系數(shù)調(diào)配后進(jìn)行兩式作差.

典例精講

【解析】延長A6交橢圓于點6.

當(dāng)〃1=時，點8橫坐標(biāo)的絕對值最大.

I—1

名校模擬

【題型五】定點、定值

求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

直線過定點問題或圓過定點問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓鏈曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再

表達(dá)出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點，求出所過的定點坐標(biāo).

典例精講

⑴求C的方程.

⑵是，定值為-2

(2)

由已知，得直線/的斜率必存在且不為0,

故直線MN的斜率為定值，且定值為-2.

【答案】（1）證明見解析

⑵石

故A,B,M,N四點的縱坐標(biāo)滿足同?個?元二次方程,

【答案】（1）也

2

⑵證明見解析

⑶證明見解析

直線PN、QN的斜率分別為即八4QN，

名校模擬

⑴求橢圓「的離心率;

【答案】（1）也

2

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑴求橢圓C的方程.

(2)記直線G〃的斜率為〃，證明:bn為定值.

⑵證明見解析；

(2)

由橢圓的對稱性可知，若直線G"恒過定點，則此定點必在x軸上,

【題型六】求軌跡方程型

求軌跡方程的常見方法有：

②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程;

③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；

?—?

典例精講

⑵若直線A8的斜率為1,求弦AB中點M的軌跡方程;

【答案】(1凈7

(2)4；

⑶證明見解析.