重慶市廣益中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月（期中）考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為（）

A.a[\p=m,〃ua,mAn=JB.afl/=m〃ea,mA/?=J

C.aPl/=〃？，〃ua,4u/〃，AanD.aQJ3=nitA^m,A&n

2.若復(fù)數(shù)z滿足zi=l-i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

B'A'=2,則頂點(diǎn)8到4軸的距離是（）

A.2B.4C.y/2D.4夜

4.已知1萬(wàn)為不共線向量，~AB=a+5b,BC=-2a+Sb,CD=3（a-b）,則（）

A.4民。三點(diǎn)共線B.48,。三點(diǎn)共線

C.B,C,D三點(diǎn)、共線D.4C。三點(diǎn)共線

5.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四T年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也

寓意“善良”“善行：”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智

大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧。巴

/C所在圓的半徑分別是3和6,且N48c=120。，則該圓臺(tái)的體積為（）

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體488-44GA中，E是棱CG的中點(diǎn)，過(guò)42,E三點(diǎn)的

截面把正方體448-44G〃分成兩部分，則該截面論周長(zhǎng)為（）

9

A.3>/2+2>/5B.2N/2+X/5+3C.-D.2V2+25/5+2

7.在V/18C中，角A為工■，角A的平分線力力交4C于點(diǎn)。.已知力。=2,且

_______1____

2J5=JD--/lC（AeR）,貝U瓦?祝二（）

?八

A.1B.9C.—D.6

2

8.文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有鎮(zhèn)洪水和象征人文鼎盛的寓意，現(xiàn)為重慶市

文物保護(hù)單位，并成為廣益中學(xué)的標(biāo)志性景觀之，該塔為七級(jí)樓閣式磚石結(jié)構(gòu)，底層以條石

筑成，塔身呈六邊形，逐層向上收窄，頂部為六角攢尖葫蘆寶頂.其建筑特色和地理位置（南

山之巔）使其成為俯瞰山城的重要觀景點(diǎn).我?！拔姆鍞?shù)智社”為了測(cè)量其高度，設(shè)文峰塔高

為,在與點(diǎn)4同一水平而且共線的三點(diǎn)C,處分別測(cè)得頂點(diǎn)力的仰角為30°,45°,60',

旦。0=OE=22m,則文峰塔的高力4約為（）

（參考數(shù)據(jù):\/6?2.449,73*1.732）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

D.33m

二、多選題

9.已知向量不二（1,-2）,3=（7,⑼,則（）

A.若1與B垂直，則加=-1B.若5//B，則限6的值為-5

C.若“=1,則|G-B|=JT5D.若〃?=-2,則d在B方向上的投影向量坐

標(biāo)為（一d）

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.z-z=|z|2,zeC

B.i2024=-l

C.若：=1,zeC,則上一2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程f+〃x+4=0（p,qeR）的根，則p=8

11.下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不

計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為14n的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L(zhǎng)8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

三、填空題

12.在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若22+目-（？=屈1）,則C=.

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

17.在銳角V/4C中，V48C的面積為S,角4B,。所對(duì)的邊分別為4,b,c,滿足:

x/3t7COsC+^sinC-V3/?=0?

(1)求角力的大??；

(2)作"15。(A,。位于直線8c異側(cè))，使得四邊形片8OC滿足N8CZ)=；,BD=^,

4

設(shè)乙4BC=e,試用e表示力。，并求力c的最大值.

18.設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量加;;的夾角為氏定義一種運(yùn)算"?"：〃退〃=司汰in?.試求解

下列問(wèn)題.

(1)已知向量￡,b滿足。=(1,2),慟=2,“7=4,求［二否的值；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力(0,-1),8(-3,。)((-2,2),求關(guān)③潴的值；

⑶已知向量】=(--—b=f—,—,,求b的最小值.

Icosasina)IsinacosaJI2)

19.祖晅是南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖唯原理：“幕勢(shì)既

同，則積不容異.”意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任

何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，現(xiàn)有以下三個(gè)

幾何體：半徑為火的半球，底面半徑和高均為火的圓錐與圓柱，體枳分別記為魄理，聯(lián)鍍,

⑴寫出4球,/銬,％柱二者之間的關(guān)系；

(2)過(guò)半徑上一點(diǎn)4,且平行于半球大圓的平面將半球分割成兩部分，位于上方的部分稱為“球

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

缺”.根據(jù)祖迪原理，其體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)國(guó)臺(tái)的體積.當(dāng)點(diǎn)4為半徑中點(diǎn)時(shí)，求

解下面兩個(gè)問(wèn)題：

(i)求截得的“球缺”的體積;

(ii)求截得的“球缺”的表面積.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《重慶市廣益中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月（期中）考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ACDADADBBCDACD

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】結(jié)合圖形及點(diǎn)、線、而關(guān)系的表示方法判斷即可.

【詳解】如圖所示，兩個(gè)平面。與尸相交于直線〃，，直線〃在平面。內(nèi)，直線〃?和直線〃相

交于點(diǎn)A,

故用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為。0夕=機(jī)，〃ua,=

故選：A

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可得出復(fù)數(shù)z的虛部.

【詳解】因?yàn)閦i=l-i,所以N=ti=±匚=-1-i,因此復(fù)數(shù)Z的虛部為

11

故選：C.

3.D

【分析】過(guò)點(diǎn)"作軸交/于點(diǎn)“，求得8'。'=2及，結(jié)合斜二測(cè)畫法的規(guī)則，得

到點(diǎn)B至”的距離即為8D=28點(diǎn)',即可求解.

【詳解】如圖（1）所示，在△。力臺(tái)的直觀圖中，過(guò)點(diǎn)V作軸交f于點(diǎn)），

又因?yàn)?8W。'=g8/=2且NB'Q'H=5,可得B，D'=2五，

作出直角坐標(biāo)系中，作出△。48的圖形，如圖（2）所示，

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得8O_Lx軸，即點(diǎn)8到x的距離即為AQ=247T=4及.

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】由已知得充=V+13瓦麗=5+5?,依次判斷各項(xiàng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得向量是否共線，即

可判斷.

【詳解】由題設(shè)就=-1+13瓦麗=萬(wàn)+5?,

~AB=a+5b^Bb=d+5b，石=麗，焉與麗有公共端點(diǎn)8,所以4￡。三點(diǎn)共線，A

對(duì)；

AB=a+5b^BC=-2a+Sb，不存在2，使而=4旅，

所以而與數(shù)不共線，即49。三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)；

BC=-2a+Sb?CD=3(a-b),不存在2,使麗=4脛，

所以就與麗不共線，即叢。,。三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)；

AC=-a+\3b^CD=3(a-b),不存在力,使5=2%,

所以衣與而不共線，即4C；。三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)；

故選：A

5.D

【分析】根據(jù)題意求出圓臺(tái)上下底面半徑4=1,與=2,圓臺(tái)的高〃=2及，代入圓臺(tái)的體積

計(jì)算公式即可求解.

【詳解】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為小々，由題意可知;x2兀、3=25，解得乙=1,

|x2nx6=27r/2,解得：r2=2,作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：

圖中O。=八=1,。為=2,力。=6—3=3,

過(guò)點(diǎn)。向力尸作垂線，垂足為7,則“==1,

所以圓臺(tái)的高力=JAD2-AT2=732-1=2c，

2

則上底面面積SLJTX-F,S2=7rx2=47t,由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得:

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

J/=1x(S,+52+^5；-S2)x/2=Jx7rtX2V2

故選：D.

6.A

【分析】畫出截面圖形，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解截面周長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖，取3C的中點(diǎn)/，連接EGAF,Be1,

E、產(chǎn)分別為棱CC1、4。的中點(diǎn)，則E///8G，正方體中

BC\”AD\,則有所以平面/莊2為所求截面,

因?yàn)檎襟w力44GA的棱長(zhǎng)為2,所以EF=垃,DF=AF=722+l2=&,

AD、=2五，所以四邊形小石2的周長(zhǎng)為3亞+26.

故選：A.

7.D

2

【分析】先由向量共線的基本定理求出久=：，再建立如圖坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示

—?2—1—

力。=力3+,力。求出私〃，最后再由坐標(biāo)計(jì)算向量的數(shù)量積可得.

JJ

【詳解】由％而=而一；工(ZeR)可得而=%而+?沅(/IcR),

2

因?yàn)槊馛,。三點(diǎn)共線，所以％=§,

以A為原點(diǎn)，力C為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

因?yàn)?。=2,ZDAC=ZDAB=60°,則。(1,白卜

設(shè)網(wǎng)一〃,后),。(加,0),

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

,12

1=-m-n

—2一1—333

由=+可得.r-，解得〃=不〃7=6,

有昔〃2

所以AD-AC=lx6+\?3x0=6.

故選：D

8.B

【分析】設(shè)/出=工，求出BC,BD,BE,利用余弦定理在V8EC和V8OE中，表示出cosDBEC

和cosDBEQ,兩者相等即可解出答案.

【詳解】由題知，設(shè)=

則8C=——=4icyBD=——=x,BE=—_=囪，

tan30°tan450tan6003

XCP=￡)E=22w,

122

/Dr_BE+EC-BC尸+卬-3廠

所以在YBEC中，cos/BEC=--------=-一7=-------,①

匕匕L73..

2x——xx44

3

1)公27

BE2+ED2-BD2_r+22*—X*

在V8DE中，cosNBED==2

2BEBD-Jj---,②

2x^-xx22

3

聯(lián)立?@,解得x=11后。26.939%27.

故選：B.

9.BCD

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示判斷A；利用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算判斷

B；利用坐標(biāo)計(jì)算模判斷C；求出投影向量判斷D.

【詳解】向量4=（1,一2）,石=（一1,初），

對(duì)于A,1與B垂直，則-1-2析=0,解得A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,a//b^〃?=2,ab=-1-2m=-5?B正確;

對(duì)于C,〃1=1,6二(一1,1),a-b=(2,-3),因此|5_方|="22+(_3)2=舊_,C正確;

…，人（*2）,"在1方向上的投影向量胃心|（一1,一2）=（等等'D正

對(duì)于D,

確.

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

故選：BCD

10.ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷

B；設(shè)z=x+yi,a，蚱R),根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，可得x2+/=i,以及|z-2|=J-4x+5,

結(jié)合x(chóng)的范圍可判斷C；爵-4+3i代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p,即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,zeC,設(shè)復(fù)數(shù)Z=4+〃M，/)WR),則彳=。-歷,(a/eR),|Z|=O7F，

故z?5=(a+bi)(a-bi)=d+/=|z|2,A正確；

對(duì)于B,由于i2=—H=l,故12。24=(14產(chǎn)=1,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,zeC,設(shè)2=》+",8"叩，由于|z|=l,則療77r=1,

故|z—2|=>J(x-2)2+y2=7(X-2)2+I-X2=y/-4x+5,

由/+/=],得twxwi,則—4x+521,

故當(dāng)x=l時(shí).，卜-2|的最小值為1,C正確；

對(duì)于D,-4+3i是關(guān)于x的方程x2+px+g=0(p,qwR)的根，

故(一4+3i)?+p(-4+3i)+q=0(p,g€R),即7—4p+g+(3p_24)i=0,

7-4p+g=0p=8

故D正確,

[3/;-24=0\q=25

故選：ACD

11.ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng),

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為&m，且及〉1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為石m,且百<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?.2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

如圖，過(guò)力G的中點(diǎn)O作設(shè)。￡I4C=E,

可知4c=V2,cc.=lg=?OA言,則tan@C嚏嚼

1OE

男,

即正一7T,解得OE=

4，

2

且陽(yáng)即邑0.6,

小凱。“，4

故以/G為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2m圓柱,

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心?,與正方體的

下底面的切點(diǎn)為加，

Cc14

可知：4G-LO、M,O、M=0.6,則tanZG4C)=--7=~7T7~，

力。ACq

10.6廠

即正=/y,解Az得/a=o.6x/i,

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為G-2x0.6&-1.732-1.2x1.414=00352＞001，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

7T

12.

6

【分析】由余弦定理求出cosC=』3,即得解.

2

【詳解】由余弦定理知cosC='+1-c2=正,又因?yàn)?＜。＜乃，所以C=￡.

2ab26

故答案%

【點(diǎn)睛】本題主要考杳余弦定理解三角形，意在考瓷學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理

能力.

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

13.(1,2)

【分析】根據(jù)三角形有兩解，應(yīng)滿足/Csin/<8C</C,化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】因?yàn)閂/8C有兩解，所以4Csin4<8C<4C,即2x[<BC<2,所以1<8C<2.

2

即邊長(zhǎng)8c的取值范圍是(1,2).

故答案為：(L2).

14.732

【分析】根據(jù)題設(shè)定義及模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求解|可；根據(jù)條件得到/+個(gè)，+/=],

再分x，y同號(hào)、x，y異號(hào)和x=o三種情況，利用基本不等式，即可求解.

--/、UWum____/---、兀

【詳解】因?yàn)椤?=(1,1)，所以"='+%，又"2是單位向量，且氏6)二§，

則1cpi=J(q+6)二J12+2xlxlxcosy+I2—y/~3f

由附后同=7-^+xy+y=1?得到f+號(hào)+/=]

3

當(dāng)同號(hào)時(shí)，不妨設(shè)》,了同正，則1=/+個(gè)，+丁2=(x+?-中之系.》十刃2,

所以兇+3=x+yW述，當(dāng)且僅當(dāng)X=y=立時(shí)取等號(hào)，

33

當(dāng)異號(hào)時(shí)，不妨設(shè)%>0,”0,令“，RiJ1=X2-xt+t2=(x+02-3xt>-(x+Z)2,

4

所以W+M=X+Y2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1j=-1時(shí)，等號(hào)成立.

又當(dāng)x=0時(shí)，易知|x|+|M=l,

綜上，國(guó)+3的最大值為2.

故答案為：百，2.

15.(1)證明見(jiàn)解析

⑵/

【分析】(1)取力B的中點(diǎn)H,連接E","G,判斷四邊形E〃GG為平行四邊形，進(jìn)而可求

證；

(2)由點(diǎn)七到平面48C的距離等于點(diǎn)4到平面力8。的電離，得到/r8C=〃T8C，進(jìn)而可

求解.

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】（1）取44的中點(diǎn)H,連接

???￡為4G的中點(diǎn)，???EG〃；AC且EG=《4C,

:?HG/iEC￡HG=EC\,

???四邊形EHGG為平行四邊形，???GG〃E".

又?.?C,G<z平面ABE,EH匚平面ABE,

???GG〃平面。瓦?.

(2),：ABlBC,AC=2,BC=\f:.AB=5

，S“sc=JxlxV5=*

乙乙

在直三棱柱48C-44G，易知4G〃平面/8C,

???點(diǎn)E到平面ABC的距離等于點(diǎn)4到平面ABC的距離，

?*,/-ABC=〃-ABC,

又???力4平面力AC,

**^C-ABE=^E-ABC=^A（-ABC=HBC1=9萬(wàn)"^『~"

16.（1）710

嗎

【分析】（1）由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)數(shù)量積的定義，可得答案；

（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律與模長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的結(jié)果，可得答案.

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】（1）因?yàn)殁?J5，W=2,且向量1與5的夾角為45。，

所以灑刃=|同Wcos45'=2,所以B++4+2展》=710.

（2）同=62+//+26.￡=J2+4V2+4X=/;+；|+1,

11--f1-A-

所以x=V時(shí)，R|min=l,此時(shí)［=G—$,所以a--bj-b=O,

所以o與5的夾角的大小為

17.⑴/J

小s2叢.叫、R（穴△叫273+\/6

（2）AC=------sin20——+—，—＜。＜一,—....—

3I4）3（62）3

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角和三角形中的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算；

（2）設(shè)N48C=0,將所有未知角用夕表示，再用正弦定理將力。表示出來(lái)講行化簡(jiǎn)，最后

根據(jù)0的范圍求出4C的最大值.

【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可知：x/3sinJcosC+sin/IsinC-\^"sinZ?=0?

則百sin4cosc+sin<sinC-Csin(A+C)=(,J^fl^sin/lsinC=^cosJsinC，

又sinCH0,化簡(jiǎn)得sin4=J5cos4,

故tan4=G，因?yàn)椋ǎ?1＜兀，所以力=g；

(2)因?yàn)?44c=0,所以NCDB=0*,

在△叱。中,由正弦定理得得而B(niǎo)D」.小

---------可得,

sinZBCD

“BDsinZBDC

BC=

sin/BCD

在VZ8C中，由正弦定理得：毛=g可得,

sin＜9sinA

08csin。

AC=--------

sinA

sin<9+—sin。=麗*+與inecos。

22

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

sin20-*cos21+乎二遞sin3」71+￡,

334

O<0<-

因?yàn)閂48c是銳角三角形，所以02=>?“<￡,

_271?7T62

0<---0<—

32

所以三<2。-手,

1244

當(dāng)2。-；=1時(shí)，可得力。的最大值是27'3+、/

423

18.(1)2

(2)7

⑶16

【分析】(1)借助新定義計(jì)算即可得；

(2)借助所給定義及三角函數(shù)間得關(guān)系，計(jì)算可得G③司同sin夕二|再必72必|,代入數(shù)

據(jù)計(jì)算可得；

(3)由。區(qū)3=同小畝夕=歸為72%|,代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)由已知2=(1,2),得同=6,

2

設(shè)￡花的夾角為0，由灑月=|司卡卜。5。=4,可得2GCOS6=4,即COS9=7^,

又0<。<兀，所以sin0=表，

所以不③3=|同網(wǎng)sin?=2萬(wàn)x[=2；

(2)設(shè)，=($,切入5=62，%)，則同=Jx；+y：,W=&+..

__abAT,X,+y,y

設(shè)d”的夾角為，則n=麗=用不2而'

2

工亡2+)?2y(^-yi)_

sin6=272

:+光?依I7+y"&+y；?J君+貨M+y；1收+貢

所以不合石=同W卜足9=,必一式2必|，

又荔=(-3,1)阮=(1,2),

所以赤⑨比=|-3x2-lxl|=7.

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

（3）由（2）得B二|五,卜足。=上必一々必|,

故"合6:一嬴瓦一春噎=呂磊

1919)/2?2\ssin2a9cos2a

4--------——；—十——(cos-cr+sin~(z)=10+———+~~2