專題1.3（2）正方形的性質(zhì)與判定（專項練習）（夯實基礎(chǔ)）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選

項，其中只有一項符合題目要求）

（2025八年級下?全國?專題練習）

1.正方形具有，而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A.對角線互相平分B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.對角線互相平分且相等

（2025?湖南湘潭?模擬預(yù)測）

2.如圖，在正方形/8CZ）中，48=10,E為力8的中點，連接QE,將△。4E繞點。按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△DC/7,則"的長為（）

A.12B.13C.14D.15

（2025?湖南岳陽?一模）

3.數(shù)學活動課上，小明用四根長度相同的木條制作成能夠活動的菱形學賓.老師問小明:

要讓這個菱形學具成為正方形學具，需要添加的條件可以是（）

A.zfi=90°B.AB=BCC.AB//CDD.乙B=￡D

（22-23九年級上?陜西咸陽?期中）

4.如圖，點E是正方形48C。的對角線力。上的一點，連接6E,過點上作垂足

為F,若C/=8,E8=10,則正方形48C。的面積為（）

試卷第1頁，共8頁

DFC

C.144D.100

（24-25九年級下?上海?階段練習）

5.順次連接一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做這個四邊形的中點四邊形.如果一個四

邊形的中點四邊形是矩形，那么原四邊形的對角線需滿足的條件是（）

A.互相平分且相等B.互相平分且垂直C.相等D.互相垂直

（2025?浙江紹興?三模）

6.如圖，矩形48。。的邊/8=?,BC=3,E為AB上一點、,且4七=1,/為力。邊上的

一個動點，連接若以所為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG,連接CG,

22

（22-23八年級下?浙江溫州?階段練習）

7.如圖，矩形力SCO的面積為288,E、F、G、，分別是邊力&CO的三等分點，若

當=:，則陰影四邊形的周長為（）

AB9

A.20B.25C.30D.40

（2025?山西大同?三模）

8.如圖，四邊形48co是正方形，對角線4C,BD交于?點、O,點￡■在正方形的內(nèi)部，且

試卷第2頁，共8頁

BE=CE.連接EO并延長交4c邊于點尸，線段8E,CE分別與力。，。。交于點M,N,

則下列結(jié)論不：定成立的是（）

A.EFIBCB./EBD=NECAC.BM=CND.BF=-BE

2

（2025?浙江溫州?三模）

9.如圖，在正方形48CQ中，將邊小繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至4戶，使少點落在正方形力BC。

內(nèi)部，延長8F交ND4b的平分線于點〃，連接正。交力，于點G,則下列比值是定值的是

BH,FH?4"'GH

（2025?遼寧鞍山?二模）

10如圖,在平面直角坐標系中,點4在直線日=〃?x上，且點力的橫坐標是1,過點力作力。_Lx

軸于點。，以力。為邊作正方形4DC8,連接。8,若直線。8與力。，圍成的陰影三角

形的面積為5，則下列結(jié)論正確的是（）

yy=nix

A1/

/DCx

39

A.m的值為1B.正方形/灰刀的邊長是:

4

32

c.△盤的面積是$D.直線。8的解析式是y二§x

試卷第3頁，共8頁

（24-25八年級下?江蘇泰州?期中）

16.如圖，點E為正方形，48C。邊/。上一動點（不與邊力。端點/、D重合），點F為點A

關(guān)于陽的對稱點，陽與b的延長線相交于點G.若E方形44co的邊長為13,

CF=101貝ljR7=.

（2025?安徽六安?三模）

17.如圖，現(xiàn)有正方形紙片48CO,點E,b分別在4C,CO邊上，分別沿4E,"'折疊,

使得8,。兩點均落在點G處，然后還原.

（2）連接4Q,分別交兩條折痕力4F于點、M,N,已知8H=1，DN=2,則MN的

長為.

（2025?河南周口?二模）

18.如圖，直線＞=丫-1與坐標軸交于4P兩點，過點,4作4交y軸于點4,以4B

為邊在48右側(cè)作正方形相CO,復(fù)制正方形48。并沿著直線＞=x-l向上平移，使得一邊

重合，得到正方形CQ2。，，繼續(xù)復(fù)制正方形（8AG，，并沿著直線），=工-1向上平移，使

得一邊重合，得到正方形GA2G，…,，依此類推，復(fù)制平移2025次后，頂點。2025的坐標

為.

試卷第5頁，共8頁

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

(24-25八年級下?浙江?階段練習)

19.已知：如圖，E,/是正方形48。的邊48,BC上的兩點，AE=BF,連接。E,AF.

(1)求證：DE=AF.

(2)求的度數(shù).

(24-25八年級下?廣西防城港?期中)

20.如圖平行四邊形N8CO的對角線4C,4力相交于點0,分別以點入。為圓心，OC,

08的長為半徑畫孤，兩弧交于點尸，連接"A,CP.

(1)求證：四邊形B0CP是平行四邊形：

(2)當口力6C。的對角線滿足條件時，四邊形60c尸是正方形，并說明理由.

(24-25八年級下?江蘇揚州?期中)

21.如圖，點石為正方形48CO內(nèi)一點，/AEB=90。，將Rt△月8石繞點8按順時針方向旋

轉(zhuǎn)90。，得到△C8尸.延長力E交。/于點G,連接。E.

試卷第6頁，共8頁

⑴試判斷四邊形8EGF的形狀，并說明理由；

⑵若8E=3,CG=\,求DE.

(2025?湖南長沙?模擬預(yù)測)

22.如圖，在矩形"C。中，AB＞AD,點七是邊CO上一點，將MOE沿力上對折，點。

恰好落在45邊上的尸處，在力。上取點G,使得力G=8/，連接GACF、GC.

(1)求證：四邊形力?！辍睘檎叫?；

(2)判斷AGFC是什么三角形，并說明理由.

(2225八年級下?北京?期中)

23.如圖，四邊形48C。是正方形.過點。在正方形48CQ的外側(cè)作射線CN,

/。?！?2(0。＜。＜90。)作點。關(guān)于射線07的對稱點￡,線段QE交射線CN于點時，連

(1)當0。＜二＜45。時，依題意補全圖1,并直接寫出NE7W的度數(shù)：；

(2)在(1)的條件下，用等式表示線段反,少。,所之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)若6=2,五例=4,請直接寫出線段用的長：.

試卷第7頁，共8頁

（24-25八年級下?山西?階段練習）

24.綜合與實踐

如圖，在等腰直角△力8c中，點。是斜邊/出上的動點（點。與點力不重合），連接CO,

以C。為直角邊在CO的右側(cè)構(gòu)造等腰Rl^CQE,N4CB=NDCE=90°,連接BE.

圖1圖2備用圖

特例感知

（1）如圖1，請判斷4￡與力。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

拓展應(yīng)用

（2）點戶與點C關(guān)于。E對稱，連接。尸，EF,BF,如圖2.已知力C=6,設(shè)/。=x.

①的面積為（用含x的代數(shù)式表示）；

②當8/=2時，請直接寫出力。的長度.

試卷第8頁，共8頁

1.c

【分析】本題考查了菱形和矩形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)是關(guān)

健.根據(jù)菱形和矩形的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳解】解：A、對角線互相平分是正方形和矩形都具有的性質(zhì)，所以本選項不符合題意；

B、對角線相等是正方形和矩形都具有的性質(zhì)，所以本選項不符合題意；

C、對角線互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)，所以本選項符合題意；

D、對角線互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性質(zhì)，所以本選項不符合題意.

故選：C.

2.D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

CF=AE=5,進而根據(jù)8尸=8C+b,即可求解.

【詳解】解：?.?在正方形X8C。中.48=10,月為力F的中點，

：.BC=AB=CD=T。，AE=-AB=5,

2

?.?將ADAE繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ADCF,

.-.CF=AE=5,

：.BF=BC+CF=15,

故選：D.

3.A

【分析】本題考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

利用有一個角為直角的菱形為正方形即可得出答案.

【詳解】解：A.有一個角為直角的菱形為正方形，該選項正確，符合題意；

B.該選項不能判定菱形為正方形，故不符合題意；

C.該選項不能判定菱形為正方形，故不符合題意；

D.該選項不能判定菱形為正方形，故不符合題意；

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了止方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，過點

E作EH上BC于,由正方形的性質(zhì)可得/8CQ=90。，NECH=NECF=45。,即可得四邊

形是矩形，進而得到四邊形是正方形，得到===再利用勾股

答案第1頁，共22頁

定理求出8〃可得4C,即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點E作EHJ.BC于〃,則NEHC=NEHB=90。,

???四邊形力8C。是正方形，力C是對角線，

："BCD=9HZECH=4ECF=45。,

?:EF1CD,

.-.ZEFC=90°,

二四邊形〃是矩形，

?：NECH=45。,ZEHC=90°,

.?.△CHE是等腰直角三角形，

:.CH=EH,

???四邊形/是正方形，

:.CH=EH=CF=8、

???￡?=10,

2222

-BH=>jEB-EH=A/10-8=6?

：.BC=BH+CH=6+8=\4,

正方形ABCD的面積為14x14=196,

故選：A.

5.D

【分析】此題主要考查了矩形的判定定理，畫出圖形進而應(yīng)用平行四邊形的判定以及矩形判

定是解決問題的關(guān)鍵.

由于順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連接

對角線互相垂直的四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形如F：

答案第2頁，共22頁

AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直.

證明:點￡、F、H、G分別是力。、AB、BC、。的中點,

連接石廠，F(xiàn)G,PG,EH,EH與BD交手點、M,

???四邊形EFG〃是矩形，

."FEH=9/，

???E、F、分別是力。、48的中點,

???EF//BD,

???Z.FEH=40MH=90°,

???/、H、分別是4。、CQ的中點,

夕〃心

乂?.?點月、，分別是力。、CQ各邊的中點,

NOMH=/COB=90°,

即AC1BD.

故選：D.

6.B

【分析】過點G作G〃_L48于，，過點6作“瞥〃48,由“AAS”可證可

得G〃=4E=1,可得點G在平行48且到彳8距離為1的直線MV上運動，則當尸與D重

合時，CG有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點G作G〃_L48于從過點G作朋N〃44,

答案第3頁，共22頁

.-.Z5=9O°,cn=J5=—,AD=BC=3,

2

???=1,

9

???BE=AB-AE=—,

2

???ZGHE=ZA=NGEF=90。,

:.NGEH+4EGH=90°,NGEH+ZFEA=90°,

：.4EGH=/.FEA,

又?:GE=EF,

???AGEHmEFMAAS),

:.GH=AE=1,

???點G在平行48且到48距離為1的直線MN上運動,

.?.當/與。重合時，CG有最小值，此時力〃=E〃=3,

故選:B.

【點睛】本題考查了（特殊）平行四邊形的動點問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，確定點G的運動軌跡是解題關(guān)鍵.

7.A

【分析】證明四邊形是菱形，根據(jù)矩形力8c。的面積為288,得出4比4）=288.根

據(jù)3？=1，設(shè)力。=8x,貝ij/8=9x,得出8x?9x=288,求出x=2,負值舍去，得出

AB9

AD=\6,45=18,根據(jù)勾股定理得出=/G=淀2?+?=20，得出〃=gH=5,求

出菱形的周長即可.

【詳解】解：連接FG,如圖所示：

矩形力4c。，

AB//CD

E、F、G、〃分別是邊力民。力的三等分點,

答案第4頁，共22頁

:.AE=^AB,CG=；CD,

:.AE=CG,AE//CG,

???四邊形/ECG是平行四邊形

:.AG〃CE,

同理可證：DF〃BH,

???四邊形/小心是平行四邊形

?;AF=DG,AF//DGt/月。=90。，

.??四邊形力FGO是矩形，

：JA=1D=1G=1F,

vAI//EJ

,EFFJ1rj

AEIJ2

同理可證〃二』G/,

2

???IG=IF,

:.U=IL,

.??四邊形〃KA是菱形，

?.?矩形ABC。的面積為288,

-JD-288,

AD8

v----=—,

AB9

.?.設(shè)4O=8x,則/<8=9x,

:.8x?9x=288,

解得：x=2,負值舍去，

.-.JD=16,力8=18,

2

AF——AB=12,

3

???DF=AG=Vl22+162=2()，

.-.FI=-DF=\0,

2

：.IJ=-H=5,

2

菱形"K￡的周長為4x5=20,

答案第5頁，共22頁

即陰影部分的周長為20.

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，菱形的周長，熟練

掌握平行四邊形的特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】由。8=。。，8E=C七得到E尸是8c的垂直平分線，即可得到￡7~3C,進而判

斷A；有等邊對等角得到NO4C=/OC4,ZEBC=AECB,即可得到/￡4。=/七。，進

而判斷B：證明出△MO4GANOC(ASA),得到4M=CN,即可判斷C；只有當N8C7130。

時，BF=-BE,即可判斷D.

2

【詳解】???四邊形48co是正方形，對角線/C,BD交于點、O,

：.0B=0C

???BE=CE

二￡尸是8c的垂直平分線

：.EFJ.BC,故A不符合題意：

"OB=OC,

："OBC=4OCB

■:BE=CE

2LEBC=NECB

."EBC-NOBC=NECB-NOCB,即NEBD=NEC4,故B不符合題意；

?:ZEBD=ZECA,0B=0C,Z.M0B=ZNOC

.?.△MO8%NOC(ASA)

：.BM=CN,故C不符合題意；

只有當/8律=30。時，BF=、BE,

2

根據(jù)題意無法求出/8E尸=30。，故BF=；BE不一定成立,故D符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的判定，等邊對

等角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

9.B

答案第6頁，共22頁

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，設(shè)/切/=2.丫，由正方形的性質(zhì)可得力8=力。，ABAD=90°,則ND4尸=90。-2》，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得力/二力^二月。，則/力尸8=90。7,由三線合一定理得到,

DF=2FG,力尸=；/。力/=45。一］，則可證明NH=45。，則△H/G是等腰直角三角形，

進而得到FH=/FG?+HG?=五FG，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：設(shè)/切尸=2》,

,?,四邊形48CQ是正方形，

AB=AD,ZBAD=90°,

:.ZDAF=/BAD-ZBAF=90°-2x,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=AB=AD,

1QAO_。Y

:"AFB=AABF=------=90。一x,

2

???BF交ZDAF的平分線于點H,

AII±DF,DF=2FG,ZHAF=—ZDAF=45°-x,

2

:.Z//=ZAFB-ZHAF=45°,

G是等腰直角三角形，

:?FG=HG,

?-FH=>JFG2+HG2=6FG，

二竺s

FH

故選：B.

10.D

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形的面積等知識，根據(jù)題

意列出方程求出用的值是解題的關(guān)鍵.先表示出點力的坐標，繼而表示出正方形的邊長，

求出點4的坐標從而待定系數(shù)法求出08的解析式，再令x=l,求出點E的坐標，從而得

出。E并表示出直線08與4。，08圍成的陰影三角形的面積，繼而列出方程解出〃?，從而

判斷480,求出力E,繼而求出△4OE的面積，從而判斷G繼而得解.

【詳解】解：依題意得：。（1，0）,0。=1,

當x=l時,y=mx=m,

答案第7頁，共22頁

/1(1,///),

???在正方形/8CQ中，AD=AB=BC=CD=m,

￡?(w+l,"i),

設(shè)直線08的解析是y=6，

將點8的坐標代入y=去得：機=女(〃?+1),

解得：k=4,

???直線。8的解析是尸-^x

“2+1

當x=1時，y=----x=----,

m+1/H+1

即：市，/41,

IW+U

m

：?DE-----?

〃?+1

二直線08與4D圍成的陰影三角形的面積為：l.DEAB=---m=-^—=-t

22m+\2m+23

2

解得：，々=2,?=-](舍去)，

22

??.〃?的值為2,正方形力8CQ的邊長是2,直線08的解析式是y=§x,DE=~,

4

:.AE=AD-DE=—,

|142

???△/?！甑拿娣e是54七0。=3'5、1=5，

???選項A、B、C錯誤，選項D正確，

故選：D.

11.矩形、正方形菱形、正方形

【分析】本題考查了菱形、正方形、矩形等性質(zhì)，根據(jù)正方形的對角線是互相平分、垂直、

相等：矩形的對角線是互相平分、相等；菱形的對角線是互相平分、垂直等性質(zhì)進行分析,

即可作答.

【詳解】解：?,?正方形的對角線是互相平分、垂直、相等；

矩形的對角線是互相平分、相等；

菱形的對角線是互相平分、垂直

???具有性質(zhì)”兩條對角線相等”的是矩形、正方形；

答案第8頁，共22頁

???具有性質(zhì)''兩條對角線互相垂直''的是菱形、正方形；

故答案為：矩形、正方形；菱形、正方形

12.22.5°

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，根據(jù)上方形的性質(zhì)得出N84C=45。，

4AC=90。，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出/少8=(/94c=22.5。，即可求解.

【詳解】解：...四邊形歷rc。是正方形，

.?./B4C=45。，ZJ5C=90°,

???四邊形4EFC是菱形，

N"B=L/BAC=22.5。.

2

故答案為：22.5°.

13.y=2x

【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式、矩形與正方形的性質(zhì)，正確求出剩余矩形的長與寬是解題

關(guān)鍵.設(shè)這個矩形紙片的寬為則其左側(cè)剪掉的最大正方形的邊長為。，從而可得剩余矩

形的長與寬，再利用矩形的周長公式求解即可得.

【詳解】解：設(shè)這個矩形紙片的寬為。，則其左側(cè)剪掉的最大正方形的邊長為。，

由題意得：y=2[a+(x-a)],

整理得：y=2x.

故答案為：y=2x.

14.(-Vio,>/io)

【分析】本題考查正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運算，熟練根

據(jù)作圖確定O4=O8=<C=8。是解題的關(guān)鍵.連接C4,CB,由作圖可知

()A=()B=AC=BC,判定四邊形0BC力是正方形，再在等腰直角ZUQ5中求出。力和04即

可解決.

【詳解】解：如圖，連接。，CB,

答案第9頁，共22頁

由作圖可知。力=OB=AC=BC,

???四邊形。8以是菱形，

又?；OA上OB,

???四邊形O8C4是正方形，

.'.AC10A,BCJLOB,

vAB=25/5>OA=OB,

AB

OA=OB=AC=BC=正=Vio,

/.c(-Vio,Vio).

15.2亞或2用

【分析】分兩種情況：①如圖1所示，點產(chǎn)落在線段4D上，②如圖2所示，點戶落在射

線力。上，證明四邊形卻石廠為正方形并求出正方形的邊長，根據(jù)勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：①如圖I所示，點尸落在線段上，

?:AD=2DF,AD=4,

???AF=2.

???四邊形力SCO是矩形，

n

.-.Z5/IF=Z5=90,BC=AD=4t

由折疊的性質(zhì)得48=4/=2,NAFE=/B=90。,

.?.四邊形力8￡產(chǎn)為正方形，

???AB=AF=2.

在左△//。中，

AC=4AB?+BC2=J4+16=2x/5

答案第10頁，共22頁

圖1圖2

②如圖2所示，點廠落在射線力。上，

vAD=2DF,AD=4,

:.DF=2,

:.AF=AD+DF=6,

???四邊形力8CQ是矩形，

.-.Z5/4F=Z5=90°,BC=4D=4,

由①可知四邊形/IBM為正方形，

:.AB=AF=BE=6.

在中，

AC=>lAB2+BC2=736+16=2713

綜上所述，4c的值為2石或2g.

故答案為：2后或2萬

【點暗】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)和判定等知識，熟練

掌握折疊的性質(zhì)，證明四邊形為正方形是解決問題的關(guān)鍵.

16.7

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理等知識點.由正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得4/=48=13、

NABE=NEBF,進而得到方產(chǎn)=8C=13；如圖：過點3作4Mle產(chǎn)于點由等腰三角

形的性質(zhì)可得再根據(jù)勾股定理可得8"=12；然后證明

叢BMG是等腰直角三角形可得MG=AM=12,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【詳解】解：?.?正方形488的邊長為13,

??.AB=BC=13,48C=90。，

???點尸為點力關(guān)于8E的對稱點，

：.BF=AB=13,/ABE=NEBF

答案第11頁，共22頁

:.BF=BC=\3,

如圖：過點8作氏W1O于點M,CF=1(),

.-.ZCBM=ZMBF,MF=MC=-CF=-x\0=5,

22

??BM=\lBF2-FM2=A/132-52=12，

???/ABC=乙4BE+NEBF-NFBM+4MBe=90°,

??.2/EBF+2/FBM=90。、

."EBF+/FBM=45°,

.?.NEBM=45°,

???BM1CF,

???△BUG是等腰直角三角形，

??.MG=8M=12,

.-.FG-A/G-FA/-12-5-7.

故答案為：7.

17.45度##45。法

【分析】該題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確做

出輔助線.

(1)由折疊得/G//==結(jié)合/8力。=90。，即可求解；

(2)連接GN,GM.由折疊可得DF=GF,DN=GN,GE=BE,BM=MG,得出

XDNFWSGNFqBMEmGME,即可得GN=DN=2,GM=BM=1,NFGN=NFDN,

=乂根據(jù)在正方形中，NFDN=NEBM=45。,從而得出

/FGN=NEGM=45。,求出NMGN=90。.在即△MGN中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：(1)由折疊得/G4尸=/。力=

ZBAD=90°,

答案第12頁，共22頁

:.2(ZEAG+ZGAF)=90°,

ZEAF=NEAG+ZGAF=45°.

(2)連接GN,GM.

由折疊可得DF=GF,DN=GN,GE=BE,BM=MG,

?;NF=NF,ME=ME

:.ADNFWAGNF（SSS）QBMEWAGME（SSS）,

/.GN=DN=2,GM=BM=I,/FGN=NFDN,NEGM=NEBM.

又???在正方形中，NFDN=/EBM=45。，

/FGN=NEGM=45。,

NMGN=180O-/FGN-/EGM=90°.

在RsMGN中,A/N=JGM+G/=6

故答案為：45。；75.

18.（2026,2027）

【分析】本題主要考查了與一次函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探索，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，勾股定理等等，先求出力（1,0），2（0,-1）得到。4=。/>=1,則/。4。=45。，進而得

到/。48=45。，則△045是等腰直角三角形，則04=04=1,NOBA=45。,由正方形的性

質(zhì)可得/月5。=90。，BC=AB=丘,過點C作。。軸丁D,則△BCO是等腰直角三角

形，BD=CD=^-BC=［，可得C（l,2）,同理可得G（2,3）,C2（3,4）,據(jù)此可得答

案.

【詳解】解：在》=*-1中，當y=x-l=（）時，x=1,當x=0時，?=一1,

.?.4（1,0）,P（0,-l）,

：,OA=OP=1,

答案第13頁，共22頁

AOAP=45°,

vABLAP,BPZ5JP=90°,

???NO48=45。，

是等腰直角三角形，

OB=OA=\,/OBA=45°,

由正方形的性質(zhì)可得N/8C=<X)。，BC=AB=」OA2IO”=忘，

："DBC=45。,

如圖所示，過點C作軸于。，則△BCQ是等腰直角三角形,

：.BD=CD=—BC=\,

2

OD-OB+BD=2,

同理可得G(2,3),C2(3,4),……，

以此類推可得，的儂(2026,2027),

故答案為:(2026,2027).

19.（1）見解析

（2）90°

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，證

明△歷1尸0七是解題的關(guān)鍵.

（1）只需要利用SAS證明△歷1/且△力OE即可證明結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得到NB4尸二乙4。石，再導(dǎo)角即可證明

NEGF=ZAED+NBAF=90°.

【詳解】（1）證明：???四邊形44CO是正方形，

答案第14頁，共22頁

AAD=AB,NB=NB/tD=90°,

又?：AE=BF,

.-.△^F^AJD￡(SAS),

:.DE=AF；

(2)解：?:△BAF々&DE,

AABAF=Z.ADE，

^ZAED+ZADE=90°,

.-.ZAED+ZBAF=900,

:.NEGF=NAED+ZBAF=90°.

20.(1)證明見解析

(2)AC工8。且彳C=8。，理由見解析

【分析】本題考杳了平行四i力形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，熟練掌握平行四功形與正方

形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由作圖得枕=。。，CP=O8,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可；

(2)根據(jù)一個角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形，得到只需OCJ_8。，且OC=40,

再利用四邊形。。是平行四邊形，即可解答.

【詳解】(1)解：???分別以點/C為圓心，OC,08的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,

BP-OC,CP-OB,

二四邊形80cp是平行四邊形；

(2)解：AC上BDRAC=BD,理由如下：

???四邊形/4C。是平行四邊形，

AC=2OC,BD=2BO,

?：AC=BD

.-.OC=BO

-AC1BD

.-.Z5OC=90°

???平行四邊形BOCP是正方形.

21.(1)正方形，見解析

Q)后

答案第15頁，共22頁

［分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZEBF=90°,ZCF5=9()。，又由/力￡4=90?？傻肗BEG=90°,

由此得四邊形BEGF是矩形，又由BE=BF得四邊形BEGF是正方形.

(2)過點。作于〃，則可得△4?！盀酢?4E,進而可得力"=8E==3,

DH=AE=CF=4t在中，根據(jù)勾股定理即可求出。E的長.

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定

理.熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)健.

【詳解】(1)解：四邊形8EG廠是正方形，理由如下：

AK-----------------

???將點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，

..."BE@△CBF,NEBF=90°,

/AEB=4CFB=90°,BE=BF

???NBEG+4EB=180。,

NBEG=180°-NAEB=90°,

?//BEG=NEBF=/BFG=90°,

..?四邊形8￡G尸是矩形，

又???BE=BF,

二.四邊形4EG廠是正方形：

(2)解：如圖，過點D作QH上4E于”,

Af］r、-------------,/I

???四邊形是正方形,

答案第16頁，共22頁

AD=AB,NO44=900,

/.Z.DAH+Z.EAB=90°,

DH1AE,

4"。=90。

△/O〃gZ^8月E(AAS)

二.ZJD//+ZDJ//=90°,

ZADH=/EAB,

又?；AD=AB,/乂HD=NAEB=900,

AADH@ABAEIAAS),

AH=BE=GF=3,DH=AE,

?;CG=1,

DH=AE=CF=3+1=4.

:,EH=AE-AH=4-3=\,

在RtZXQEH中，DE=>IDH2+HE2=>/42+l2=Vr7.

22.(1)證明見解析

(2)AGFC是等腰直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性

質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可證明：

(2)先證明A/G/且△8R7(SAS),推出G/二6,乙4/G=/8B.再證明NGbC=90。，

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：.??四力形488是矩形，

ZZ)=ZDJF=90°.

由對折可知NAFE=ND=90。,

???四邊形/。￡尸為矩形.

又由對折可知力廠二力。，

???四邊形/。七廠為正方形：

(2)解：△GR7是等腰直角三角形.理由如下：

由(1)知，四邊形4OEF為正方形，

答案第17頁，共22頁

AF=AD=BC.

在△4G/7與△AH?中，

AG=BF

</GAF=NFBC=90°,

AF=BC

.?.△/Gr治△8R?（SAS）,

:.GF=CF、/AFG=/BCF.

NBCF+NBFC=90。,

NA尸G+N8EC=90。，

ZGFC=90°,

.?.△G/。是等腰直角三角形.

23.⑴見詳解，45°

Q）FB=FEWFC，證明見解析

（3）60或2亞

【分析】（1）由題意畫出圖形；

（2）過點C作?！?b,交于點“，證明△C8〃gC"'（AAS）,得出C〃=b,

BH=EF,則可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：（1）由題意補全圖形如下：

圖1

作點。關(guān)于射線CV的對稱點E，

DC=CE,4DCN=ZECN=a,

四邊形49co是正方形，

/.NBCD=9Qo,BC=CD,

BC=CE,

答